analyse

G. A. Sedogbo
Docteur en mathématiques
Analyse
DEUG Sciences 2
e
année
BELIN 8, RUE FÉROU 75278 PARIS CEDEX 06
http://www.editions-belin.com
2570_pagesdiv 28/06/07 16:20 Page 1

Avant-Propos
Cet ouvrage s’adresse en premier lieu aux étudiants de deuxième année de DEUG sciences.
Il comporte de très nombreux exercices de difficulté progressive qui permettent la compré-
hension et la maîtrise des notions.
Notre objectif a été d’amener l’étudiant à trouver par lui-même les solutions des exercices.
Pour cela, chaque chapitre est divisé en trois parties:
— les éléments de cours;
— la liste des exercices;
— des indications sur la démarche à adopter, suivies des solutions détaillées.
Chaque chapitre comprend deux types d’exercices: les premiers sont une application
immédiate du cours et les seconds constituent un approfondissement et une synthèse.
Les erreurs à éviter sont clairement signalées.
Notre souhait est que l’étudiant se sente guidé dans son travail et qu’il étudie longuement
chaque question. C’est la raison pour laquelle je lui recommande de limiter le recours à la
solution afin de lui permettre de continuer seul la réflexion.
G. A. Sedogbo
L’éditeur remercie Catherine Schmidt pour sa participation à cet ouvrage.
Le code de la propriété intellectuelle n’autorise que «les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et
non destinées à une utilisation collective» [article L. 122-5]; il autorise également les courtes citations effectuées dans un but
d’exemple ou d’illustration. En revanche «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, sans le consentement de l’au-
teur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confié au C.F.C. (Centre
français de l’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris), l’exclusivité de la gestion du droit de repro-
graphie. Toute photocopie d’œuvres protégées, exécutée sans son accord préalable, constitue une contrefaçon sanctionnée par les
articles 425 et suivants du Code pénal.
©Éditions BELIN, 2000 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-2570-7
2570_pagesdiv 28/06/07 16:20 Page 2

Sommaire
1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 7
Éléments de cours 8
Énoncés des exercices 12
• Application immédiate
– Normes et suites 12
– Fonctions vectorielles 13
• Approfondissement et synthèse 14
Indications et solutions 16
2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 37
Éléments de cours 38
Énoncés des exercices 43
• Application immédiate
– Limites, continuité, différentiabilité 43
– Généralités 45
– Difféomorphismes 47
• Approfondissement et synthèse 47
Indications et solutions 49
3. SÉRIES NUMÉRIQUES 79
Éléments de cours 80
Énoncés des exercices 83
• Application immédiate
3
2570_00_xp_sommaire 28/06/07 16:21 Page 3

– Nature de séries particulières 83
– Généralités 83
• Approfondissement et synthèse 85
Indications et solutions 89
4. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 121
Éléments de cours 122
Énoncés des exercices 125
• Application immédiate
– Nature d’intégrales 125
– Nature d’intégrales suivant des paramètres 126
– Intégrales et séries 127
• Approfondissement et synthèse 128
Indications et solutions 130
5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 165
Éléments de cours 166
Énoncés des exercices 169
• Application immédiate
– Convergence uniforme 169
– Permutation des symboles lim et 170
– Généralités sur les suites de fonctions 170
– Séries de fonctions 171
• Approfondissement et synthèse 172
Indications et solutions 175
6. SÉRIES ENTIÈRES ET TRIGONOMÉTRIQUES 203
Éléments de cours 204
Énoncés des exercices 209
• Application immédiate
– Rayons de convergence et sommes 209
4
2570_00_xp_sommaire 28/06/07 16:21 Page 4

– Séries et équations différentielles 210
– Développements en séries entières 211
– Séries de Fourier 211
• Approfondissement et synthèse 212
Indications et solutions 214
7. INTÉGRALES DÉPENDANT D’UN PARAMÈTRE 239
Éléments de cours 240
Énoncés des exercices 243
• Application immédiate
– Intégrales définies sur un compact 243
– Intégrales généralisées 243
• Approfondissement et synthèse 244
Indications et solutions 246
5
2570_00_xp_sommaire 28/06/07 16:21 Page 5