Devoir Maison no2

Devoir Maison no2
PSI - Sept. 2016
Calculatrices interdites
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de DF (K = R ou K = C). Notons χu son polynôme
caractéristique. Le but de ce problème est de montrer que χu (u) = 0 (théorème de Cayley-Hamilton) de
plusieurs manières différentes.
Méthode 1. Avec la matrice compagnon.
1. Rappels sur la matrice compagnon. Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + +a1 X + a0 un polynôme unitaire
de K[X]. Montrer que le polynôme caractéristique associé à la matrice :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
0
⋮
0
0
0 0 . . . 0 −a0
0 0 . . . 0 −a1
1 0 . . . 0 −a2
⋮ ⋱ ⋱ 0
⋮
0 ⋯ 1 0 −an−2
0 ⋯ 0 1 −an−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
In−1
−a0
−a1
−a2
⋮
−an−2
−an−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
est le polynôme P . Cette matrice est la matrice compagnon de P .
2. Preuve du théorème. Soit x dans E, montrons que χu (u)(x) = 0. Comme le résultat est évident
pour x = 0, on supposera dorénavant que x ≠ 0.
a) Justifier l’existence de d dans N, et de a0 ,. . . , ad−1 dans K vérifiant :
● La famille β = (x, u(x), . . . , ud−1 (x)) est libre,
● ud (x) = − a0 .x − a1 .u(x) − . . . − ad−1 .ud−1 (x)
Notons P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 .
b) Posons F = V ectK (x, u(x), . . . , ud−1 (x)). Montrer que F est stable par u.
c) Notons uF l’endomorphisme induit par u sur F . Déterminer la matrice de uF dans la
base β.
d) En déduire que χuF = P .
e) Quelle relation existe-t-il entre χuF et χu . En déduire que χu (u) = 0.
Méthode 2. Avec la densité des matrices diagonalisables.
1. Densité. On dit qu’une suite de matrices (An )n∈N converge vers la matrice A si et seulement si les
coefficients de An convergent vers les coefficients de A.
On va montrer que toute matrice A est la limite d’une suite (An ) de matrices diagonalisables.
a) Soit A dans Mn (C). Expliquer pourquoi A est semblable à une matrice triangulaire
supérieure T . Notons (tij ) les coefficients de T .
1
b) Si t11 = t22 = . . . = tnn , posons d = 1, sinon :
d = M in { ∣tii − tjj ∣ / i, j ∈ {1, . . . , n} avec tii ≠ tjj }
Justifier l’existence de d et montrer que d > 0.
c) Posons pour tout i de {1, . . . , n} :
t′ii = tii +
d.i
n+1
Montrer que les t′ii pour i dans {1, . . . , n} sont différents.
d) Notons Dn la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont
Montrer que la matrice Tn′ = T + Dn est diagonalisable.
d
2d
n+1 , n+1 ,
...,
d.n
n+1 .
e) Conclure.
2. Preuve du théorème. On admettra dans ce paragraphe que si (An )n∈N converge vers A, alors
χAn (An ) converge vers χA (A) (cf. chapitre espaces vectoriels normés).
a) Dans cette question uniquement, supposons u diagonalisable. Montrer que tout x de E
est combinaison linéaire de vecteurs propres. En déduire que χu (u) = 0
b) Si u n’est pas diagonalisable, notons A la matrice de u dans une base β quelconque et
(An )n∈N une suite de matrices diagonalisables convergeant vers A (cf. 1). Montrer que
χA (A) = 0.
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