Exercices sur la réduction des endomorphismes

Agrégation interne de Mathématiques
Département de Mathématiques
Université de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur la réduction des endomorphismes
1. Valeurs propres communes
2. Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C)
3. Diagonalisation dans M3 (k)
4. Trigonalisation dans M3 (k)
5. Valeur propre commune
6. Sous-groupe fini de GL(E)
7. Trace nulle des puissances d’une matrice
8. Limite de suites de matrices
9. Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C)
10. Matrice compagnon
11. Polynôme caractéristique d’un produit
12. Le rayon spectral
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F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur la réduction des endomorphismes
Énoncés
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1. – Valeurs propres communes
Soit f et g deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer
que f ◦ g et g ◦ f ont même valeurs propres (f et g ne sont pas supposés commuter).
Indication
Solution
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2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C)
D’abord pour k = R puis pour k = C, étudier la possibilité de diagonaliser l’endomorphisme de k3 déterminé dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par la matrice

0

M= 1
0

−2
0
0 −1 
2
0
Dans le cas où il est diagonalisable, déterminer des matrices P ∈ GL3 (k) et D ∈ M3 (k)
diagonale telles que M = P DP −1 et calculer M k , k ∈ N∗ .
Indication
Solution
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3. – Diagonalisation dans M3 (k)
Soit α, β, γ ∈ k. Discuter la possibilité de diagonaliser la matrice

1
M = 0
0
Indication
Solution

α
β
1
γ
0 −1
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4. – Trigonalisation dans M3 (k)
Trigonaliser l’endomorphisme de k3 déterminé dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par
la matrice


