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MPSI Devoir surveill´e no7 (4h) 24 mars 2012
Questions et exercices de cours
1) Soient deux intervalles Iet Jde R, et deux fonctions f∈ F(I, J) et g∈ F(J, R).
D´emontrer que si fet gsont nfois d´erivables alors g◦fest nfois d´erivable (on pourra
admettre qu’un produit de fonctions nfois d´erivables est nfois d´erivable).
2) ´ Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme d’´egalit´e des accroissements finis (on pourra admettre
le th´eor`eme de Rolle).
3) Soit fune fonction trois fois d´erivable sur l’intervalle [a, b] et `a valeurs dans R. On suppose
que f(a) = f′(a) = f(b) = f′(b) = 0.
Montrer qu’il existe x∈]a, b[ tel que f(3)(x) = 0.
4) Rappeler la d´efinition d’une fonction convexe.
Montrer que si fest une fonction positive et convexe sur un intervalle I, et si aet bsont
deux ´el´ements de Itels que a6bet tels que f(a) = f(b) = 0, alors ∀x∈[a, b], f (x) = 0.
Probl`eme d’analyse : suites r´ecurrentes
Soit cun nombre r´eel fix´e. Soit la fonction f:x7→ x2+c
On d´efinit la suite (un)n∈Npar : u0= 0,
∀n∈N, un+1 =f(un).
Le but du probl`eme est d’´etudier la convergence de la suite (un)n∈Nen fonction du param`etre c.
1) On suppose dans cette question que c > 1
4.
a) ´ Etudier le signe de f(x)−x. Que peut–on en d´eduire concernant l’´eventuelle mono-
tonie de la suite u?
b) Montrer que la suite (un) ne peut pas converger vers un r´eel.
c) En d´eduire lim
n→+∞un.
2) Supposons que c61
4. Faire un tableau de signe de f(x)−x.
On note ℓ1et ℓ2les deux solutions de f(x)−x= 0 avec la convention ℓ16ℓ2. Expliciter
en fonction de cla valeur de ℓ1et la valeur de ℓ2. Dans quel cas a–t–on ℓ1=ℓ2?
3) Dans le cas o`u c=−1, repr´esenter sur un mˆeme sch´ema la repr´esentation graphique de
fainsi que la droite d’´equation y=x, et positionner les points d’abscisse ℓ1et d’abscisse
ℓ2.
Mˆeme question dans le cas o`u c=1
4.
4) On suppose dans cette question que c∈0,1
4.
a) Montrer que ℓ1>0 puis montrer que l’intervalle [0, ℓ1] est stable par f.
b) Montrer que (un) est croissante.
c) Montrer que (un) converge vers ℓ1.
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5) On supposera dans toute la question 5) que c∈−3
4,0.
On d´efinit alors l’application g:x7→ f◦f(x)−x.
a) Montrer que ℓ1et ℓ2sont solutions de l’´equation g(x) = 0. En d´eduire que le
polynˆome (X2+c)2+c−Xest divisible par X2+c−X.
b) D´eterminer une fonction polynomiale htelle que ∀x∈R, g(x) = (x2−x+c)h(x)
c) ´ Etudier le signe de h(x) puis celui de g(x) (faire un tableau de signe suivant les
valeurs de x).
d) Montrer que l’intervalle [c, 0] est stable par f. En d´eduire que pour tout entier naturel
n,un∈[c, 0].
Montrer que c6ℓ160.
e) Montrer que pour tout entier naturel n,u2n+1 6ℓ16u2n.
f) Montrer que la suite (u2n)n∈Nest d´ecroissante et que la suite (u2n+1)n∈Nest crois-
sante.
g) Montrer que les suites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈Net (un)n∈Nconvergent vers ℓ1.
6) On supposera dans toute la question 6) que c < −3
4.
Le but de la question 6) est de montrer que si la suite (un)n∈Nest convergente, alors elle
est constante `a partir d’un certain rang.
Pour cela nous allons raisonner par l’absurde et supposer que la suite (un) converge vers
un r´eel λmais qu’elle n’est constante `a partir d’aucun rang.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a un6=λ.
b) Montrer que lim
n→+∞
un+1 −λ
un−λ=f′(λ).
c) Montrer que |2ℓ1|>1 et que |2ℓ2|>1.
En d´eduire l’existence d’un r´eel Ktel que K∈i1,|f′(λ)|h.
d) Montrer qu’il existe n0∈Ntel que ∀n>n0,|un+1 −λ|>K|un−λ|.
e) Conclure le raisonnement par l’absurde.
f) Montrer que, si c=−2, la suite (un)n∈Nest convergente.
g) Dans le cas o`u c=−1, est-elle convergente ? Expliciter unen fonction de n.
