TD 5 - Groupe symétrique, Groupe linéaire général

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 5 - Groupe symétrique, Groupe linéaire général
Exercice 1. Soit Gun groupe simple d’ordre 60. Nous allons montrer qu’il est isomorphe à A5.
1. Montrer que pour n≤4,Gn’a pas de sous-groupe d’indice n.
2. Montrer que si Gpossède un sous-groupe d’indice 5, alors il est isomorphe à A5.
3. Combien y a-t-il de 5-Sylow dans G? Combien y a-t-il d’éléments d’ordre 5dans G?
4. On suppose que Gne possède pas de sous-groupe d’indice 5.
(a) Montrer que le nombre de 2-Sylow de Gest égal à 15.
(b) Montrer que l’intersection de deux 2-Sylow distincts est triviale. (Considérer le cen-
tralisateur d’un éventuel élément non-trivial de cette intersection.) En déduire une
minoration du nombre d’éléments d’ordre pair de Get conclure.
Exercice 2. On note SO3(R)le groupe spécial orthogonal. On rappelle qu’il est engendré par
les retournements.
1. Montrer que O3(R)est produit semi-direct de SO3(R)par Z/2Z. Le produit est-il direct ?
2. Montrer que SO3(R)est un groupe topologique compact et connexe. (On appelle groupe
topologique un groupe Gtel que l’application G×G→G,(x, y)7→ xy−1est continue.)
3. Montrer que, dans un groupe topologique, la composante connexe de l’élément neutre est
un sous-groupe distingué.
4. Nous allons montrer que SO3(R)est simple. On considère l’application
f: SO3(R)−→ [ 0, π ]
g7−→ arccos(T r(g)−1
2)
(a) En utilisant l’application f, montrer que SO3(R)ne contient pas de sous-groupe
distingué connexe non trivial.
(b) Soit Hun sous-groupe distingué de SO3(R). On suppose que H6= SO3(R). Montrer
que la composante connexe de l’identité dans Hest triviale, puis que Hest inclus
dans le centre de SO3(R). Conclure.
Exercice 3. Pour F=F2,F3, calculer les commutateurs [GL2(F),GL2(F)] et [SL2(F),SL2(F)].
Exercice 4. Soient Kun corps et nun entier strictement positif. On désigne par Ble sous-
groupe de Borel de GLn(K)constitué par les matrices triangulaires supérieures, par Ule sous-
groupe de Bconstitué par les matrices unipotentes.
1. Soit V= (V0, V1, ..., Vn)un drapeau complet. Une base Bde Knest dite adaptée à Vsi
pour tout i∈ {1, ..., n}, l’espace Viest engendré par une partie de B.
(a) Soient Vet Wdeux drapeaux complets de Kn. Montrer qu’il existe une base adaptée
simultanément à Vet à W.
(b) On considère l’action naturelle de GLn(K)sur les drapeaux complets de Kn. Elle
induit une action de GLn(K)sur les couples de drapeaux. Montrer que l’espace des
couples de drapeaux quotienté par cette action s’identifie au groupe des permutations
Sn.
(c) Montrer la décomposition de Bruhat : GLn(K) = BSnBoù Snest identifié à son
image canonique dans GLn(K). Montrer que l’on a aussi GLn(K) = USnB.
2. Montrer que Best résoluble non nilpotent. Montrer que Uest nilpotent.
1

Exercice 5. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 2. Soit Cl’ensemble des classes de
conjugaison sous SLK(E)des transvections de E. Pour ρ∈K∗on note Tρla transvection
Tρ=1ρ
0 1 .
1. Montrer que Tρet Tρ′sont conjuguées si et seulement si ρ′/ρ ∈K∗2.
2. En déduire une bijection naturelle entre K∗/K∗2et C.
3. Que dire si K=C,R,Fp,Q?
Exercice 6. On désigne par Xun polyèdre régulier de l’espace euclidien de dimension 3. Le
groupe des isométries laissant Xinvariant sera noté Isom(X)et son sous-groupe des isométries
positives, Isom+(X).
1. Si 0est un centre de symétrie pour X, montrer que Isom(X)≃Isom+(X)×Z/2Z.
2. On désigne par ∆4le tétraèdre régulier.
(a) Montrer que Isom(∆4)≃ S4et Isom+(∆4)≃ A4. Le groupe Isom+(∆4)est-il un
facteur direct de Isom(∆4)?
(b) Montrer que A4possède un unique 2-Sylow et que ce dernier est isomorphe au groupe
de Klein V4=Z/2Z×Z/2Z. En déduire que A4≃V4⋊Z/3Z.
(c) Identifier le 2-Sylow de Isom+(∆4).
3. On désigne par C6le cube. On numérote de 1à4les diagonales du cube. Montrer que l’on
a un morphisme de groupes naturel
Isom(C6)−→ S4.
Quel est son image, son noyau ? Montrer que Isom+(C6)≃ S4et Isom(C6)≃ S4×Z/2Z.
4. En remarquant que l’ensemble des sommets de C6est la réunion des sommets de deux
tétraèdres réguliers, lire la signature de S4dans Isom+(C6).
5. Lire le groupe de Klein dans Isom+(C6).