TD 5 - Groupe symétrique, Groupe linéaire général

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 5 - Groupe symétrique, Groupe linéaire général
Exercice 1. Soit G un groupe simple d’ordre 60. Nous allons montrer qu’il est isomorphe à A5 .
1. Montrer que pour n ≤ 4, G n’a pas de sous-groupe d’indice n.
2. Montrer que si G possède un sous-groupe d’indice 5, alors il est isomorphe à A5 .
3. Combien y a-t-il de 5-Sylow dans G ? Combien y a-t-il d’éléments d’ordre 5 dans G ?
4. On suppose que G ne possède pas de sous-groupe d’indice 5.
(a) Montrer que le nombre de 2-Sylow de G est égal à 15.
(b) Montrer que l’intersection de deux 2-Sylow distincts est triviale. (Considérer le centralisateur d’un éventuel élément non-trivial de cette intersection.) En déduire une
minoration du nombre d’éléments d’ordre pair de G et conclure.
Exercice 2. On note SO3 (R) le groupe spécial orthogonal. On rappelle qu’il est engendré par
les retournements.
1. Montrer que O3 (R) est produit semi-direct de SO3 (R) par Z/2Z. Le produit est-il direct ?
2. Montrer que SO3 (R) est un groupe topologique compact et connexe. (On appelle groupe
topologique un groupe G tel que l’application G × G → G, (x, y) 7→ xy −1 est continue.)
3. Montrer que, dans un groupe topologique, la composante connexe de l’élément neutre est
un sous-groupe distingué.
4. Nous allons montrer que SO3 (R) est simple. On considère l’application
f : SO3 (R) −→
[ 0, π ]
)
g
7−→ arccos( T r(g)−1
2
(a) En utilisant l’application f , montrer que SO3 (R) ne contient pas de sous-groupe
distingué connexe non trivial.
(b) Soit H un sous-groupe distingué de SO3 (R). On suppose que H 6= SO3 (R). Montrer
que la composante connexe de l’identité dans H est triviale, puis que H est inclus
dans le centre de SO3 (R). Conclure.
Exercice 3. Pour F = F2 , F3 , calculer les commutateurs [GL2 (F), GL2 (F)] et [SL2 (F), SL2 (F)].
Exercice 4. Soient K un corps et n un entier strictement positif. On désigne par B le sousgroupe de Borel de GLn (K) constitué par les matrices triangulaires supérieures, par U le sousgroupe de B constitué par les matrices unipotentes.
1. Soit V = (V0 , V1 , ..., Vn ) un drapeau complet. Une base B de Kn est dite adaptée à V si
pour tout i ∈ {1, ..., n}, l’espace Vi est engendré par une partie de B.
(a) Soient V et W deux drapeaux complets de Kn . Montrer qu’il existe une base adaptée
simultanément à V et à W.
(b) On considère l’action naturelle de GLn (K) sur les drapeaux complets de Kn . Elle
induit une action de GLn (K) sur les couples de drapeaux. Montrer que l’espace des
couples de drapeaux quotienté par cette action s’identifie au groupe des permutations
Sn .
(c) Montrer la décomposition de Bruhat : GLn (K) = BSn B où Sn est identifié à son
image canonique dans GLn (K). Montrer que l’on a aussi GLn (K) = U Sn B.
2. Montrer que B est résoluble non nilpotent. Montrer que U est nilpotent.
1
Exercice 5. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2. Soit C l’ensemble des classes de
conjugaison sous SLK (E) des transvections de E. Pour ρ ∈ K∗ on note Tρ la transvection
1 ρ
Tρ =
.
0 1
1. Montrer que Tρ et Tρ′ sont conjuguées si et seulement si ρ′ /ρ ∈ K∗2 .
2. En déduire une bijection naturelle entre K∗ /K∗2 et C.
3. Que dire si K = C, R, Fp , Q ?
Exercice 6. On désigne par X un polyèdre régulier de l’espace euclidien de dimension 3. Le
groupe des isométries laissant X invariant sera noté Isom(X) et son sous-groupe des isométries
positives, Isom+ (X).
1. Si 0 est un centre de symétrie pour X, montrer que Isom(X) ≃ Isom+ (X) × Z/2Z.
2. On désigne par ∆4 le tétraèdre régulier.
(a) Montrer que Isom(∆4 ) ≃ S4 et Isom+ (∆4 ) ≃ A4 . Le groupe Isom+ (∆4 ) est-il un
facteur direct de Isom(∆4 ) ?
(b) Montrer que A4 possède un unique 2-Sylow et que ce dernier est isomorphe au groupe
de Klein V4 = Z/2Z × Z/2Z. En déduire que A4 ≃ V4 ⋊ Z/3Z.
(c) Identifier le 2-Sylow de Isom+ (∆4 ).
3. On désigne par C6 le cube. On numérote de 1 à 4 les diagonales du cube. Montrer que l’on
a un morphisme de groupes naturel
Isom(C6 ) −→ S4 .
Quel est son image, son noyau ? Montrer que Isom+ (C6 ) ≃ S4 et Isom(C6 ) ≃ S4 × Z/2Z.
4. En remarquant que l’ensemble des sommets de C6 est la réunion des sommets de deux
tétraèdres réguliers, lire la signature de S4 dans Isom+ (C6 ).
5. Lire le groupe de Klein dans Isom+ (C6 ).