Exercices sur la réduction des endomorphismes

Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur la r´eduction des endomorphismes
1. Valeurs propres communes
2. Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)
3. Diagonalisation dans M3(k)
4. Trigonalisation dans M3(k)
5. Valeur propre commune
6. Sous-groupe fini de GL(E)
7. Trace nulle des puissances d’une matrice
8. Limite de suites de matrices
9. Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)
10. Matrice compagnon
11. Polynˆome caract´eristique d’un produit
12. Le rayon spectral

Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur la r´eduction des endomorphismes
´
Enonc´es

Agr´egation Interne de Math´ematiques, Universit´e de La Rochelle, Exercices sur la r´eduction des endomorphismes
1. –Valeurs propres communes
Soit fet gdeux endomorphismes d’un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer
que f◦get g◦font mˆeme valeurs propres (fet gne sont pas suppos´es commuter).
Indication Solution F. Geoffriau

Agr´egation Interne de Math´ematiques, Universit´e de La Rochelle, Exercices sur la r´eduction des endomorphismes
2. –Diagonalisation dans M3(R)ou M3(C)
D’abord pour k=Rpuis pour k=C, ´etudier la possibilit´e de diagonaliser l’endomor-
phisme de k3d´etermin´e dans la base canonique (e1,e
2,e 3) par la matrice
M=
0−20
10−1
0 2 0 
Dans le cas o`u il est diagonalisable, d´eterminer des matrices P∈GL3(k) et D∈M3(k)
diagonale telles que M=P DP −1et calculer Mk,k∈N∗.
Indication Solution F. Geoffriau

Agr´egation Interne de Math´ematiques, Universit´e de La Rochelle, Exercices sur la r´eduction des endomorphismes
3. –Diagonalisation dans M3(k)
Soit α,β,γ∈k. Discuter la possibilit´e de diagonaliser la matrice
M=
1αβ
01 γ
00−1
Indication Solution F. Geoffriau