• Loi de composition interne sur E . On nomme ainsi toute

•Loi de composition interne sur E. On nomme ainsi toute application de E×Eà valeurs dans E
∗:E×E→E
(x, y)→x∗y
Notation : si n∈N
∗
alors x
n
=x∗x.. ∗x, n fois est l’itéré n
i`eme
de xpour la loi ∗
•Associativité
∗associative ⇔ ∀(x, y, z)∈E
3
, x ∗(y∗z) = (x∗y)∗z
quand une loi est associative il est inutile de mettre des parenthèses : attention certaines lois ne sont pas as-
sociatives ... par exemple la loi définie sur N
∗
par a∗b=a
b
ne l’est pas puisque (a
b
)
c
=a
bc
=a
(b
c
)
en
général
•Elément neutre : Il existe un élément neutre epour ∗dans Essi
∀x∈E, e ∗x=x∗e=x
Si eexiste et si la loi ∗est associative , alors eest unique.
•Inverse d’un élément : Si eexiste et si la loi ∗est associative , on dit que l’élément xest inversible pour ∗ssi il
existe un élément x
′
tel que
x
′
∗x=x∗x
′
=e
x
′
est alors unique et s’appelle l’inverse de xpour la loi ∗: il est noté x
−1
•Commutativité
∗commutative ⇔ ∀(x, y)∈E
2
, x ∗y=y∗x
Exercice
1
: Soit un ensemble Emuni d’une loi ∗qui est associative, qui posséde un élément neutre e, et telle
que ∀x∈E, x
2
=e: alors la loi ∗est commutative
•Un groupe est un couple (G, ∗)formé d’un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ∗, associative ,
possédant un élément neutre e, et telle que tous les éléments de Epossédent un inverse dans E
•Soit (G, ∗)un groupe et G
′
une partie de G.G
′
est un sous-groupe de Gsi elle est stable pour la loi ∗et si de plus
(G
′
,∗)est un groupe. Ceci est équivalent à montrer que
e∈G
′
∀(x, y)∈G
′2
, x ∗y
−1
∈G
′
•Une application fde (G, $) dans (H, $)est un morphisme ssi
∀(x, y)∈G, f(x$y) = f(x)$f(y)
Si fest un morphisme surjectif et si (G, $) est un groupe alors (H, $)est un groupe et de plus
e
H
=f(e
G
)
f(x
−1
) = (f(x))
−1
•Le noyau d’un morphisme de groupe fest
ker(f) = {x∈G, f(x) = e
H
}
C’est un sous groupe de (G, $)
•L’image d’un morphisme de groupe fest
Im(f) = f(G)
•Un morphisme fest injectif ssi ker(f) = {e
G
}.Il est surjectif ssi Im(f) = H
•Un groupe est commutatif ssi la loi du groupe l’est . (Z,+) est un exemple de groupe commutatif
1
∀(x, y)∈E
2
, x ∗y∈E, donc (x∗y)
2
=e= (x∗y)∗(x∗y), donc (x∗e)∗y= (x∗((x∗y)∗(x∗y)) ∗yce qui donne grâce
à l’associativité de x∗y=y∗x