7) On suppose dans toute la question 7) que c < −2.
a) Montrer que u2> ℓ2.
b) Montrer que (un)n>2est strictement croissante.
c) Montrer que (un)n∈Ndiverge vers +∞.
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Probl`eme d’alg`ebre
Soit Eun R-espace vectoriel. On note IdEl’application identique de E. On rappelle que si f
est un endomorphisme de E,fest inversible si et seulement si il existe un endomorphisme g
not´e alors f−1tel que f og =gof =IdE.
kd´esignant un r´eel, on note Akl’ensemble des endomorphismes ude Etels que u2=k.u.
Pour n∈N, on pose
Fn=Ker(fn) et Gn=Im(fn).
Les parties II et III sont ind´ependantes.
Partie I : ´ Etude d’un exemple
On consid`ere l’endomorphisme de R4d´efini par
f: (x, y, z, t)7→ (x+y+z−t, −z+t, 0, x +y)
1) D´eterminer une base de Kerfet donner sa dimension.
2) Calculer la matrice Ade fdans la base canonique. Calculer A2, A3et A4.
3) D´eterminer f2(x, y, z, t) et calculer la dimension de Kerf2
4) D´eterminer de mˆeme dim Kerf3et dim Kerf4
5) D´eterminer ktel que f2appartienne `a Ak.
Partie II
On suppose dans cette partie que Eest un espace vectoriel de dimension finie non nulle not´ee n.
1) a) Soit p∈N. Montrer que Fp⊂Fp+1.
b) Soit p∈N. Montrer que Gp+1 ⊂Gp.
2) Montrer qu’il existe mtel que Fm=Fm+1 et que ∀p>m, Fp+1 =Fp.On note alors
s= min{m∈N|Fm=Fm+1}. Justifier que s6n.
3) Justifier que pour ce s,Gs=Gs+1 et que ∀p>s, Gp+1 =Gp.On note alors F=Fset
G=Gs.
4) Montrer que E=F⊕G.
5) Montrer que les sous-espaces vectoriels Fet Gsont stables par f.
6) On d´efinit ul’endomorphisme de Finduit par fet vl’endomorphisme de Ginduit par
f. Montrer que us= 0 et que vest un isomorphisme.
7) Soit kun entier naturel.
a) Montrer que finduit un endomorphisme de Gkque l’on notera vk.
b) Justifier que Ker vk=Kerf∩Gk.
c) En d´eduire que la suite (dim Fk+1 −dim Fk)k∈Nest d´ecroissante.
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Partie III
1) Soit u∈Ak.
a) Quand uest inversible, montrer que u=k.IdE.
b) On suppose k= 0. Prouver que Im u⊂Ker u.
c) On suppose k6= 0. Montrer que Im u=Ker(u−k.IdE).
D´emontrer que E=Im u⊕Ker u.
2) On suppose dans cette question que k6= 0, et on donne deux ´el´ements u, v de Ak.
a) D´emontrer que si on a uov +vou = 0 alors uov =vou = 0L(E). (0L(E)d´esigne
l’endomorphisme nul).
b) D´emontrer que Im(u+v)⊂Im(u) + Im(v) et que Ker(u)∩Ker(v)⊂Ker(u+v).
c) A quelle condition n´ecessaire et suffisante u+vappartient-il `a Ak?
Montrer que dans ce cas, Im(u+v) = Im(u) + Im(v).
Montrer ´egalement que Ker(u)∩Ker(v) = Ker(u+v).
d) Montrer que si uov =vou alors uov appartient `a un ensemble Ak′et que dans ce
cas :
Im(uov) = Im(u)∩Im(v)et Ker(u) + Ker(v) = Ker(uov)
3) Soit fun endomorphisme de Esatisfaisant `a la relation :
f2+ 2.f −3IdE= 0L(E)(1)
On suppose que fn’est pas une homoth´etie vectorielle.
a) Soit u=f−IdEet v=f+ 3.IdE. Montrer que uet vappartiennent `a deux
ensembles Aker Ak′.
Montrer que uov =vou = 0L(E).
b) Montrer que pour pentier strictement positif on a :
fp=−(−3)p.u +v
4
c) Montrer que fest inversible et que :
f−1=1
3.(f+ 2.IdE)
d) Application :Ed´esigne l’espace vectoriel des suites de r´eels (un) telles que :
∀n∈Nun+2 + 2un+1 −3un= 0
Montrer que l’application fd´efinie sur Epar
∀(un)∈E, f ((un)) = (vn),avec ∀n∈N, vn=un+1
est un endomorphisme de Equi v´erifie la relation f2+ 2.f −3IdE= 0L(E).
Si (un)∈E, exprimer upen fonction de p, u0, u1.
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