2. a.

Corrigé du DM 4
n° 73 p. 190 :
• AB (2 – 5 ; – 5 + 3) donc  AB (–3 ;–2)
Par conséquent 7
3 
AB ( – 3  7
3 ; – 2  7 3 ) ce qui donne
7
3 
AB (–7 ; – 14
3 ).
D’autre part  AC (xC – xA ;yC – yA) et on obtient  AC (x – 5 ;y + 3).
Comme  AC = 7
3 
AB les coordonnées des vecteurs  AC et 7
3 
AB sont
égales et : x – 5 = –7  x = – 7 + 5 = –2
y + 3 = – 14
3  y = – 14 3 – 3 = – 23 3
Le point C a donc pour coordonnées (–2 ; – 23
3 ).
• Nous savons que  AC = 7
3 
AB donc les vecteurs  AC et  AB sont
colinéaires. Par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont parallèles.
Comme A est un point commun à ces deux droites, on peut en déduire
que (AB) et (AC) sont confondues. Et donc les points A, B et C sont
alignés.
n° 55 p. 189 :
Nous savons que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs
coordonnées sont proportionnelles.
a) Il faut et il suffit que 5  5 = –2  k  25 = –2k  2k = – 25
 k = – 25
2 = –12,5.
b) Il faut et il suffit que 2  5 = –k  (–3k)  10 = 3k²  3k² = 10
 k² = 10
3  k = 10 3 ou – 10 3

c) Il faut et il suffit que 4  k² 2 = 3k  (–5)  4 k² 2 = – 15 k
 4 k² 2 + 15 k = 0  k(4 k 2 + 15) = 0
 k = 0 ou 4 k 2 + 15 = 0  k = 0 ou k = – 15
4 2
n° 90 p. 192 :
1. a.  AB (3 ;1) et  CD (5
2 ; –2)
b. 3  (–2) = –6 et 1  5
2 = 5 2 donc les coordonnées de ces
vecteurs ne sont pas proportionnelles. Par conséquent,  AB et  CD
ne sont pas colinéaires et les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
2. a. Posons M(x ;y). Alors  AM (x + 1 ;y – 3
2 ). D’autre part, pour
k  IR, k  AB (3k ;k). Nous savons qu’il existe un réel k tel que
AM = k  AB (car les vecteurs  AM et  AB sont colinéaires) donc
on a : x + 1 = 3k  x = –1 + 3k et y – 3
2 = k  y = 3 2 + k. Le
point M a donc pour coordonnées (–1 + 3k ; 3
2 + k).
b. Nous avons alors  CM (–1 + 3k – 0 ; 3
2 + k – 5 2) c'est-à-dire
CM (–1 + 3k ;–1 + k).
c. CM et  CD sont colinéaires donc leurs coordonnées sont
proportionnelles :
(–1 + 3k)  (–2) = (–1 + k)  5
2  2 – 6k = – 5 2 + 5 2 k. Nous
multiplions le tout par 2 pour chasser les fractions et on a :
4 – 12k = –5 + 5k  9 = 17k  k = 9
17
d. Il suffit de remplacer k par sa valeur :
x = –1 + 3k = – 1 + 3  9
17 = 10 17 et
y = 3
2 + k = 3 2 + 9 17 = 69 34. D’où M ( 10 17 ; 69 34 ).