Chapitre 12 : Satellites et planètes en mouvement circulaire ______________________________________ rappel : Une ellipse est une courbe caractérisée par : → Ses foyers F et F' symétriques l'un de l'autre par rapport au point O centre de l'ellipse 2) seconde loi ou loi des aires (1604) → Une distance 'a' nommé demi-grand axe, et b le demi-axe. Les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du soleil. Quand elle s'approche de celui-ci leur vitesse est plus grande ! Un point M de l'ellipse vérifie : FM+MF' = 2a schéma : _________________________________________ ________________________________________ __________________________________________ Schéma: M 2b F O F' Orbite de la planète to t3 2a S2 S1 t2 t1 L'ellipse peut-être tracée à l'aide de deux clous un crayon est une ficelle. On plante les clous en F et F'. On relie les deux clous par une ficelle de longueur 2a. À l'aide du crayon on tend la corde qu'on déplace autour des clous. Remarque : le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et le demi-axe ont même valeur : Si ∆t = t1-t0= t3-t2 alors S1=S2 Remarque : dans le cas d'une trajectoire circulaire le mouvement est uniforme 3) Troisième loi de Kepler ou loi des périodes a = b = R , rayon du cercle. I) Les lois de Kepler Kepler consigne de très nombreuses valeurs de position de planètes dans le ciel au cours du temps. A partir de ces observations il énonce trois lois. Soit T la période de révolution de la planète autour du soleil, et 'a' la longueur du demi-grand axe de l'ellipse. La période de révolution au carré divisée par le demi-grand axe 'a' au cube est une constante. Elle ne dépend pas de la planète mais uniquement de la masse MS du soleil et de la constante d'attraction universelle G : 1) Premières lois de Kepler ou loi des orbites elliptiques 1605 -11 L'orbite d'une planète est la trajectoire de son centre d'inertie dans le référentiel héliocentrique. La première loi est de Kepler est : -2 G = 6,67.10 N.kg .m 2 30 MS = 1,96.10 kg II) La loi de gravitation de Newton ___________________________________ "Qu'est-ce qui fait tourner les planètes autour du soleil ? Au temps de Kepler, il y avait des gens pour répondre qu'il y avait derrière chaque planète un ange battant des ailes et la poussant sur son orbite". Qu'en est-il aujourd'hui ? 1) Rappel du principe d'interaction Si un corps A exerce une force sur un corps B dont l'intensité est notée FA/B alors le corps B exerce sur le corps A une force l'intensité FB/A tel que les vecteurs forces sont opposés. __________________________________ Les 2 forces possèdent donc la même direction, la même intensité mais un sens opposé. D'après le principe d'interaction le corps B exerce une force opposée à FA/B sur le corps A: ______________________________________ Schéma: L'expression de cette force d'attraction gravitationnelle s'applique également pour des objets à symétrie sphérique, c'est-à-dire pour lesquelles la matière est répartie uniformément dans toutes les directions. (Figure 8 page 247). La force gravitationnelle s'applique alors au centre d'inertie du solide. Exemple : dessiner la force d'interaction gravitationnelle exercée par la lune sur la terre et celle exercée par la terre sur la lune. Schéma : 3) La grande question : pourquoi la lune ne tombe-t-elle pas sur la terre ? 2) force d'attraction gravitationnelle Un corps ponctuel A de masse mA exerce sur un corps ponctuel B de masse mB une force d'attraction gravitationnelle telle que : r u AB : vecteur unitaire de direction la droite AB et La terre exerce sur la lune une force d'interaction gravitationnelle, mais la lune possède une vitesse (tangente à sa trajectoire circulaire) suffisante pour qu'elle ne tombe pas sur terre. III) Le mouvement circulaire uniforme On considérera par la suite que les orbites des planètes autour du soleil sont quasi circulaires. de sens de A vers B. -11 2 1) la base de Frénet -2 G = 6,67.10 N.m .kg , __________________ ________________ FA/B force d'attraction gravitationnelle exercée par le corps A sur le corps B en Newton(N). Dans le cas des mouvements circulaires on n'utilise pas par le repère cartésien, mais le repère de Frénet défini par deux vecteurs unitaires dans le plan : r r (τ , n) base de Frénet orthonormée. Soit un point P mobile décrivant une trajectoire curviligne la base de Frénet à l'instant t est : Schéma: r τ : vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point A (mA) r uAB r FA / B B (mB) P, orienté généralement dans le sens du mouvement. r n : vecteur unitaire normal à la trajectoire et centripète. Schéma : 2 2) Vecteur accélération pour un mouvement circulaire uniforme On étudie le mouvement d'une planète autour du soleil dans le référentiel héliocentrique. Ce référentiel est supposé fixe, on considère qu'il est galiléen