2. a.

Corrigé du DM 4
n° 73 p. 190 :
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•AB (2 – 5 ; – 5 + 3) donc AB (–3 ;–2)
Par conséquent
7
7
7
AB ( – 3  ; – 2  ) ce qui donne
3
3
3
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7
14
AB (–7 ; –
).
3
3
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D’autre part AC (xC – xA ;yC – yA) et on obtient AC (x – 5 ;y + 3).
7
7
AB les coordonnées des vecteurs AC et AB sont
3
3
égales et : x – 5 = –7  x = – 7 + 5 = –2
14
14
23
y+3=–
y=–
–3=–
3
3
3
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Comme AC =
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Le point C a donc pour coordonnées (–2 ; –

23
).
3
7
AB donc les vecteurs AC et AB sont
3
colinéaires. Par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont parallèles.
Comme A est un point commun à ces deux droites, on peut en déduire
que (AB) et (AC) sont confondues. Et donc les points A, B et C sont
alignés.
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• Nous savons que AC =
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n° 55 p. 189 :
Nous savons que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs
coordonnées sont proportionnelles.
a) Il faut et il suffit que 5  5 = –2  k  25 = –2k  2k = – 25
25
k=–
= –12,5.
2
b) Il faut et il suffit que 2  5 = –k  (–3k)  10 = 3k²  3k² = 10
10
10
10
 k² =
k=
ou –
3
3
3
c) Il faut et il suffit que 4  k² 2 = 3k  (–5)  4 k² 2 = – 15 k
 4 k² 2 + 15 k = 0  k(4 k 2 + 15) = 0
15
 k = 0 ou 4 k 2 + 15 = 0  k = 0 ou k = –
4 2
n° 90 p. 192 :
5
1. a. AB (3 ;1) et CD ( ; –2)
2
5 5
b. 3  (–2) = –6 et 1  = donc les coordonnées de ces
2 2
vecteurs ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, AB et CD
ne sont pas colinéaires et les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
3
2. a. Posons M(x ;y). Alors AM (x + 1 ;y – ). D’autre part, pour
2
k  IR, k AB (3k ;k). Nous savons qu’il existe un réel k tel que
AM = k AB (car les vecteurs AM et AB sont colinéaires) donc
3
3
on a : x + 1 = 3k  x = –1 + 3k et y – = k  y = + k. Le
2
2
3
point M a donc pour coordonnées (–1 + 3k ; + k).
2
3
5
b. Nous avons alors CM (–1 + 3k – 0 ; + k – ) c'est-à-dire
2
2
CM (–1 + 3k ;–1 + k).
c. CM et CD sont colinéaires donc leurs coordonnées sont
proportionnelles :
5
5 5
(–1 + 3k)  (–2) = (–1 + k)   2 – 6k = – + k. Nous
2
2 2
multiplions le tout par 2 pour chasser les fractions et on a :
9
4 – 12k = –5 + 5k  9 = 17k  k =
17
d. Il suffit de remplacer k par sa valeur :
9 10
x = –1 + 3k = – 1 + 3  =
et
17 17
3
3 9 69
10 69
y= +k= +
= .
D’où M (
; ).
2
2 17 34
17 34
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