Chap.2 : Vecteurs : colinéarité et équations de droites

Chap.2 : Vecteurs : colinéarité et équations de droites
I] COLINEARITE :
Définition : Dire que deux vecteurs  et  , non nuls, sont colinéaires signifie qu’il existe un réel k (non nul) tel que  = k
Propriété :
Dans un repère, dire que deux vecteurs   et  , non nuls, sont colinéaires, cela revient à dire que
 . (produit en croix)
II] CHANGEMENT DE REPERE
Soit  . Alors, si  et  ne sont pas colinéaires, on peut définir le repère (  dans lequel  (α ;β).
III] EQUATIONS DE DROITES :
Dans un repère, toute droite a une équation cartésienne, c’est-à-dire une équation de la forme ax+by+c = 0 (a≠0 ou b≠0).
Propriété-définition : Toute droite admet un vecteur directeur, c’est celui qui donne la direction de cette droite.
Propriété : Le vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0 est 
.
Théorème :
Si deux droites d et d’ ont pour vecteurs directeurs  et  , dire que d et d’ sont parallèles revient à dire que les vecteurs
et  sont colinéaires.
Méthodes : Trouver l’équation d’une droite de vecteur directeur  (1 ; 2) et qui passe par le point A(3 ; 5).
1) Comme  (1 ; 2) est un vecteur directeur, la droite a pour équation 2x – 1y + c = 0.
Il ne reste plus qu’à trouver c en écrivant que A est un point de la droite donc que ses coordonnées vérifient
l’équation : 2 × 3 - 1 × 5 + c = 0, c’est-à-dire 6 – 5 + c = 0 ou enfin c = -1. Une équation est 2x – y - 1 = 0.
2) On peut aussi choisir un point M(x ; y) de la droite. On a alors  et  colinéaires, c’est-à-dire :
 et    2(x-3) – 1(y – 5) = 0  2x – 1y -6 + 5 = 0  2x – y – 1 = 0.