13_satellites et planètes

Chapitre 12 : Satellites et planètes en
mouvement circulaire
rappel :
Une ellipse est une courbe caractérisée par :
→ Ses foyers F et F' symétriques l'un de l'autre par
rapport au point O centre de l'ellipse
→ Une distance 'a' nommé demi-grand axe, et b le
demi-axe.
Un point M de l'ellipse vérifie : FM+MF' = 2a
schéma :
L'ellipse peut-être tracée à l'aide de deux clous un
crayon est une ficelle. On plante les clous en F et F'.
On relie les deux clous par une ficelle de longueur 2a.
À l'aide du crayon on tend la corde qu'on déplace
autour des clous.
Remarque : le cercle est une ellipse particulière pour
laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe
et le demi-axe ont même valeur :
a = b = R , rayon du cercle.
I) Les lois de Kepler
Kepler consigne de très nombreuses valeurs de
position de planètes dans le ciel au cours du temps. A
partir de ces observations il énonce trois lois.
1) Premières lois de Kepler ou loi des
orbites elliptiques 1605
L'orbite d'une planète est la trajectoire de son centre
d'inertie dans le référentiel héliocentrique.
La première loi est de Kepler est :
___________________________________
______________________________________
2) seconde loi ou loi des aires (1604)
Les planètes ne tournent pas avec une vitesse
constante autour du soleil. Quand elle s'approche de
celui-ci leur vitesse est plus grande !
_________________________________________
________________________________________
__________________________________________
Schéma:
Si ∆
∆∆
∆t = t
1
-t
0
= t
3
-t
2
alors S1=S2
Remarque : dans le cas d'une trajectoire circulaire le
mouvement est uniforme
3) Troisième loi de Kepler ou loi des
périodes
Soit T la période de révolution de la planète autour du
soleil, et 'a' la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.
La période de révolution au carré divisée par le
demi-grand axe 'a' au cube est une constante.
Elle ne dépend pas de la planète mais uniquement
de la masse M
S
du soleil et de la constante
d'attraction universelle G :
G = 6,67.10
-11
N.kg
-2
.m
2
M
S
= 1,96.10
30
kg
II) La loi de gravitation de Newton
"Qu'est-ce qui fait tourner les planètes autour du soleil
S2
S1
Orbite de la
planète
t
1
t
o
t
3
t
2
M
F F' O
2a
2b

2
? Au temps de Kepler, il y avait des gens pour
répondre qu'il y avait derrière chaque planète un ange
battant des ailes et la poussant sur son orbite". Qu'en
est-il aujourd'hui ?
1) Rappel du principe d'interaction
Si un corps A exerce une force sur un corps B
dont l'intensité est notée F
A/B
alors le corps B
exerce sur le corps A une force l'intensité F
B/A
tel
que les vecteurs forces sont opposés.
__________________________________
Les 2 forces possèdent donc la même direction, la
même intensité mais un sens opposé.
Schéma :
2) force d'attraction gravitationnelle
Un corps ponctuel A de masse m
A
exerce sur un
corps ponctuel B de masse m
B
une force
d'attraction gravitationnelle telle que :
r
uAB : vecteur unitaire de direction la droite AB et
de sens de A vers B.
G = 6,67.10
-11
N.m
2
.kg
-2
, __________________
________________
F
A/B
force d'attraction gravitationnelle exercée par
le corps A sur le corps B en Newton(N).
Schéma:
D'après le principe d'interaction le corps B exerce
une force opposée à F
A/B
sur le corps A:
______________________________________
Schéma:
L'expression de cette force d'attraction gravitationnelle
s'applique également pour des objets à symétrie
sphérique, c'est-à-dire pour lesquelles la matière est
répartie uniformément dans toutes les directions.
(Figure 8 page 247).
La force gravitationnelle s'applique alors au
centre d'inertie du solide.
Exemple : dessiner la force d'interaction
gravitationnelle exercée par la lune sur la terre et celle
exercée par la terre sur la lune.
3) La grande question : pourquoi la lune
ne tombe-t-elle pas sur la terre ?
La terre exerce sur la lune une force d'interaction
gravitationnelle, mais la lune possède une vitesse
(tangente à sa trajectoire circulaire) suffisante pour
qu'elle ne tombe pas sur terre.
III) Le mouvement circulaire
uniforme
On considérera par la suite que les orbites des
planètes autour du soleil sont quasi circulaires.
1) la base de Frénet
Dans le cas des mouvements circulaires on
n'utilise pas par le repère cartésien, mais le repère
de Frénet défini par deux vecteurs unitaires dans
le plan :
( , )
r
r
τ
ττ
τ
n base de Frénet orthonormée.
Soit un point P mobile décrivant une trajectoire
curviligne la base de Frénet à l'instant t est :
r
τ
ττ
τ
: vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point
P, orienté généralement dans le sens du
mouvement.
r
n
: vecteur unitaire normal à la trajectoire et
centripète.
Schéma :
B
(m
B
)
r
F
A
B
/
r
u
AB
A (m
A
)

