Classe de 4ème Chapitre 5 Puissances d’un nombre relatif I. Puissances de 10 I.1. Puissance de 10 d’exposant entier positif On sait que 10² = 10 × 10 = 100 deux zéros 2 facteurs 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 trois zéros 3 facteurs 10 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000 quatre zéros 4 4 facteurs Définition 1 : Plus généralement, si n est un entier positif, alors 10n désigne le produit de n facteurs tous égaux à 10. Ce qui donne : 10n = 10 ×10 × ..... × 10 = 100...0 N (D1) n facteurs n zéros Lire « 10 élevé à la puissance n » ou « 10 à la puissance n » ou encore « 10 exposant n ». On dit que n est l’exposant de la puissance de 10. Remarque : Pour passer d’une puissance de 10 à une puissance d’exposant supérieur, on multiplie par 10. Dans l’autre sens, on divise. En particulier : 101 10 10² 100 0 = = 1. 10 = = = 10 et 10 = 10 10 10 10 1 Ce qui donne : 101 = 10 et 100 = 1 . I.2. Puissance de 10 d’exposant entier négatif On sait que 1 1 = 1 = 10−1 10 10 1 zéro 1 1 −2 0, N0 1 = 100 = 10² = 10 2 zéros 0N ,1 = 1 1 0, 001 = = 3 = 10−3 N 1000 10 3 zéros 1 1 0, 0001 = = 4 = 10−4 N 10000 10 4 zéros © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis. Chapitre 3 Classe de 4ème 2 Définition 2 : Plus généralement, si n est un entier positif, alors (–n) est un nombre entier négatif. 10- n désigne l’inverse de 10n. Ce qui donne : 1 ème = 0, 0...01 le 1 est situé à la n position après la virgule. 10n n zéros 10− n = (D2) −5 Exemples : 10 = 1 1 = = 0, 00001 où le 1 est en 5ème position . 5 10 100 000 5 zéros Un cent millionième = 1 1 = 8 = 10−8 . 100 000 000 10 I.3. Propriétés Soient n et p deux entiers relatifs quelconques. Alors on a (P1) : 10n × 10 p = 10n + p 10n = 10n − p p 10 (P3) : (10n )p = 10n ×p (P2) : Démonstrations (P1) : 10n × 10 p = 10 × 10 × ... × 10 × 10 × 10 × ... × 10 = 10 × 10 × ... × 10 = 10n + p . n facteurs p facteurs n + p facteurs n + p facteurs n − p facteurs 10n 10 ×10 × ... × 10 × 10 × 10 × ... × 10 (P2) : = = 10 × 10 × .. . × 10 = 10 n − p . p 10 10 × 10 × ... × 10 n facteurs p facteurs × 10 × ... × 10 (P3) : (10 ) = 10 = 10 n p n n n p termes n + n +...+ n = 10n× p . p facteurs I.4. Ecriture d’un nombre décimal à l’aide d’une puissance de 10 Propriété n°4 Soit n un nombre entier positif quelconque. – Multiplier un nombre décimal par 10n, revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (en complétant par des zéros si nécessaire). – Multiplier un nombre décimal par 10- n, revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (en complétant par des zéros si nécessaire). – Diviser par 10n revient à multiplier par 10- n et diviser par 10- n revient à multiplier par 10 n. © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis. Chapitre 3 Classe de 4ème 3 Exemples 38,75 x 103 = 38750 et 38,75 : 103 = 0,03875. Propriété n°5 Tout nombre décimal N non nul peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme d’un produit d’un (autre) nombre décimal par une puissance de 10 comme suit : N = a x 10 p où a est un nombre décimal et p un entier relatif. Exemple : N = 35000 N = 35 × 1000 = 35 × 103 N = 350 × 100 = 350 × 102 N = 3,5 × 10000 = 3,5 × 104 N = 0,35 × 100000 = 0,35 × 105 N = .... I.5. Notation scientifique Propriété n°6 Tout nombre décimal N non nul peut s’écrire d’une manière unique sous la forme d’un produit d’un nombre décimal « a » dont la distance à zéro est comprise entre 1 et 10 et une puissance de 10 comme suit : N = a x 10 p où a est un nombre décimal n’ayant qu’un seul chiffre différent de zéro avant la virgule et p un entier relatif. Exemples : Nombre 35700000 0, 000122 Ecriture scientifique 3,57 ×107 1, 22 ×10−4 Recherche pratique d’une écriture scientifique : N = 352 × 107 On cherche d’abord la n.s. du 1er nombre 352 =3,52 x 102 2 7 × 10 N = 3,52 × 10 puis on regroupe les puissances de 10. N = 3,5 ×102+ 7 N = 3,52 × 109 n.s. de N. © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis. Chapitre 3 Classe de 4ème 4 I.6. Opérations et puissances de 10 Propriété n°6 1°) Produit de puissances : ( a × 10 n ) × (b × 10 p ) = ab × 10 n + p a × 10n a 10 n a × = × p = × 10n − p p b × 10 b 10 b n p n− p p p 10 3°) Somme et différence de puissances : a × 10 + b × 10 = a × 10 × + b × 10 2°) Quotient de puissances : ³ clé du problème = ( a × 10 n − p + b) × 10 p (où n > p) La méthode consiste à mettre en facteur la puissances de 10 ayant le plus petit exposant. Exemples : P = (3 × 105 ) × (5 × 1012 ) P = (3 × 5) × (105 × 1012 ) P = 15 ×10 5+12 P = 15 ×1017 P = 1,5 ×101 × 1017 P = 1,5 ×1018 Q= 144 × 1015 50 ×10 144 1015 Q= × 50 109 Q = 2,88 × 1015−9 9 Q = 2,88 × 10 6 15 S = 31× 10 N + 297 ×1013 On décompose 2 13 13 S = 31 × 10 × 10 + 297 × 10 S = 3100 ×1013 + 297 ×1013 S = (3100 + 297) × 1013 S = 3397 ×1013 3 13 S = 3,397 × 10 × 10 On regroupe S = 3,397 × 1016 n.s. de S Pour additionner des nombres écrits à l’aide de puissances de 10, on met en facteur la puissance de 10 ayant le plus petit exposant. Exemple type Brevet : Calculer A et donner le résultat en notation scientifique avec A = 35 ×105 × 24 × 103 A= 15 × (10−3 ) 2 35 × 24 105 × 103 × on sépare les facteurs par type A= 15 (10−3 ) 2 A= 7 × 5 × 3 × 8 105 × 103 on calcule et on simplifie chaque facteur × (10−3 ) 2 5×3 105 ×103 10−6 108 A = 56 × −6 = 56 ×108−( −6) = 56 ×1014 10 A = 5, 6 ×101 ×1014 A = 56 × A = 5, 6 ×1015 n.s. © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis. 35 × 105 × 24 × 103 15 × (10−3 )2 Chapitre 3 Classe de 4ème 5 II. Puissances d’un nombre relatif : II.1. Puissances d’exposant entier positif : Définition : Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2 et a un nombre relatif, alors a n désigne le produit de n facteurs tous égaux à a . Ce qui donne : a n = a × a × ... × a . De plus : a1 = a et si a ≠ 0 , alors a 0 = 1 . 00 n’est pas défini. n facteurs a se lit « a élevé à la puissance n » ou « a à la puissance n » ou encore « a exposant n ». n On dit que n est l’exposant de la puissance de a . Exemples : 23 = 2 × 2 × 2 = 8 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 (−3)² = (−3) × (−3) = 9 (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27 II.2. Puissances d’exposant entier négatif : Définition : Soit n un entier positif , don (–n) est négatif. Soit a un nombre relatif non nul. a ≠ 0 . Alors Le nombre a − n est égal à l’inverse de a n . Autrement dit, pour tout nombre relatif a ≠ 0 : a − n = 1 an Exemples : 1 1 = 23 8 1 1 (−3) −2 = = (−3)² 9 1 1 1 (−2) −5 = = =− 5 (−2) 32 −32 2−3 = II.3. Propriétés Soient a et b deux nombres relatifs non nuls ( a ≠ 0 et b ≠ 0 ) et n et p deux entiers relatifs quelconques. Alors on a (P1) : a × a = a n p an n− p (P2) : p = a a n+ p (a ≠ 0) n p n× p (P3) : (a ) = a n (P4) : (a × b) = a × b n n n an ⎛a⎞ (P5) : ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠ (b ≠ 0) © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis. Chapitre 3 Classe de 4ème 6 Démonstrations pour n et p > 0 : (P1) : a n × b p = a × a × ... × a × a × a × ... × a = a × a × ... × a = a n + p . n facteurs p facteurs n + p facteurs n + p facteurs n − p facteurs a n a × a × ... × a × a × a × ... × a = = a × a × ... × a = a n − p . p a a × a × ... × a n facteurs (P2) : p facteurs × a × ... × a =a (P3) : (a ) = a n p n n n p termes n + n +...+ n = a n× p . p facteurs (P4) : (a × b) = (ab) × (ab) × ... × (ab) = (a × a × ... × a ) × (b × b × ... × b) = a n × b n n n facteurs n facteurs ( ab ) n facteurs n a a a a a × a × ... × a a n ⎛ ⎞ = n (P5) : ⎜ ⎟ = × × ... × = ... × × × b b b b b b ⎝ b ⎠ b n facteurs n facteurs n facteurs II.4. Puissances et opérations Ordre de priorité des opérations – Dans une suite de calculs sans parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport à toutes les opérations. – Dans une suite de calculs, on effectue les opérations dans l’ordre suivant : 1°) Opérations entre parenthèses ; 2°) Les puissances 3°) Les multiplications et les divisions ; 4°) Les additions et les soustractions. Exemples : 1°) Calculer : A = 5 × 23 − 22 × 7 B = (5 × 2)3 − 22 × 7 C = 5 × (23 − 2) 2 × 7 D = 5 × (23 − 22 ) × 7 = 5×8 − 4× 7 = 103 − 4 × 7 = 5 × (8 − 4) 2 × 7 = 5 × 42 × 7 = 5 × (8 − 2) 2 × 7 = 5 × 62 × 7 = 40 − 28 = 1000 − 28 = 5 × 36 × 7 = 180 × 7 = 5 × 16 × 7 = 80 × 7 A = 12 B = 972 C = 1260 D = 560 2°) Ecrire sous la forme d’une seule puissance : E= 54 × (52 ) −3 54 × 52×3 54 × 5−6 54−6 5−2 = = = 3 = 3 = 5−2−3 = 5−5 53 53 53 5 5 63 × 25 × 33 (2 × 3)3 × 25 × 33 23 × 33 × 25 × 33 23+5 × 33+3 28 36 = = = 8 −2 = 8 × −2 = 36−( −2 ) = 38 . F= 8 8 8 −2 −2 −2 2 ×3 2 ×3 2 ×3 2 ×3 2 3 © Abdellatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.