Chap 11 : L`anneau Z/nZ

Chap 11 : L'anneau Z/nZ
Chap 11 : L'anneau /n
I. Construction
a, b  . On définit (correctement) le produit a  b  a  b.

  /n
s:

a a
n  2.k 


, , est un anneau commutatif et unitaire.
n
est un morphisme d'anneaux surjectif, de noyau n
k est inversible dans
n
n
ssi k  n  1
k engendre
||

n

,  ssi k  n  1
est un corps ssi n est premier
Pour un anneau A, on note U ( A) le groupe des éléments inversibles de A.
(I )
k  1, n  1 . Si d  n  k  1, k
P
n k
  n  0
d d 
||
U

n
   ( n)
[ X ]. Si n est premier, le nombre de racines de P  deg P. (vrai anneau intègre commutatif)
n
Si n non premier, il peut y avoir plus de racines
II. Indicatrice d’Euler, théorème chinois
A, B deux anneaux
(a, b)  (a ', b ')  (a  a ', b  b ')
A  B muni des lois : 
est un anneau d'élément neutre (1A ,1B )
(a, b)  (a ', b ')  (aa ', bb ')
U ( A  B)  U ( A)  U ( B)
Indicatrice d'Euler :  (n)  card U ( / n )
|| [ x / d ] |{multiples de d  x}|
Cet anneau n'est jamais intègre
m, n  2, m  n  1
(I )
mn
et
(a, b)  , on cherche x 
n

m
sont isomorphes
 (mn)   (m) (n)
tq x  a[m], x  b[n]  u, v tq um  vn  1, x  umb  vna
 1
p premier  (n  p r  1  p | n)   ( p r )  p r 1  
p

 r
    pii
 i 1
 r i r 
1
   pi   1  p 
i 1 
 i 1
i 
Fermat : p nombre premier, x  , x p  x[ p], et si x  p , x p1  1[ p]
Théorème d'Euler : n  2, a  .
// HP //
Wilson : p  2
a  n  1  a ( n)  1[n]
p premier  ( p  1)!  1[ p]
(racines de X p1  1 avec Fermat )
G  ( / p )* est cyclique (c  G tq N   (c)  ppcm{ (a)}aG ,
(I )
a  G, a N  1  N  p  1 (nb racines ds 1 corps  deg P), c p 1  1  N | p  1)
(I )
Résidus quadratiques : p  3 premier. Le nb de carrés de
a  / p *, a
p 1
2
{1;1}
1 est carré dans
/ p * est
p 1
: c'est l'ens. des racines de X
2
p 1
2
1
/ p ssi p  1[4]
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