−3 −3
2
M=  1
1 −2 
2
4 −4
c’est-à-dire, déterminer des matrices P ∈ GL3 (k) et T ∈ M3 (k) triangulaire supérieure
telles que M = P T P −1 .
Indication
Solution
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5. – Valeur propre commune
Soit A et B deux matrices de Mn (C). On suppose qu’il existe C ∈ Mn (C) non nulle
telle que AC = CB.
a. Montrer que Ak C = CB k pour tout entier k ∈ N et en déduire que P (A)C = CP (B)
pour tout polynôme P ∈ C[X].
b. Montrer qu’il existe une valeur propre commune à A et B.
Indication
Solution
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6. – Sous-groupe fini de GL(E)
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps
algébriquement clos tel que up = idE . Montrer que u est diagonalisable.
Soit G un sous-groupe fini de GL(E). Montrer que tous les éléments de G sont
diagonalisables.
Indication
Solution
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7. – Trace nulle des puissances d’une matrice
Soit k un corps algébriquement clos et A une matrice de Mn (k) telle que la trace de
Ak soit nulle pour tout k ∈ N∗ . Montrer par récurrence que A est nilpotente.
Indication
Solution
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8. – Limite de suites de matrices
Soit A, B ∈ Mn (C) avec AB = BA et A diagonalisable. Montrer qu’il existe une
suite (Bp )p∈N de matrices diagonalisables, de limite B, et vérifiant ABp = Bp A pour tout
p ∈ N.
Indication
Solution
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9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C)
Soit A, B ∈ Mn (C). Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme
%
% M (C)
ϕ %% n
M
Indication
Solution
−→
Mn (C)
%−→ M A + BM
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10. – Matrice compagnon
Soit P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 un polynôme de k[X]. La matrice
compagnon de P est la matrice M = (αij ) ∈ Mn (k) définie par
αij =
&1
0
−ai−1
si i = j + 1 et 1 ! j ! n − 1
si i =
& j + 1 et 1 ! j ! n − 1
si j = n et 1 ! i ! n
a. Déterminer le polynôme caractéristique χM de M .
b. Déterminer le polynôme minimal µM de M .
Indication
Solution
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11. – Polynôme caractéristique d’un produit
Soit A et B deux matrices de Mn (C). Montrer que AB et BA ont même polynôme
caractéristique.
Indication
Solution
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12. – Le rayon spectral
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et || · || une norme sur L(E). Soit
u ∈ L(E), on note ρu le rayon spectral de u (le module maximal des valeurs propres
de u).
Montrer que
ρu = lim ||up ||1/p
p→+∞
Indication
Solution
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Exercices sur la réduction des endomorphismes
Indications
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1. – Valeurs propres communes
Indication
Soit λ une valeur propre de f ◦ g. Si λ est nulle, montrer que g ◦ f n’est pas inversible
(utiliser le déterminant). Si λ est non nulle, prendre un vecteur propre associé à λ.
Énoncé
Solution
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2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C)
Indication
Le polynôme caractéritique de A est X 3 + 4X.
Énoncé
Solution
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3. – Diagonalisation dans M3 (k)
Indication
Discuter suivant α.
Énoncé
Solution
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4. – Trigonalisation dans M3 (k)
Indication
Autant chercher une forme de Jordan. La seule valeur propre de M est −2, choisir
alors un vecteur qui n’est pas annulé par (M + 2I3 )2 .
Énoncé
Solution
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5. – Valeur propre commune
Indication
a. Faire une récurrence.
b. Prendre comme polynôme, le polynôme caractéristique χA (ou le polynôme minimal)
de A et raisonner par l’absurde en montrant que si B n’a pas de valeur propre commune
avec A, χA (B) est une matrice inversible.
Énoncé
Solution
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6. – Sous-groupe fini de GL(E)
Indication
L’endomorphisme u est annulé par le polynôme X p − 1. Pour la deuxième question,
utiliser l’ordre du groupe.
Énoncé
Solution
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7. – Trace nulle des puissances d’une matrice
Indication
On montrera que 0 est une valeur propre de A en utilisant le théorème de CayleyHamilton, il existe alors P ∈ GLn (k), B ∈ Mn−1 (k) et X ∈ M1,n−1 (k) telles que
P
Énoncé
Solution
−1
AP =
'
0
0
X
B
(
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8. – Limite de suites de matrices
Indication
Remplacer A par une matrice diagonale et montrer alors que B est diagonale par bloc.
Énoncé
Solution
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9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C)
Indication
Les valeurs propres de ϕ sont les complexes de la forme λ + µ avec λ valeur propre de
A et µ valeur propre de B.
Énoncé
Solution
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10. – Matrice compagnon
Indication
a. Pour calculer le déterminant det(XIn − M ), ajouter à la première ligne une combinaison des autres lignes et développer.
b. Considérer l’application f : kn → kn dont la matrice associée dans la base canonique
(e1 , . . . , en ) est M et montrer que, pour tout polynôme Q non nul de degré strictement
inférieur à n, Q(f )(e1 ) est non nul.
Énoncé
Solution
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11. – Polynôme caractéristique d’un produit
Indication
Première méthode : le démontrer tout d’abord pour A inversible puis considérer un
voisinage V de 0 dans C tel que pour tout x ∈ V \ {0}, Ax = A + xIn soit inversible.
Deuxième méthode : considérer les matrices par blocs
M (λ) =
Énoncé
'
λIn − BA
0
Solution
B
In
('
In
λA
B
λIn
(
N (λ) =
'
0
λIn − AB
λIn
A
('
0
In
In
B
(
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12. – Le rayon spectral
Indication
On pourra prendre comme norme une norme sous-multiplicative, i.e. telle que pour
tous v, w ∈ L(E)
||v ◦ w|| ! ||v|| ||w||
Et on pourra écrire u = d + n avec d, n ∈ L(E), d diagonalisable, n nilpotente et
d ◦ n = n ◦ d. On montrera alors que Sp(u) = Sp(d) et qu’on peut se ramener au
cas où u = d.
Énoncé
Solution
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Exercices sur la réduction des endomorphismes
Solutions
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1. – Valeurs propres communes
Solution
Soit λ une valeur propre de f ◦ g.
Supposons λ nul. Alors f ◦ g est non bijective et son déterminant est nul (l’espace
vectoriel étant de dimension finie, on peut parler de déterminant d’endomorphisme).
Ainsi
det(g ◦ f ) = det(g) det(f ) = det(f ) det(g) = det(f ◦ g) = 0
Donc g ◦ f est non bijective et en particulier non injective, d’où 0 est une valeur propre
de g ◦ f .
Supposons que λ soit non nul. Soit x un vecteur propre de f ◦ g associé à λ. Alors
)
*
)
*
g ◦ f g(x) = g f ◦ g(x) = g(λx) = λg(x)
Si g(x) = 0, alors λx = f ◦ g(x) = 0, ce qui est impossible car λ et x sont non nuls. Donc
g(x) est non nul et c’est un vecteur propre de g ◦ f associé à λ. Ainsi λ est une valeur
propre de g ◦ f .
Énoncé
Indication
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2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C)
Solution
On a
%
% X
%
χM (X) = %% −1
% 0
%
2 0 %%
X 1 %% = X 3 + 4X
−2 X %
Les valeurs propres de M dans C sont 0, 2i et −2i. Ainsi M n’est pas diagonalisable
dans M3 (R) (car le polynôme χM n’est pas scindé dans R[X]) et est diagonalisable dans
M3 (C) (car
 les
 trois valeurs propres sont distinctes).
x
Soit  y  ∈ C3 . On a
z


