Classification des groupes de pavage du plan
2012-2013
Référence : Rémi Goblot, Thèmes de géométrie, Masson, 1998, p.311.
On se place dans Pun plan affine euclidien et on considère ~
Pson plan vectoriel
euclidien associé.
Un réseau est un sous-groupe additif R ⊆ ~
Payant les propriétés :
–Rengendre ~
Pcomme espace vectoriel
– Toute partie bornée de Rest finie.
Proposition.
Les réseaux sont les sous-groupes additifs de ~
Pde la forme Z~u ⊕Z~v,~u et ~v non
colinéaires.
Soit Run réseau, ~u de norme minimum parmi les vecteurs non nuls de R,~v de
norme minimum parmi les vecteurs non colinéaires à ~u. Alors R=Z~u ⊕Z~v.
On note T(P)le groupe des translations de P.
Un sous-groupe Gde Isom(P)est un groupe de pavage si T:= G∩T(P)est
formé des t~w où ~w décrit un réseau Rde ~
P.
Théorème.
Soit Gun groupe de pavage inclus dans Isom+(P)(i.e. Gest composé de dé-
placements).
Soit Tle sous-groupe des translations de Get Rle réseau associé.
On note Gle groupe des rotations vectorielles de G.
Alors :
–Gest cyclique d’ordre n∈ {1,2,3,4,6}.
–G=ToG
Il y a donc 5 groupes de pavage composés de déplacements à isomorphisme près.
Le produit semi-direct est le même que celui de Isom(P).
Démonstration. Soit f∈G. Pour tout ~w ∈ R,ft~wf−1=t~
f(~w)∈G, donc
~
f(~w)∈ R, donc Rest stable par ~
f.
Soit (~u, ~v)une base de R. Alors
Mat(~u,~v)(~
f) := a b
c d
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