Algèbre Groupes - Denis Vekemans

Algèbre
Groupes
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 Soit ⋆la loi de composition sur Rdéfinie par
x ⋆ y =x+y−xy.
1. Montrer que ⋆est commutative et associative.
2. Montrer que ⋆admet un élément neutre eque l’on précisera.
3. Montrer que tout élément x∈R\{1}admet pour inverse x
x−1.
4. (R, ⋆, e)est-il un groupe ? (R\{1}, ⋆, e)est-il un groupe ?
5. Calculer x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x
|{z }
nfois
.
Exercice 2 (d’après septembre 2001)
Soit G=R×R∗et ∗la loi de composition définie sur Gpar :
(x, y)⋆(x′, y′) = (x′y+x
y′, yy′).
1. Vérifier que ⋆est une loi interne dans G.
2. La loi ⋆est-elle associative ? Est-elle commutative ?
3. A-t-on un élément neutre dans (G, ⋆)?
4. (G, ⋆)est-il un groupe ?
Exercice 3 Montrer que la différence symétrique ∆ : P(X)× P(X)→ P(X)munit l’ensemble P(X)des
parties d’un ensemble Xd’une structure de groupe abélien.
Exercice 4 Si n∈N, on note
nZ={nz tels que z∈Z}.
Montrer qu’un sous-ensemble Hde Zest un sous-groupe de (Z,+) si et seulement si il existe n∈Ntel que
H=nZ.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Exercice 5 Soit Gun groupe et soient Het Kdeux sous-groupes de G.
1. Montrer que H∩Kest un sous-groupe de G.
2. D’une manière générale, H∪Kest-il un sous groupe de G?
Exercice 6 Soit (G, ⋆)et (G′,·)deux groupes et soit ⊤la loi produit définie dans G×G′par
(x, y)⊤(x′, y′) = (x ⋆ x′, y ·y′).
1. Montrer que (G×G′,⊤)est un groupe.
2. Notons par πet π′les projections de G×G′sur Get G′respectivement. Soit Hun groupe, f:H→G
et f′:H→G′deux homomorphismes ; montrer qu’il existe un et un seul homomorphisme h:H→
G×G′tel que l’on ait π◦h=fet π′◦h=f′.
3. Soit Hun sous-groupe de Get H′un sous-groupe de G′.
Montrer que H×H′est un sous-groupe de G×G′.
Exercice 7 Soit (G, ·)un groupe. On appelle centre de G le sous-ensemble
Z(G) = {x∈G| ∀y∈G, x ·y=y·x}.
1. Montrer que Z(G)est un sous-groupe distingué de G.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur Z(G)pour que Gsoit abélien.
Exercice 8 Soit un groupe (G, ·)on a que x·x=xpour tout xdans G. Décrire tous les groupes (G, ·)
qui ont cette propriété.
Exercice 9 Montrer que si Gest un groupe abélien et f:G→Hest un homomorphisme surjectif,
alors Hest abélien.
Exercice 10 Soient Get G′deux groupes et soit el’élément neutre de G. Soit f:G→G′un homo-
morphisme.
Montrer que fest injectif si et seulement si ker f={e}.
Exercice 11 Soit (G, ·)un groupe.
1. L’application f: (G, ·)→(G, ·)définie par f(g) = g−1est-elle un homomorphisme ?
2. Quand est-ce que fest un isomorphisme ?
Exercice 12 Soient Get G′deux groupes et soient fet gdeux homomorphismes définis sur Gà valeurs
dans G′. Désignons par Hl’ensemble des éléments xde Gtels que f(x) = g(x).
–2/4– Mathématiques

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Montrer que Hest un sous-groupe de G.
Exercice 13 Considérons les permutations des points d’une figure géométrique du plan qui conservent
les distances, appelées isometries. Les isométries d’un triangle équilateral forment un groupe : donner une
description de ce groupe.
Exercice 14 Soit Gun groupe, Aet Bdeux sous-groupes permutables de G, i.e. A·B=B·A. Montrer
que A·Best un sous-groupe de G.
Exercice 15 Soient (G, ·)et (G′, ⋆)deux groupes, et soit f:G→G′un homomorphisme.
Si H′est un sous-groupe distingué de G′, montrer que f−1(H′)est un sous-groupe distingué de G.
Exercice 16 Si Gest un ensemble non vide, on appelle groupe de transformations de Gtout sous-groupe
du groupe S(G)des permutations de G.
Le but de cet exercice est de montrer que tout groupe est isomorphe à un groupe de transformations.
1. Soit (G, ·)un groupe, aun élément de G. Montrer que l’application fa:G→Gdéfinie par fa(x) = a·x
pour tout x∈Gest bijective.
2. Soit Tl’ensemble des applications de la forme fa, i.e. T={fa|a∈G}. Montrer que Test un groupe
de transformations de G.
3. Montrer que l’application f:G→Tdéfinie par f(a) = faest un isomorphisme de groupes.
Exercice 17 Soit ⋆la loi définie sur Rpar :
∀(x, y)∈R2, x ⋆ y =xp1 + y2+yp1 + x2.
Montrer que (R, ⋆)est isomorphe à (R,+).
Aide : on peut penser à φ:R→R;x7→ sinh(x).
Exercice 18
1. Donner un exemple de morphisme de (R∗
+,×)dans (R,+).
2. Donner un exemple de morphisme de (R,+) dans (R∗
+,×).
3. Donner un exemple de morphisme de (Z,+) dans (Un,×).
Un={ω∈Ctels que ω=e2ıkπ
net k∈N}.
4. Soit (R,◦)le groupe des rotations de centre Odans le plan. Donner un exemple de morphisme de
(R,+) dans (R,◦).
Exercice 19 Soit ABCD un carré (direct). Soit Oson centre.
On note ∆ = (AC),∆′= (BD),δ=médiatrice([AB]) et δ′=médiatrice([AD]). On désigne par
–3/4– Mathématiques

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•Id l’identité,
•sOla symétrie de centre O,
•rO,α la rotation de centre Oet d’angle α(et ce pour chaque angle π
2et −π 2),
•sdla symétrie orthogonale par rapport à la droite d(et ce pour chacune des droites ∆,∆′,δ,δ′).
Soit Isom l’ensemble des isométries du carré :
Isom ={Id, s0, rO, π
2, rO,−π 2, s∆, s∆′, sδ, sδ′}.
Construire la table de la loi du groupe (Isom, ◦, Id).
S’agit-il d’un groupe abélien ?
Soit Isom l’ensemble des isométries positives du carré :
Isom+={Id, s0, rO, π
2, rO,−π 2}.
Montrer que
{Id}E{Id, sO}EIsom+EIsom.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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