.
x
 −2y = 0
y=0
M  y  = 0 ⇐⇒ x − z = 0 ⇐⇒
z=x

z
2y = 0

 
 
.
x
x
 −2y = 2ix
z = −x
M  y  = 2i  y  ⇐⇒ x − z = 2iy ⇐⇒
y = −ix

z
z
2y = 2iz

Énoncé
Indication
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
 
 
.
x
x
 −2y = −2ix
z = −x
M  y  = −2i  y  ⇐⇒ x − z = −2iy ⇐⇒
y = ix

z
z
2y = −2iz
Donc


1
0 
1


1
 −i 
−1


1
 i 
−1
sont respectivement des vecteurs propres associés à 0, 2i et −2i. Donc en posant




1
1
1
0
0
0
P =  0 −i
i  et D =  0 2i
0
1 −1 −1
0
0 −2i
on a M = P DP −1 . De plus
det(P ) = 4i
Ainsi on a
Énoncé

et
1
1
M = 0
4
1
Indication
P −1

2i
1
1 
t
i
=
Com(M ) =
det(M )
4i
i
 
1
1
0
−i
i 0
−1 −1
0
 
0
0
2
2i
0  1
0 −2i
1

0 2i
−2 −i 
2 −i

0
2
2i −1 
−2i −1
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Et pour k ∈ N∗ ,
Ainsi
M k = (P DP −1 )k = P Dk P −1

 
k 

1
1
1
0
0
0
2
0
2
1
i   0 2i
0  1
2i −1 
=  0 −i
4
1 −1 −1
0
0 −2i
1 −2i −1

 
 

0
0
0
1
1
1
2
0
2
1
0  1
i   0 (2i)k
2i −1 
=  0 −i
4
k
1 −1 −1
1 −2i −1
0
0
(−2i)


(2i)k + (−2i)k
(2i)k+1 + (−2i)k+1
−(2i)k − (−2i)k
1
=  −i(2i)k + i(−2i)k −i(2i)k+1 + i(−2i)k+1 i(2i)k − i(−2i)k 
4
−(2i)k − (−2i)k
−(2i)k+1 − (−2i)k+1
(2i)k + (−2i)k
M 2k
Énoncé

1
= (−1)k 22k−1  0
−1
Indication
0
2
0

−1
0 
1
et
M 2k+1

0
= (−1)k+1 22k  −1
0
2
0
−2

0
1
0
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3. – Diagonalisation dans M3 (k)
Solution
Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de k3 et soit ϕ l’endomorphisme de k3 dont la matrice
dans la base (e1 , e2 , e3 ) soit M . Les valeurs propres de ϕ sont 1 et −1, la première ayant
une multiplicité de 2 et la deuxième de 1.
On a ϕ(e1 ) = e1 et (ϕ − idk3 )2 (e2 ) = (ϕ − idk3 )(e1 ) = 0. Donc (e1 , e2 ) est une base
du sous-espace caractéristique de ϕ associé à 1.
Soit e4 un vecteur propre de ϕ associée à −1. La famille (e1 , e2 , e4 ) est une base de
k3 et la matrice de ϕ dans cette base est

1

N= 0
0

α
0
1
0
0 −1
Si α est nul, alors N est diagonale et M est diagonalisable.
Si la matrice M est diagonalisable, la restriction de ϕ au sous-espace caractéristique
associé à 1 est diagonalisable et donc sa matrice dans la base (e1 , e2 )
'
Énoncé
Indication
1
0
α
1
(
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est diagonalisable et alors α = 0.
Autre méthode. Le polynôme caractéristique de M est (X − 1)2 (X + 1), donc le
polynôme minimal de M est (X −1)(X +1) ou (X −1)2 (X +1). Ainsi M est diagonalisable
si et seulement si elle est annulée par (X − 1)(X + 1) = X 2 − 1, i.e. si et seulement si
M 2 = I3 . Or


