Corrigé du DM 4
n° 73 p. 190 :

AB (2 5 ; 5 + 3) donc 
AB (3 ;2)
Par conséquent 7
3 
AB ( 3 7
3 ; 2 7
3 ) ce qui donne
7
3 
AB (7 ; 14
3 ).
D’autre part 
AC (xC xA ;yC yA) et on obtient 
AC (x 5 ;y + 3).
Comme 
AC = 7
3 
AB les coordonnées des vecteurs 
AC et 7
3 
AB sont
égales et : x 5 = 7 x = 7 + 5 = 2
y + 3 = 14
3 y = 14
3 3 = 23
3
Le point C a donc pour coordonnées (2 ; 23
3 ).
• Nous savons que 
AC = 7
3 
AB donc les vecteurs 
AC et 
AB sont
colinéaires. Par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont parallèles.
Comme A est un point commun à ces deux droites, on peut en déduire
que (AB) et (AC) sont confondues. Et donc les points A, B et C sont
alignés.
n° 55 p. 189 :
Nous savons que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs
coordonnées sont proportionnelles.
a) Il faut et il suffit que 5 5 = 2 k 25 = 2k 2k = 25
k = 25
2 = 12,5.
b) Il faut et il suffit que 2 5 = k (3k) 10 = 3k² 3k² = 10
k² = 10
3 k = 10
3 ou 10
3
c) Il faut et il suffit que 4 2 = 3k (5) 4 k² 2 = 15 k
4 k² 2 + 15 k = 0 k(4 k 2 + 15) = 0
k = 0 ou 4 k 2 + 15 = 0 k = 0 ou k = 15
4 2
n° 90 p. 192 :
1. a. 
AB (3 ;1) et 
CD (5
2 ; 2)
b. 3 (2) = 6 et 1 5
2 = 5
2 donc les coordonnées de ces
vecteurs ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, 
AB et 
CD
ne sont pas colinéaires et les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
2. a. Posons M(x ;y). Alors 
AM (x + 1 ;y 3
2 ). D’autre part, pour
k IR, k 
AB (3k ;k). Nous savons qu’il existe un réel k tel que

AM = k 
AB (car les vecteurs 
AM et 
AB sont colinéaires) donc
on a : x + 1 = 3k x = 1 + 3k et y 3
2 = k y = 3
2 + k. Le
point M a donc pour coordonnées (1 + 3k ; 3
2 + k).
b. Nous avons alors 
CM (1 + 3k 0 ; 3
2 + k 5
2) c'est-à-dire

CM (1 + 3k ;1 + k).
c.

CM et 

CD sont colinéaires donc leurs coordonnées sont
proportionnelles :
(1 + 3k) (2) = (1 + k) 5
2 2 6k = 5
2 + 5
2 k. Nous
multiplions le tout par 2 pour chasser les fractions et on a :
4 12k = 5 + 5k 9 = 17k k = 9
17
d. Il suffit de remplacer k par sa valeur :
x = 1 + 3k = 1 + 3 9
17 = 10
17 et
y = 3
2 + k = 3
2 + 9
17 = 69
34. DM ( 10
17 ; 69
34 ).
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