Devoir Maison no2

PSI - Sept. 2016 Devoir Maison no2Calculatrices interdites
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme d’un K -espace vectoriel E de DF ( K=R ou K=C ). Notons
χu
son polynôme
caractéristique. Le but de ce problème est de montrer que
χu(u)=
0(théorème de Cayley-Hamilton) de
plusieurs manières différentes.
Méthode 1. Avec la matrice compagnon.
1. Rappels sur la matrice compagnon. Soit P=Xn+an−1Xn−1+...++a1X+a0 un polynôme unitaire
de K[X]. Montrer que le polynôme caractéristique associé à la matrice :
0 0 0 ... 0−a0
1 0 0 ... 0−a1
0 1 0 ... 0−a2
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0⋮
0 0 ⋯1 0 −an−2
0 0 ⋯0 1 −an−1
=
0−a0
In−1
−a1
−a2
⋮
−an−2
−an−1
est le polynôme P. Cette matrice est la matrice compagnon de P.
2. Preuve du théorème. Soit x dans E , montrons que
χu(u)(x)=
0. Comme le résultat est évident
pour x=0, on supposera dorénavant que x≠0.
a) Justifier l’existence de ddans N, et de a0,. . . , ad−1dans Kvérifiant :
●La famille β=(x, u(x),...,ud−1(x)) est libre,
●ud(x)=−a0.x −a1.u(x)−... −ad−1.ud−1(x)
Notons P=Xn+an−1Xn−1+...+a0.
b) Posons F=V ectK(x, u(x),...,ud−1(x)). Montrer que Fest stable par u.
c) Notons uF l’endomorphisme induit par u sur F . Déterminer la matrice de uF dans la
base β.
d) En déduire que χuF=P.
e) Quelle relation existe-t-il entre χuFet χu. En déduire que χu(u)=0.
Méthode 2. Avec la densité des matrices diagonalisables.
1. Densité. On dit qu’une suite de matrices (An)n∈N converge vers la matrice A si et seulement si les
coefficients de Anconvergent vers les coefficients de A.
On va montrer que toute matrice Aest la limite d’une suite (An)de matrices diagonalisables.
a) Soit A dans Mn(C) . Expliquer pourquoi A est semblable à une matrice triangulaire
supérieure T. Notons (tij )les coefficients de T.
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b) Si t11 =t22 =... =tnn, posons d=1, sinon :
d=Min  tii −tjj   i, j ∈{1,...,n}avec tii ≠tjj 
Justifier l’existence de det montrer que d>0.
c) Posons pour tout ide {1,...,n}:
t′
ii =tii +d.i
n+1
Montrer que les t′
ii pour idans {1,...,n}sont différents.
d) Notons Dn la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont
d
n+1
,
2d
n+1
, ...,
d.n
n+1
.
Montrer que la matrice T′
n=T+Dnest diagonalisable.
e) Conclure.
2. Preuve du théorème. On admettra dans ce paragraphe que si (An)n∈N converge vers A , alors
χAn(An)converge vers χA(A)(cf. chapitre espaces vectoriels normés).
a) Dans cette question uniquement, supposons u diagonalisable. Montrer que tout x de E
est combinaison linéaire de vecteurs propres. En déduire que χu(u)=0
b) Si u n’est pas diagonalisable, notons A la matrice de u dans une base β quelconque et
(An)n∈N une suite de matrices diagonalisables convergeant vers A (cf. 1). Montrer que
χA(A)=0.
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