1 2α αγ
M2 =  0
1
0 
0
0
1
Donc M est diagonalisable si et seulement si α = 0.
Énoncé
Indication
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4. – Trigonalisation dans M3 (k)
Solution
On a
%
%X + 3
%
% −1
%
% −2
%
3
−2 %%
)
*
X −1
2 %% = (X + 3) (X − 1)(X + 4) + 8 + 3(X + 4) − 8 − 12 − 4(X − 1)
−4
X + 4%
= X 3 + 6X 2 + 12X + 8 = (X + 2)3
Ainsi la seule valeur propre de M est −2.
Soit v = (x, y, z) ∈ k3 ,


.
 −3x − 3y + 2z = −2x
 x + 3y − 2z = 0
x+y =0
M · v = −2v ⇐⇒ x + y − 2z = −2y
⇐⇒ x + 3y − 2z = 0 ⇐⇒
y−z =0


2x + 4y − 4z = −2z
2x + 4y − 2z = 0
donc le vecteur v1 = (1, −1, −1) est un vecteur propre de M et le sous-espace propre
associé est de dimension 1. Donc M n’est pas diagonalisable et elle est semblable à la
matrice


−2
1
0
T =  0 −2
1
0
0 −2
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
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On cherche v2 ∈ k3 tel que M · v2 = v1 − 2v2 . Soit v = (x, y, z) ∈ k3 ,


 −3x − 3y + 2z = 1 − 2x
 x + 3y − 2z = −1
M · v = v1 − 2v ⇐⇒ x + y − 2z = −1 − 2y
⇐⇒ x + 3y − 2z = −1


2x + 4y − 4z = −1 − 2z
2x + 4y − 2z = −1
.
x+y =0
⇐⇒
2y − 2z = −1
on pose donc v2 = (0, 0, 1/2) .
On cherche v3 ∈ k3 tel que M · v3 = v2 − 2v3 . Soit v = (x, y, z) ∈ k3 ,


 −3x − 3y + 2z = −2x
 x + 3y − 2z = 0
M · v = v2 − 2v ⇐⇒ x + y − 2z = −2y
⇐⇒ x + 3y − 2z = 0


2x + 4y − 4z = 1/2 − 2z
2x + 4y − 2z = 1/2
.
x + y = 1/2
⇐⇒
2y − 2z = −1/2
on pose donc v3 = (1/2, 0, 1/4) .
On pose
Énoncé
Indication

1
P =  −1
−1

0
1/2
0
0 
1/2 1/4
F. Geoffriau
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et on a M = P T P −1 .
Autre méthode. On a

2

−3 2
2


3 −2
= −2
4 −2
−2
−1
2

(M + 2I3 ) =
1
2
2
−2
−2

0
0
0
On choisit un vecteur w3 n’appartenant au noyau de (M + 2I3 )2 , soit w3 = (1, 0, 0). Alors
on pose
w2 = (M + 2I3 ) · w3 = (−1, 1, 2)
et
w1 = (M + 2I3 ) · w2 = (2, −2, −2)
La famille (w1 , w2 , w3 ) est une base de k3 et l’endomorphisme dont la matrice dans la
base canonique de k3 est M a pour matrice dans la base (w1 , w2 , w3 ) la matrice