3
2) Vecteur accélération pour un
mouvement circulaire uniforme
La vitesse est constante, et le vecteur vitesse est
tangent à la trajectoire par conséquent :
Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon
de trajectoire R, le vecteur accélération et le
vecteur vitesse d'un point mobile sont :
r
r
r r
v v
av
R
n
=
==
=
=
==
=
.
.
τ
ττ
τ
2
L'accélération est centripète
Schéma :
3) Vitesse et accélération du centre
d'inertie d'une planète, dans le cas d'un
mouvement circulaire uniforme
On va vérifier qu'une planète peut avoir un
mouvement circulaire uniforme autour du soleil.
On étudie le mouvement d'une planète autour du soleil
dans le référentiel héliocentrique. Ce référentiel est
supposé fixe, on considère qu'il est galiléen pendant la
durée de l'observation.
Étude mécanique :
→ Système : la planète de masse m, et de centre
d'inertie G
P
.
→ Référentiel : référentiel héliocentrique supposé
galiléen.
→ Repère : repère de Frénet (à noter que l'origine du
repère est confondue avec le centre d'inertie de la
planète en révolution autour du soleil :
R G n
P
( , , )
r
r
τ
ττ
τ
→ La somme des forces extérieures se réduit à la
force d'attraction gravitationnelle du soleil sur la
planète :
rr
FG m m
r
u
S P sG G
S P
/
. . .=
==
= −
−−
−
2
Avec r=G
S
G
P
distance entre les centres d'inertie du
soleil G
S
et de la planète G
P
.
m et m
S
, masse de la planète et du soleil.
G: constante de gravitation universelle,
G = 6,67.10
-11
N.kg
-2
.m
2
Schéma:
→
→→
→La seconde loi de Newton permet de déterminer
la valeur de l'accélération du centre d'inertie de la
planète, dans le cas d'un mouvement circulaire
uniforme:
Sens du
mouvement
r
τ
ττ
τ
r
n
G
r
F
S P/
r
u
S
G
G
G
S
(m
S
)
planète
soleil
r
τ
ττ
τ
r
n
Sens du
mouvement
r
τ
ττ
τ
r
n
r
v
r
a

4
r r
aG m
r
n=
==
=..
2
Par conséquent le vecteur vitesse du centre
d'inertie de la planète est :
r
r
v
v
=
==
=
.
τ
ττ
τ
avec:
vG m
rs
=
==
=.
On a vérifié qu'une planète peut avoir un mouvement
circulaire uniforme, de rayon de trajectoire 'r' (distance
entre les centres d'inertie) et de vitesse v=(G.m
s
/r)
1/2
.
4) Période de révolution, troisième loi de
Kepler
Soit une planète dont la distance entre son centre
d'inertie et celui du soleil est 'r', la masse du soleil
étant notée m
S
, et la constante de gravitation
universelle étant notée G.
Dans le cas particulier du mouvement circulaire
uniforme, la période de révolution de la planète
autour du soleil est :
Tr
G m
s
=
==
=2
3
. . . π
ππ
π
on retrouve alors la troisième loi de Kepler :
Remarque: cette relation permet de déterminer la
masse du soleil.
IV) Satellites de la terre en
mouvement circulaire uniforme
1) Cas d'un satellite quelconque
Pour mettre sur orbite un satellite, il faut lui
communiquer une énergie cinétique suffisante.
Le mouvement des satellites ce fait dans un plan
contenant le centre d'inertie de la terre G
T
. En effet la
force de gravitation exercée par la terre sur le satellite
est centripète.
Schéma :
La terre est orange, parce que c'est ma couleur
préférée.
Les vitesse et période d'un satellite décrivant une
orbite ciculaire, centrée sur le centre d'inertie de la
terre sont :
vG m
R h
s
T
=
==
=+
++
+
.
et
Th
G m
T
T
=
==
=+
++
+
2
3
. . (R )
.
π
ππ
π
h: altitude du satellite(m).
R
T
= 6400 km rayon de la terre.
m
T
=6.10
24
kg , masse de la terre.
G = 6,67.10
-11
N.kg
-2
.m
2
constante de gravitation
universelle.
2)satellites géostationaires
Un satellite est____________________ s'il est
toujours situé ________________du même point de
la terre.
Comme son plan orbital doit contenir_________
__________________ _________ , son orbite est
dans____________________ ________.
Sa période de révolution T est égale à la période
de rotation de la terre dans le référentiel
___________________,
Cette période est appelée également
_________________.
T =23 h 56 min 4 s = 86164 s
L'altitude du satellite géostationnaire est h = 35800 km
Sa vitesse est v = 3,08 km.s
-1
3)Corps en impesanteur
Dans un satellite tous les objets semblent flotter :
Orbite circulaire
du satellite
r
FT S/
G
T
Plan de
l'orbital

5
Dans le référentiel satellite la somme des forces
extérieures appliquée à un objet __________
__________.
Cet objet est donc soit au ________ soit en
mouvement ________________.
Dans le référentiel satellite le poids de l'objet
appelé poids apparent est nul. Le solide est en
impesanteur.
Remarque: Si le solide est isolé (aucune force n'agit
sur lui) : alors il est en apesanteur (absence de champ
de pesanteur).
Par contre par rapport au référentiel géocentrique
l'objet est soumis à la force d'attraction gravitationnelle
due à la terre (F
T/S
). Son vecteur accélération est :
r r
aG m
R h n
T
=
==
=+
++
+
.
( ) .
2
Le principe d'inertie ne s'applique pas dans le
référentiel satellite, en effet la somme des forces
extérieures est différente du vecteur nulle or le solide
est au repos dans ce référentiel.
Pour comprendre le phénomène d'impesanteur
imaginer Roger emprisoné dans un ascenceur fou en
chute libre.
Si au moment initiale de la chute Roger n'as pas les
pieds sur le sol, déterminer son mouvement dans le
référentiel ascenceur fou, puis dans le référentiel
terrestre.