feuille TD1

Feuille d’exercice n°1 (C.DOSS)
LM 125
Groupe,anneau,corps
Exercice 1
1) Définir les éléments du groupe des permutations de {1,2,3} et écrire sa
table de multiplication.
2) Montrer que ce groupe est non commutatif.
Exercice 2
1) Montrer que si n est un entier >1 et non premier, le groupe Z/nZ admet
d’autre sous groupe que G et le groupe réduit à l’élément neutre.
1) Quels sont les éléments x du groupe G=Z/8Z tels que le sous groupe
engendré par x soit égal à G. Méme question pour Z/7Z.
Exercice 3
Soit G un groupe, H une partie finie non vide de G telle que :
x∈H et y ∈H⇒ x.y-1∈H
Montrer que H est un sous groupe de G
Exercice 4
Soit E l’ensemble des couples (a,b) ou a et b sont des nombres réels avec
a≠0. On définit sur E une opération en posant :
(a,b).(a’,b’)= (aa’,a’b+ab’)
1) Montrer que E muni de cette opération est un groupe. Donner les
coordonnées de l’élément neutre et celle de l’élément symétrique de (a,b). Le
groupe est il commutatif ?
2) Soient a et b 2 réels fixés. On définit l’application f(a,b) de R dans luimême en posant f(a,b) (x)=ax+b. Montrer que l’ensemble des f(a,b) forme pour la
composition des applications, un groupe isomorphe au groupe E.
Exercice 5
Montrer que les nombres de la forme a+b√2, ou a∈Q et b∈Q, forment un
corps pour l’addition et la multiplication usuelle.
Exercice 6
Ecrire les tables de multiplication de Z/5Z. En déduire que l’anneau
Z/5Z est un corps.
Exercice 7
On définit sur R4 une addition et une multiplication par les formules :
(a,b,c,d)+(a’,b’,c’,d’)=(a+a’,b+b’,c+c’,d+d’)
(a,b,c,d).(a’,b’,c’,d’)=(aa’-bb’-cc’-dd’,ab’+ba’+cd’-dc’,ac’+ca’+db’bd’,ad’+da’+bc’-cb’).
4
Montrer que R devient ainsi un corps non commutatif appelé corps des
quarternions.
Exercice 8
Soit A un anneau à élément unité. Un élément x de A est dit nilpotent s’il
existe un entier strictement positif m tel que xm =0. Montrer que si 1-y est
nilpotent, alors y est inversible.
On suppose de plus que A est commutatif. Montrer que la somme de 2
éléments nilpotents est un élément nilpotent. Prouver par un contre exemple
que, si A n’est pas commutatif, la somme de 2 éléments nilpotents n’est pas un
élément nilpotent.
Indications
Exercice 1
Le groupe des permutations de {1,2,3} est constitué des 6 éléments
Id,τ1,2, ,τ1,3, ,τ2,3,σ1,2,3, ,σ1,2,3.
Exercice 2
1)Si d est un diviseur de n, n=pd et {0,d,2d,……,(p-1)d} est un sous
groupe de Z/nZ. 2)Par conséquent pour G=Z/8Z les éléments 1,3,5,7 engendrent
G, et G=Z/7Z est engendré par chacun de ses éléments.
Exercice 3
x∈H et x∈H⇒e=xx-1∈H
x∈H et e∈H⇒x-1∈H
x∈H et y∈H⇒ x∈H et y-1∈H⇒xy∈H
Exercice 4
e=(1,0) et (a,b)-1=(1/a,-b/a2). E est non commutatif.
Exercice 5
{(a+b√2),a∈Q,b∈Q} est un groupe commutatif pour l’adition
d’élément neutre 0
{(a+b√2),a∈Q,b∈Q,(a,b)≠(0,0)} est un groupe pour la multiplication
d’élément neutre 1, (a+b√2)-1=(a/(a2-2b2),-b/(a2-2b2)) pour (a,b)≠0.
Exercice 6
Z/5Z ={0,1,2,3,4} est un groupe pour l’addition, pour la multiplication
1 est élément neutre et tout élément non nul admet un inverse :
1-1=1, 2-1=3 ,3-1=2,4-1=4
Exercice 7
L’élément neutre est pour l’adition (0,0,0,0) et pour la multiplication
(1,0,0,0). Tout élément non nul de R4 admet comme inverse
(a,-b,-c,-d)/(a2+b2+c2+d2)
Exercice 8
0=(1-x)n=1-Cn1x+CN2 x2+…+(-1)nCnn⇒x-1=∑1n(-1)k+1Cnkxk-1
xp=yq=0⇒xn=yn=0 pour n=pq et on a alors :
(x+y)2n-1= ∑0n-1C2n-1kxky2n-1-k+ ∑n2n-1C2n-1kxky2n-1-k=0
Contre exemple pour l’anneau non commutatif des matrices 2x2:
x=(0 1) y=(0 0)
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