Chap 11 : L`anneau Z/nZ

Chap 11 : L'anneau Z/nZ
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Chap 11 : L'anneau /n
I. Construction
, . , , On définit (correctement) le produit . est un anneau commutatif et unitaire. a b a b a b n
/
: est un morphisme d'anneaux surjectif, de noyau
n
sn
aa
1 || , 12. engendre
est un corps est prem
est inversible dans
er i
n k k n k ssi k n
n
ssi n
ssi k
n
n
()
( ) .
1 0 |1, 1 . | ( )
[ ]. deg .
S
Pour un anneau , on note le groupe des éléments inversibles de
,
Si est premier, le nombre de racines de (vrai ann
i
eau intèg
I
A U A A
nk
k k n U n
n
dd
P X n P P
n d n
n
k
re commutatif)
Si non premier, il peut y avoir plus de racinesn
II. Indicatrice d’Euler, théorème chinois
, deux anneauxAB
( , ) ( ', ') ( ', ') (1 ,1 )
( , ) ( ', ') ( ', ')
( ) ( ) ( ) ( ) card ( / )
muni des lois : est un anneau d'élément neutre
Indicatrice d'Euler :
AB
a b a b a a b b
AB a b a b aa bb
U A B U A U B n U n
|| [ / ] |{ }|Cet anneau n'est jamais intègre multiples de x d d x
1 ( ) ( ) ( ), 2, et sont isomorphesn mn m n
mn
mnm nm
()
1 1 1
( , ) , [ ], [ ] , 1
11
( 1 | ) ( ) 1 1
on cherche tq tq ,
premier ii
r r r
I
r r r
ii
i
i
ii
p
a b x x a m x b n u v um vn x umb vna
p n p n p p p p
pp
1
, , 1 ][] [Fermat : nombre premier, , et si
pp
p x x x x pp xp
()
2, 1].1[Théorème d'Euler : n n a a n a n
// // 1
2 ( 1)! )1[ ] 1(racines de avec Wilson : premier pHP X Fermatp p p p 
(
1
)( ( ) { ( )}
, 1 1 1 |
/ )*
)
(
1
tq , est cycliq
(nb racines ds 1 corps deg P)
ue
,
aG
N
I
p
c G N c ppcm a
a G a N p c N
G
p
p
1
() 2
1
2
1
3 / * 1
2
/ * { 1;1} 1 / 1[4]
Résidus quadratiques : premier. Le nb de carrés de est : c'est l'ens. des racines de
, est carré dans
p
I
p
p
p p X
a p a p ssi p