pendant la durée de l'observation. La vitesse est constante, et le vecteur vitesse est Étude mécanique : r τ → Système : la planète de masse m, et de centre d'inertie GP. → Référentiel : référentiel héliocentrique supposé galiléen. r n Sens du → Repère : repère de Frénet (à noter que l'origine du repère est confondue avec le centre d'inertie de la planète en révolution autour du soleil : mouvement r r R(G P , τ , n) tangent à la trajectoire par conséquent : Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon de trajectoire R, le vecteur accélération et le vecteur vitesse d'un point mobile sont : r r v = v. τ → La somme des forces extérieures se réduit à la force d'attraction gravitationnelle du soleil sur la planète : r G. ms . m r FS/P = − . uGSGP r2 r v2 r a= .n R Avec r=GSGP distance entre les centres d'inertie du soleil GS et de la planète GP. L'accélération est centripète m et mS, masse de la planète et du soleil. Schéma : G: constante de gravitation universelle, -11 -2 2 G = 6,67.10 N.kg .m Schéma: r v r FS / P r τ r τ GS (mS) r n r a Sens du mouvement r uGSG r n G planète soleil 3) Vitesse et accélération du centre d'inertie d'une planète, dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme →La seconde loi de Newton permet de déterminer la valeur de l'accélération du centre d'inertie de la planète, dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme: On va vérifier qu'une planète peut avoir un mouvement circulaire uniforme autour du soleil. 3 r G. m r a = 2 .n r Plan de l'orbital Par conséquent le vecteur vitesse du centre d'inertie de la planète est : r r v = v. τ avec: G. m s v= r r FT / S GT On a vérifié qu'une planète peut avoir un mouvement circulaire uniforme, de rayon de trajectoire 'r' (distance 1/2 entre les centres d'inertie) et de vitesse v=(G.ms/r) . 4) Période de révolution, troisième loi de Kepler Soit une planète dont la distance entre son centre d'inertie et celui du soleil est 'r', la masse du soleil étant notée mS, et la constante de gravitation universelle étant notée G. Dans le cas particulier du mouvement circulaire uniforme, la période de révolution de la planète autour du soleil est : T = 2. π . 3 r G. m s on retrouve alors la troisième loi de Kepler : Remarque: cette relation permet de déterminer la masse du soleil. IV) Satellites de la terre en mouvement circulaire uniforme 1) Cas d'un satellite quelconque Pour mettre sur orbite un satellite, il faut lui communiquer une énergie cinétique suffisante. Le mouvement des satellites ce fait dans un plan contenant le centre d'inertie de la terre GT. En effet la force de gravitation exercée par la terre sur le satellite est centripète. Orbite circulaire du satellite Les vitesse et période d'un satellite décrivant une orbite ciculaire, centrée sur le centre d'inertie de la terre sont : v= G. ms RT + h et (R T + h) 3 T = 2. π . G. mT h: altitude du satellite(m). RT = 6400 km rayon de la terre. 24 mT =6.10 kg , masse de la terre. -11 -2 2 G = 6,67.10 N.kg .m constante de gravitation universelle. 2)satellites géostationaires Un satellite est____________________ s'il est toujours situé ________________du même point de la terre. Comme son plan orbital doit contenir_________ __________________ _________ , son orbite est dans____________________ ________. Sa période de révolution T est égale à la période de rotation de la terre dans le référentiel ___________________, Cette période est appelée également _________________. T =23 h 56 min 4 s = 86164 s L'altitude du satellite géostationnaire est h = 35800 km Sa vitesse est v = 3,08 km.s -1 Schéma : La terre est orange, parce que c'est ma couleur préférée. 3)Corps en impesanteur Dans un satellite tous les objets semblent flotter : 4 Dans le référentiel satellite la somme des forces extérieures appliquée à un objet __________ __________. Cet objet est donc soit au ________ soit en mouvement ________________. Dans le référentiel satellite le poids de l'objet appelé poids apparent est nul. Le solide est en impesanteur. Remarque: Si le solide est isolé (aucune force n'agit sur lui) : alors il est en apesanteur (absence de champ de pesanteur). Par contre par rapport au référentiel géocentrique l'objet est soumis à la force d'attraction gravitationnelle due à la terre (FT/S). Son vecteur accélération est : r a= G.m (R T + h) r . n 2 Le principe d'inertie ne s'applique pas dans le référentiel satellite, en effet la somme des forces extérieures est différente du vecteur nulle or le solide est au repos dans ce référentiel. Pour comprendre le phénomène d'impesanteur imaginer Roger emprisoné dans un ascenceur fou en chute libre. Si au moment initiale de la chute Roger n'as pas les pieds sur le sol, déterminer son mouvement dans le référentiel ascenceur fou, puis dans le référentiel terrestre. 5