−2
1
0
T =  0 −2
1
0
0 −2
Et en posant
on a M = P T P −1 .
Énoncé
Indication

2
P =  −2
−2

−1 1
1 0
2 0
F. Geoffriau
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5. – Valeur propre commune
Solution
a. On a A0 C = In C = C = CIn = CB 0 . Soit k ∈ N, supposons que Ak C = CB k . Alors
Ak+1 C = Ak AC = Ak CB = CB k B = CB k+1
Donc d’après/
le théorème de récurrence, pour tout k ∈ N, on a Ak C = CB k .
Soit P = αk X k un polynôme de C[X]. Alors d’après ce qui précède
01
2
1
1
1
P (A)C =
αk Ak C =
αk Ak C =
αk CB k = C
αk B k = CP (B)
b. Soit λ1 , . . . , λn les valeurs propres de A. Supposons qu’aucune ne soit valeur propre
de B, alors pour tout i = 1, . . . , n, la matrice B − λi In est inversible et donc le produit
χA (B) =
n
3
i=1
(B − λi In )
4n
aussi, où χA = i=1 (X −λi ) est le polynôme caractéristique de A. Or d’après la première
question et d’après le théorème de Cayley-Hamilton
CχA (B) = χA (A)C = 0
donc C est nulle, ce qui est contraire aux hypothèses. Donc l’une des valeurs propres de
A est valeur propre de B.
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
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6. – Sous-groupe fini de GL(E)
Solution
Puisque up = idE , l’endomorphisme u est annulé par le polynôme X p − 1. Or ce
polynôme n’a que des racines simples et donc l’endomorphisme u est diagonalisable.
Soit p l’ordre du groupe G. D’après le théorème de Lagrange, pour tout u ∈ G, on a
p
u = idE et d’après ce qui précède, u est diagonalisable.
Si de plus G est commutatif, on peut trouver une base commune de diagonalisation
des éléments de G.
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
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7. – Trace nulle des puissances d’une matrice
Solution
Si n = 1, il est clair qu’une matrice de trace nulle est nilpotente (et même nulle).
Supposons que pour toute matrice B ∈ Mn−1 (k) dont les traces des puissances soient
nulles est nilpotente.
/
Soit χA = k αk X k le polynôme caractéristique de A. D’après le théorème de CayleyHamilton, on a
1
0 = χA (A) =
αk Ak
k
La trace étant une application linéaire, on a
01
2 1
0 = tr(0) = tr
αk Ak =
αk tr(Ak ) = nα0
k
k
Ainsi le terme constant du polynôme caractérisque de A (qui est det(A)) est nul. Par
conséquent 0 est racine de χA et valeur propre de A. Il existe donc une matrice
B ∈ Mn−1 (k) telle que A est semblable à une matrice de la forme


0 ∗ ··· ∗
0

.

 ..

B
0
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
Par récurrence, on montre que pour tout k ∈ N∗ , Ak est semblable à une matrice de la
forme


0 ∗ ··· ∗
0

.

 ..

Bk
0
donc tr(B k ) = tr(Ak ) = 0. Ainsi la matrice B vérifie les mêmes conditions que la matrice
A. Par hypothèse de récurrence, B est nilpotente. Par conséquent il existe k ∈ N∗ tel
que B k = 0 et Ak soit semblable à

0
0
.
 ..
0
∗
··· ∗
0




Donc Ak est nilpotente ainsi que A.
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
8. – Limite de suites de matrices
Solution
Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice P inversible et une matrice D de
la forme


λ1 In1
0
···
0

.. 
..
 0
.
λ2 In2
. 


D= 

.
.
.
..
..
 ..
0 
0
···
0 λr Inr
telles que A = P DP −1 et λ1 , . . . , λr deux à deux distincts. On a P DP −1 B = BP DP −1 ,
d’où DP −1 BP = P −1 BP D. Ainsi la matrice D commute avec la matrice B & = P −1 BP .
En écrivant la matrice B & = (Bi,j )i,j par blocs, on obtient

λ1 B1,1
 λ2 B2,1

 .
 ..
λr Br,1
λ1 B1,2
λ2 B2,2
..
.
λr Br,2

· · · λ1 B1,r
· · · λ2 B2,r 

..  =
..
.
. 
· · · λr Br,r
donc Bi,j = 0 pour i, j ∈ {1, . . . , r}, i &= j.
Énoncé
Indication

λ1 B1,1
 λ2 B2,1

 .
 ..
λr Br,1
λ1 B1,2
λ2 B2,2
..
.
λr Br,2

· · · λ1 B1,r
· · · λ2 B2,r 

.. 
..
.
. 
· · · λr Br,r
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
Pour i ∈ {1, . . . , r}, il existe une suite (Bi,i,n )n∈N de matrices diagonalisables
convergeant vers Bi,i (il suffit de triangulariser la matrice Bi,i et de modifier les éléments
de la diagonale). Pour n ∈ N, on pose



Bn = 


B1,1,n
0
0
..
.
0
B2,2,n
..
.
···

···
0
.. 
..
.
. 


