Structures Algébriques Usuelles

Structures Algébriques Usuelles
1 Groupes
Dénition Un ensemble G muni d'une loi de composition interne ? est appelé Groupe ssi
? est associative.
? possède un élément neutre (dans G !) souvent noté e.
Tout élément x de G admet un symétrique pour ? (on dit aussi inverse) souvent noté x −1
En outre, le groupe (G,?) est dit commutatif (ou abélien) ssi la loi ? est commutative.
Exemples :
(Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) ⊂ (C, +)
(Q∗ , ×) ⊂ (R∗ , ×) ⊂ (C∗ , ×)
(RotTran(P ), ◦) ⊂ (Isom(P ), ◦) ⊂ (SimD(P ), ◦) ⊂ (Bij(P ), ◦)
(SO(E ), ◦) ⊂ (GO(E ), ◦) ⊂ (GL(E ), ◦)
Théorème Soit (G,?) un Groupe et H ⊂ G. H est un sous-groupe (de G) ssi
H 6= ; ou H contient l'élément neutre e de G.
H est stable par ? cad ∀ x, y ∈ H x ? y ∈ H
H est stable par symétrisation (ou passage à l'inverse), cad ∀ x ∈ H
x −1 ∈ H
2 Anneaux et Corps
Dénition Un ensemble A muni de deux lois internes, notées en général + et × est dit Anneau ssi
(A,+) est un Groupe commutatif (neutre noté 0 ou 0 A )
× est associative.
× admet un élément neutre (noté 1 ou 1 A )
× est distributive sur +, cad ∀ a, b, c ∈ A a × (b + c) = a × b + a × c et (b + c) × a = b × a + c × a
Si, en outre, la loi × est commutative, l'Anneau (A,+,×) est dit Commutatif.
Exemples :
(Z, +, ×)
(M (n), +, ×)
( L (E ) , +, ◦)
(R[X ], +, ×)
Théorème Soit (A,+,×) un Anneau et B ⊂ A. B est un sous-anneau ssi
(B ,+) est un sous-groupe de (A,+)
B contient l'élément neutre 1 de A.
B est stable par ×
Dénition Soit (A,+,×) un Anneau Commutatif et I ⊂ A. I est un Idéal de A ssi
(I ,+) est un sous-groupe de (A,+)
I est fortement stable par × cad ∀ i ∈ I ∀ a ∈ A
a ×i ∈ I
(ou A × I ⊂ I )
Dénition (K, +, ×) est un Corps ssi c'est un anneau non nul (donc on a nécessairement 0 A 6= 1 A ) tel que, en
outre, tout élément non nul de A est inversible. Si, en outre, la loi × est commutative, le Corps (K ,+,×) est
dit Commutatif.
Exemples :
(Q, +, ×)
(R, +, ×)
(C, +, ×)
(R(X ), +, ×)
(fractions)
3 Espaces Vectoriels
Dénition E un ensemble muni d'une loi interne
(notée +)
et d'une loi externe
(notée .)
de domaine
d'opérateurs K , (K ,+,×) étant un corps commutatif ssi
(E,+) est un Groupe commutatif
∀ α, β ∈ K ∀ x ∈ E α.(β.x) = (α × β).x
∀ α, β ∈ K ∀ x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x
∀ α ∈ K ∀ x, y ∈ E α.(x + y) = α.x + α.y
∀ x ∈ E 1K .x = x
Exemples : (Rn , +, .)
(M (n, p), +, .)
(F (I , R), +, .)
( L (E , F ) , +, .)
(RN , +, .)
(C[X ], +, .)
Théorème Soit (E,+,.) un K -espace vectoriel et F ⊂ E. F est un sous-espace vectoriel de E ssi
F 6= ; ou F 3 0E
F est stable par combinaisons linéaires cad ∀ α, β ∈ K ∀ x, y ∈ F
α.x + β.y ∈ F
Dénition Soit E un ensemble muni de deux lois internes (notées en général + et ×) et d'une loi d'externe .
de domaine K avec (K ,+,×) corps commutatif. E est dite K -Algèbre ssi
(E,+,.) est un K -espace vectoriel
(E,+,×) est un Anneau
∀ α ∈ K ∀ x, y ∈ E α.(x × y) = (α.x) × y = x × (α.y)
Si, en outre, la loi × est commutative, la K -Algèbre (E,+,×,.) est dite commutative.
Exemples : (K[X ], +, ×, .)
( L (E ) , +, ◦, .)
(M (n), +, ×, .)
Dénition Soit (E,+,×,.) une K -Algèbre sur un corps commutatif K et F ⊂ E. F est une sous-algèbre de E ssi
F 6= ;
F est stable par combinaisons linéaires
F est stable par ×