• Loi de composition interne sur E . On nomme ainsi toute application de E × E à valeurs dans E E×E → E ∗: (x, y) → x∗y Notation : si n ∈ N∗ alors xn = x ∗ x.. ∗ x , n fois est l’itéré nième de x pour la loi ∗ • Associativité ∗ associative ⇔ ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z quand une loi est associative il est inutile de mettre des parenthèses : attention certaines lois ne sont pas asc sociatives ... par exemple la loi définie sur N∗ par a ∗ b = ab ne l’est pas puisque (ab )c = abc = a(b ) en général • Elément neutre : Il existe un élément neutre e pour ∗ dans E ssi ∀x ∈ E, e ∗ x = x ∗ e = x Si e existe et si la loi ∗ est associative , alors e est unique. • Inverse d’un élément : Si e existe et si la loi ∗ est associative , on dit que l’élément x est inversible pour ∗ ssi il existe un élément x′ tel que x′ ∗ x = x ∗ x′ = e x′ est alors unique et s’appelle l’inverse de x pour la loi ∗: il est noté x−1 • Commutativité ∗ commutative ⇔ ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x Exercice : Soit un ensemble E muni d’une loi ∗ qui est associative, qui posséde un élément neutre e, et telle que ∀x ∈ E, x2 = e : alors la loi ∗ est commutative 1 • Un groupe est un couple (G, ∗) formé d’un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗, associative , possédant un élément neutre e , et telle que tous les éléments de E possédent un inverse dans E • Soit (G, ∗) un groupe et G′ une partie de G . G′ est un sous-groupe de G si elle est stable pour la loi ∗ et si de plus (G′ , ∗) est un groupe. Ceci est équivalent à montrer que e ∈ G′ ∀(x, y) ∈ G′2 , x ∗ y −1 ∈ G′ • Une application f de (G, $) dans (H, $) est un morphisme ssi ∀(x, y) ∈ G, f(x$y) = f (x)$f(y) Si f est un morphisme surjectif et si (G, $) est un groupe alors (H, $) est un groupe et de plus eH = f (eG ) −1 f(x ) = (f (x))−1 • Le noyau d’un morphisme de groupe f est ker(f ) = {x ∈ G, f (x) = eH } C’est un sous groupe de (G, $) • L’image d’un morphisme de groupe f est Im(f) = f (G) • Un morphisme f est injectif ssi ker(f ) = {eG } . Il est surjectif ssi Im(f) = H • Un groupe est commutatif ssi la loi du groupe l’est . (Z, +) est un exemple de groupe commutatif 1 ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y ∈ E , donc (x ∗ y)2 = e = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) , donc (x ∗ e) ∗ y = (x ∗ ((x ∗ y) ∗ (x ∗ y)) ∗ y ce qui donne grâce à l’associativité de x ∗ y = y ∗ x 0.0.1 Sous groupe engendré par un élément. • Soit (G, ∗) un groupe commutatif et a ∈ G . On note ∀n ∈ N∗ , an = a ∗ .. ∗ a, n f ois ∀n ∈ Z− , an = (a−n )−1 et a0 = e. Gr(a) = {an , n ∈ Z} L’ensemble Gr(a) est un sous-groupe de G appelé sous groupe engendré par a Par exemple si (G, ∗) = (U, ×) est le groupe des complexes de module 1, et a = e Gr(a) = 1, a, a2 , a3 , a4 = U5 n’est autre que le sous groupe des racines cinquièmes de l’unité dans C. 2iπ 5 • Ordre d’un élément dans un groupe Soit a ∈ G. On dit que a est d’ordre fini ssi il existe un entier p1 tel que ap = e et ∀k ∈ {1, .., p − 1} , ak = e. p est l’ordre de a :il est unique lorsqu’il existe , mais n’existe pas nécéssairement par exemple dans (U, ×), a = ei n’est pas d’ordre fini 2 , alors que a = e 2iπ 5 est d’ordre 5 • Groupe cyclique . Un groupe G est cyclique lorsqu’il existe un élément a de ce groupe tel que Gr(a) = G Par exemple ( Z, +) est cyclique car Z = Gr(1) = Gr(−1) , U5 est cyclique car U5 = Gr(e (R, +) n’est pas cyclique puisque si a = 0, Gr(a) = Za = {na, a ∈ Z} , et Za = R On appelle générateur d’un groupe cyclique tout élément a qui vérifie Gr(a) = G 2iπ 5 ) , cependant • Le groupe Un des racines nièmes de l’unité est cyclique , de cardinal n. Il admet pour générateur α = e que tous les éléments de la forme αk ou 1kn − 1 est un nombre premier avec n. 0.0.2 2iπ n , ainsi Le groupe symétrique • Groupe symétrique . On nomme ainsi le groupe Sn des permutations de {1, .., n} Card(Sn ) = n! • La transposition ti,j de Sn est l’application telle que ti,j (i) = j, ti,j (j) = i qui laisse tous les autres éléments de {1, .., n} invariants • Le cycle ci1 ,..,ik est l’application c telle que ∀j ∈ {1, .., k − 1} , c(ij ) = ij+1 et c(ik ) = i1 Une transposition est un cycle de longueur 2 • Génération de Sn par les transpositions ∀σ ∈ Sn , ∃p ∈ N∗ , ∃t1 , .., tp , p transpositions telles que σ = t1 ot2 o.......otp Remarque : toute permutation peut se décomposer comme produit commutatif de cycles à supports disjoints 1 2 3 4 5 6 7 Par exemple f : est la composée commutative de c1,4,2 , c3,5 , c6,7 4 1 5 2 3 7 6 • Signature d’une permutation ∀σ ∈ Sn , σ = t1 ot2 o.......otp ⇒ ε(σ) = (−1)p L’application ε est un morphisme de (Sn , o) dans ({−1, 1} , ×). C’est d’ailleurs le seul morphisme non trivial. • Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des permutations dont la signature est égale à 1 , que l’on nomme permutations paires An = {σ ∈ Sn , ε(σ) = 1} 2 en effet ak = eik : ak = 1 ⇔ k = 2rπ ⇔ k = r = 0 car sinon on aurait π ∈ Q An est un sous groupe de Sn , appelé groupe alterné. 1 2 3 2 • Exercice: peut on passer de la position du taquin n ◦ 1 : 4 5 6 à la position n ◦ 2 : 4 7 8 7 la case vide pour faire glisser les pièces verticalement ou horizontalement ? 3 1 5 8 3 6 en utilisant • Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux lois internes +, × tel que (A, +) est un groupe commutatif × est associative × possède un élément neutre 1A × est distributive sur + si la loi × est commutative , l’anneau est dit commutatif • Eléments inversibles On note A∗ l’ensemble des éléments de A qui admettent un inverse pour la loi × A∗ = {x ∈ A, ∃y ∈ A, xy = yx = 1A } A∗ est un groupe multiplicatif • Corps . Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles • Un anneau commutatif est intègre ssi ∀(x, y) ∈ A2 , xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0 (Z, +, ×) est un anneau intègre . (Q, +, ×) est un corps 3 Non . associons à chaque position du taquin la suite des chiffres lus dans la table en parcourant successivement les lignes de gauche à droite. On obtient ainsi une permutation de {1, .., 9} . la position n◦ 2 définit une permutation de signature -1, alors que la position n◦ 1 a pour signature 1 : or toutes les transformations possibles sur le taquin sont soit l’identité pour le glissements horizontaux, soit des cycles d’ordre 3 pour les glissements verticaux, dont la signtaure est égale à 1. Il est donc impossible en composant de telles permutations d’obtenir une signature égale à −1