..
.
0 
0 Br,r,n
La matrice Bn est une matrice diagonalisable comme étant une matrice diagonale de
matrices diagonaliables, elle commute avec D (car les matrices Bi,i,n commutent avec les
matrices λi Ini ) et la suite (Bn )n∈N converge vers B & .
Soit n ∈ N, la matrice P Bn P −1 est diagonalisable (étant équivalente à une matrice
diagonalisable) et elle commute avec P DP −1 = A et la suite (P Bn P −1 )n∈N converge vers
P B & P −1 = B
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C)
Solution
Soit λ et µ deux valeurs propres de A et B respectivement, alors λ est aussi une valeur
propre de t A et il existe X, Y ∈ CC n non nuls tels que
t
AX = λX
et
BY = µY
Alors en posant M = Y t X, on a
ϕ(M ) = Y t XA + BY t X = Y t (t AX) + BY t X = (λ + µ)Y t X = (λ + µ)M
Donc M étant non nulle, λ + µ est une valeur propre de ϕ.
Réciproquement soit ν une valeur propre de ϕ et M ∈ Mn (C) une matrice non nulle
telle que ϕ(M ) = νM . Donc
M A = (νIn − B)M
Par récurrence, on montre que pour tout entier k ∈ N, on a M Ak = (λIn − B)k M et par
linéarité que pour tout polynôme P ∈ C[X], M P (A) = P (νIn − B)M .
Soit µA le polynôme minimal de A. Puisque C est algébriquement clos, il existe
λ1 , . . . , λk ∈ C telles que
µA = (X − λ1 ) · · · (X − λk )
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
et λ1 , . . . , λk sont les valeurs propres de A (non nécessairement deux à deux distinctes).
On alors
)
*
)
*
(ν − λ1 )In − B · · · (ν − λk )In − B M = µA (νIn − B)M = M µA (A) = 0
Comme M est non nulle, il existe i ∈ {1, . . . , k} tel que (ν − λi )In − B soit non inversible,
et donc ν − λi est une valeur propre de B.
Ainsi les valeurs propres de ϕ sont les complexes de la forme λ+µ avec λ valeur propre
de A et µ valeur propre de B.
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
10. – Matrice compagnon
Solution
a. La démonstration se fait par récurrence. La propriété est clairement établie pour
n = 1. Supposons qu’elle soit établie pour n − 1. On a
χM
Énoncé
%
%X
%
%
% −1
%
= %% 0
% .
% .
% .
%
0
%
%X
%
%
% −1
%
= X %% 0
% .
% .
% .
%
0
Indication
0
X
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
...
0
0
X
..
.
..
.
...
0
..
.
0
a0
a1
..
.
X
an−2
−1 X + an−1
... 0
a1
..
..
.
.
a2
..
..
. 0
.
..
. X
a
0
n−2
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
−1 X + an−1
%
%
%
%
%
%
%+
%
%
%
%
%
%
% 0
%
%
% −1
%
%
% 0
% .
% .
% .
%
0
0
X
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
...
0
0
..
.
0
a1
a2
..
.
X
an−2
−1 X + an−1
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
Et d’après l’hypothèse de récurrence, on a
Donc
χM
%
%X
%
%
% −1
%
%
% 0
% .
% .
% .
%
0
0
X
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
...
0
0
..
.
0
a1
a2
..
.
X
an−2
−1 X + an−1
%
%
%
%
%
%
% = X n−1 + an−1 X n−2 + · · · + a2 X + a1
%
%
%
%
%
%
% −1
%
%
% 0
%
n−1
n−2
n−2 % ..
= X(X
+ an−1 X
+ · · · + a2 X + a1 ) + (−1)
% .
% .
% ..
%
% 0
= X n + an−1 X n−1 + · · · + a2 X 2 + a1 X + a0
=P
Énoncé
Indication
%
... 0 %
.. %%
..
.
−1
. %
%
..
..
.
. 0 %%
%
..
. X %%
. . . . . . 0 −1 %
X
0
..
.
..
.
..
.
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
b. D’après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme P = χM annule M . Pour
montrer que c’est le polynôme minimal, il suffit de montrer qu’aucun polynôme de degré
strictement inférieur à n ne peut annuler M . On a

0
...