0.0.1 Sous groupe engendré par un élément.
•Soit (G, ∗)un groupe commutatif et a∈G. On note
∀n∈N
∗
, a
n
=a∗.. ∗a, n fois
∀n∈Z
−
, a
n
= (a
−n
)
−1
et a
0
=e.
Gr(a) = {a
n
, n ∈Z}
L’ensemble Gr(a)est un sous-groupe de Gappelé sous groupe engendré par a
Par exemple si (G, ∗) = (U, ×)est le groupe des complexes de module 1, et a=e
2iπ
5
Gr(a) = 1, a, a
2
, a
3
, a
4
=U
5
n’est autre que le sous groupe des racines cinquièmes de l’unité dans C.
•Ordre d’un élément dans un groupe
Soit a∈G. On dit que aest d’ordre fini ssi il existe un entier p1tel que
a
p
=eet ∀k∈ {1, .., p −1}, a
k
=e.
pest l’ordre de a:il est unique lorsqu’il existe , mais n’existe pas nécéssairement
par exemple dans (U, ×), a =e
i
n’est pas d’ordre fini
2
, alors que a=e
2iπ
5
est d’ordre 5
•Groupe cyclique . Un groupe Gest cyclique lorsqu’il existe un élément ade ce groupe tel que
Gr(a) = G
Par exemple ( Z,+) est cyclique car Z=Gr(1) = Gr(−1) ,U
5
est cyclique car U
5
=Gr(e
2iπ
5
), cependant
(R,+) n’est pas cyclique puisque si a= 0,Gr(a) = Za={na, a ∈Z}, et Za=R
On appelle générateur d’un groupe cyclique tout élément aqui vérifie Gr(a) = G
•Le groupe U
n
des racines n
i`emes
de l’unité est cyclique , de cardinal n. Il admet pour générateur α=e
2iπ
n
, ainsi
que tous les éléments de la forme α
k
ou 1kn−1est un nombre premier avec n.
0.0.2 Le groupe symétrique
•Groupe symétrique . On nomme ainsi le groupe S
n
des permutations de {1, .., n}
Card(S
n
) = n!
•La transposition t
i,j
de S
n
est l’application telle que t
i,j
(i) = j, t
i,j
(j) = iqui laisse tous les autres éléments de
{1, .., n}invariants
•Le cycle c
i
1
,..,i
k
est l’application ctelle que ∀j∈ {1, .., k −1}, c(i
j
) = i
j+1
et c(i
k
) = i
1
Une transposition est un cycle de longueur 2
•Génération de S
n
par les transpositions
∀σ∈S
n
,∃p∈N
∗
,∃t
1
, .., t
p
,p transpositions telles que σ=t
1
ot
2
o.......ot
p
Remarque : toute permutation peut se décomposer comme produit commutatif de cycles à supports disjoints
Par exemple f:1234567
4152376est la composée commutative de c
1,4,2
,c
3,5
, c
6,7
•Signature d’une permutation
∀σ∈S
n
, σ =t
1
ot
2
o.......ot
p
⇒ε(σ) = (−1)
p
L’application εest un morphisme de (S
n
, o)dans ({−1,1},×).C’est d’ailleurs le seul morphisme non trivial.
•Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des permutations dont la signature est égale à 1 , que l’on nomme
permutations paires
A
n
={σ∈S
n
, ε(σ) = 1}
2
en effet a
k
=e
ik
: a
k
= 1 ⇔k= 2rπ ⇔k=r= 0 car sinon on aurait π∈Q

A
n
est un sous groupe de S
n
, appelé groupe alterné.
•Exercice: peut on passer de la position du taquin n
◦
1 :
1 2 3
4 5 6
7 8
à la position n
◦
2 :
213
456
7 8
en utilisant
la case vide pour faire glisser les pièces verticalement ou horizontalement ?
3
•Un anneau (A, +,×)est un ensemble muni de deux lois internes +,×tel que
(A, +) est un groupe commutatif
×est associative
×possède un élément neutre 1
A
×est distributive sur +
si la loi ×est commutative , l’anneau est dit commutatif
•Eléments inversibles
On note A
∗
l’ensemble des éléments de Aqui admettent un inverse pour la loi ×
A
∗
={x∈A, ∃y∈A, xy =yx = 1
A
}
A
∗
est un groupe multiplicatif
•Corps .
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles
•Un anneau commutatif est intègre ssi
∀(x, y)∈A
2
, xy = 0 ⇒x= 0 ou y= 0
(Z,+,×)est un anneau intègre . (Q,+,×)est un corps
3
Non . associons à chaque position du taquin la suite des chiffres lus dans la table en parcourant successivement les lignes de gauche à
droite. On obtient ainsi une permutation de {1, .., 9}. la position n
◦
2définit une permutation de signature -1, alors que la position n
◦
1a pour
signature 1 : or toutes les transformations possibles sur le taquin sont soit l’identité pour le glissements horizontaux, soit des cycles d’ordre
3 pour les glissements verticaux, dont la signtaure est égale à 1. Il est donc impossible en composant de telles permutations d’obtenir une
signature égale à −1