1

M= 
0
.
.
.
0
..
.
..
.
...
0
...
..
..
0
.
.
0
..
.
..
.
a0
−a1
..
.
0 −an−2
1 −an−1








Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de kn et ϕ l’endomorphisme de kn de matrice M dans
cette base. On a
∀ i ∈ {1, . . . , n − 1}
ϕ(ei ) = ei+1
et on montre par récurrence que pour tout k ∈ {1, . . . , n − 1}, on a ϕk (e1 ) = ek+1 et donc
ϕk (e1 ) n’est pas combinaison linéaire de e1 , ϕ(e1 ), . . . , ϕk−1 (e1 ). Ainsi ϕ n’est pas annulé
par un polynôme de degré k.
Donc le polynôme minimal de M est de degré au moins n, c’est donc χM . Ainsi
µM = χM = P .
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
11. – Polynôme caractéristique d’un produit
Solution
Supposons la matrice A inversible. Pour tout λ ∈ C, on a
)
*
χAB (λ) = det(λIn − AB) = det A(λIn − BA)A−1
= det(A) det(λIn − BA) det(A−1 ) = det(λIn − BA)
= χBA (λ)
Ainsi χAB = χBA .
Supposons maintenant A non inversible. Soit λ ∈ C. Soit µ ∈ C un complexe qui ne
soit pas valeur propre de A, la matrice A − µIn est inversible et on a
)
*
)
*
det λIn − (A − µIn )B = χ(A−µIn )B = χB(A−µIn ) = det λIn − B(A − µIn )
Ainsi on a une égalité polynomiale vérifiée en une infinité de points (A possède un nombre
finie de valeurs propres), elle est donc vérifiée pour tout complexe µ, en particulier pour
0. Par conséquent
χAB (λ) = det(λIn − AB) = det(λIn − BA) = χBA (λ)
et χAB = χBA .
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
12. – Le rayon spectral
Solution
L’espace vectoriel L(E) étant de dimension finie, toute les normes sont équivalentes.
En munissant E d’une norme quelconque, notée aussi || · ||, on munit L(E) de la norme
des applications linéaires continues, i.e.
∀ u ∈ L(E)
8
7 ||u(x)||
||u|| = sup
; x ∈ E \ {0}
||x||
c’est une norme sous-multiplicative.
Soit λ une valeur propre de u telle que ρu = |λ| et soit x un vecteur propre associé.
Pour tout p ∈ N∗ , on a
|λ|p ||x|| = ||λp x|| = ||up (x)|| ! ||up || ||x||
et comme x est non nul, |λ|p ! ||up || et ρu = |λ| ! ||up ||1/p .
Soit v ∈ L(E) un endomorphisme semblable à u et supposons que le résultat est
démontré pour v. Il existe ϕ ∈ GL(E) tel que u = ϕ ◦ v ◦ ϕ−1 . Alors pour p ∈ N∗ , on a
||up || = ||(ϕ ◦ v ◦ ϕ−1 )p || = ||ϕ ◦ v p ◦ ϕ−1 || ! ||ϕ|| ||v p || ||ϕ−1 ||
ρv = ρu ! ||up ||1/p ! (||ϕ|| ||ϕ−1 ||)1/p ||v p ||1/p
Énoncé
Indication
F. Geoffriau
Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes
La suite (||ϕ|| ||ϕ−1 ||)1/p )p∈N∗ converge vers 1 et donc d’après le théorème d’encadrement
et limites, la suite (||up ||1/p )p∈N∗ converge vers ρu .
D’après la décomposition de Dunford, il existe d, n ∈ L(E), d diagonalisable, n
nilpotente telles que u = d + n et d ◦ n = n ◦ d. Quiite à remplacer u par u endomorphisme
semblable, on peut supposer d diagonale et n triangulaire supérieure stricte (il suffit
de d’écrire E comme somme directe des sous-espaces caractéristiques associés à u).
L’endomorphisme n étant nilpotent, il existe un entier r tel que nr+1 = 0. On a ρu = ρd
car u et d ont mêmes valeurs propres et ρd = ||d|| car d est diagonale. Soit p ∈ N∗ , on a
||u || = ||(d + n) || !
p
p
p
1
k=0
Cpk ||nk ||
||d|| = ρu ! ||up ||1/p
||d
p−k
|| ! ||d||
p
r
1
Cpk
k=0
r
01
||n||k k 21/p
! ||d||
Cpk
||d||
||n||k k
||d||
k=0
) /r
||n||k k
||n||k k 1/p *
est un polynôme en p, la suite ( k=0 Cpk
)
p∈N∗
||d||
||d||
converge vers 1. Ainsi la suite (||up ||1/p )p∈N∗ converge vers ||d|| = ρu .
Comme
Énoncé
/r
p
k=0 Ck
Indication
F. Geoffriau