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MPSI
Devoir surveillé no 7 (4h)
24 mars 2012
Questions et exercices de cours
1) Soient deux intervalles I et J de R, et deux fonctions f ∈ F (I, J) et g ∈ F (J, R).
Démontrer que si f et g sont n fois dérivables alors g ◦ f est n fois dérivable (on pourra
admettre qu’un produit de fonctions n fois dérivables est n fois dérivable).
2) Énoncer et démontrer le théorème d’égalité des accroissements finis (on pourra admettre
le théorème de Rolle).
3) Soit f une fonction trois fois dérivable sur l’intervalle [a, b] et à valeurs dans R. On suppose
que f (a) = f ′ (a) = f (b) = f ′ (b) = 0.
Montrer qu’il existe x ∈]a, b[ tel que f (3) (x) = 0.
4) Rappeler la définition d’une fonction convexe.
Montrer que si f est une fonction positive et convexe sur un intervalle I, et si a et b sont
deux éléments de I tels que a 6 b et tels que f (a) = f (b) = 0, alors ∀x ∈ [a, b], f (x) = 0.
Problème d’analyse : suites récurrentes
Soit c un nombre réel fixé. Soit lafonction f : x 7→ x2 + c
u0 = 0,
On définit la suite (un )n∈N par :
∀ n ∈ N, un+1 = f (un ).
Le but du problème est d’étudier la convergence de la suite (un )n∈N en fonction du paramètre c.
1
1) On suppose dans cette question que c > .
4
a) Étudier le signe de f (x) − x. Que peut–on en déduire concernant l’éventuelle monotonie de la suite u ?
b) Montrer que la suite (un ) ne peut pas converger vers un réel.
c) En déduire lim un .
n→+∞
1
2) Supposons que c 6 . Faire un tableau de signe de f (x) − x.
4
On note ℓ1 et ℓ2 les deux solutions de f (x) − x = 0 avec la convention ℓ1 6 ℓ2 . Expliciter
en fonction de c la valeur de ℓ1 et la valeur de ℓ2 . Dans quel cas a–t–on ℓ1 = ℓ2 ?
3) Dans le cas où c = −1, représenter sur un même schéma la représentation graphique de
f ainsi que la droite d’équation y = x, et positionner les points d’abscisse ℓ1 et d’abscisse
ℓ2 .
1
Même question dans le cas où c = .
4
1
4) On suppose dans cette question que c ∈ 0, .
4
a) Montrer que ℓ1 > 0 puis montrer que l’intervalle [0, ℓ1 ] est stable par f .
b) Montrer que (un ) est croissante.
c) Montrer que (un ) converge vers ℓ1 .
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5) On supposera dans toute la question 5) que c ∈ − , 0 .
4
On définit alors l’application g : x 7→ f ◦ f (x) − x.
a) Montrer que ℓ1 et ℓ2 sont solutions de l’équation g(x) = 0. En déduire que le
polynôme (X 2 + c)2 + c − X est divisible par X 2 + c − X.
b) Déterminer une fonction polynomiale h telle que ∀ x ∈ R, g(x) = (x2 − x + c)h(x)
c) Étudier le signe de h(x) puis celui de g(x) (faire un tableau de signe suivant les
valeurs de x).
d) Montrer que l’intervalle [c, 0] est stable par f . En déduire que pour tout entier naturel
n, un ∈ [c, 0].
Montrer que c 6 ℓ1 6 0.
e) Montrer que pour tout entier naturel n, u2n+1 6 ℓ1 6 u2n .
f) Montrer que la suite (u2n )n∈N est décroissante et que la suite (u2n+1 )n∈N est croissante.
g) Montrer que les suites (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (un )n∈N convergent vers ℓ1 .
3
6) On supposera dans toute la question 6) que c < − .
4
Le but de la question 6) est de montrer que si la suite (un )n∈N est convergente, alors elle
est constante à partir d’un certain rang.
Pour cela nous allons raisonner par l’absurde et supposer que la suite (un ) converge vers
un réel λ mais qu’elle n’est constante à partir d’aucun rang.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a un 6= λ.
un+1 − λ
= f ′ (λ).
b) Montrer que lim
n→+∞ un − λ
c) Montrer que |2ℓ1 | > 1 et que |2ℓ2| > 1.
i
h
′
En déduire l’existence d’un réel K tel que K ∈ 1, |f (λ)| .
d) Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que ∀n > n0 , |un+1 − λ| > K|un − λ|.
e) Conclure le raisonnement par l’absurde.
f) Montrer que, si c = −2, la suite (un )n∈N est convergente.
g) Dans le cas où c = −1, est-elle convergente ? Expliciter un en fonction de n.
7) On suppose dans toute la question 7) que c < −2.
a) Montrer que u2 > ℓ2 .
b) Montrer que (un )n>2 est strictement croissante.
c) Montrer que (un )n∈N diverge vers +∞.
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Problème d’algèbre
Soit E un R-espace vectoriel. On note IdE l’application identique de E. On rappelle que si f
est un endomorphisme de E, f est inversible si et seulement si il existe un endomorphisme g
noté alors f −1 tel que f og = gof = IdE .
k désignant un réel, on note Ak l’ensemble des endomorphismes u de E tels que u2 = k.u.
Pour n ∈ N, on pose
Fn = Ker(f n )
et
Gn = Im(f n ).
Les parties II et III sont indépendantes.
Partie I : Étude d’un exemple
On considère l’endomorphisme de R4 défini par
f : (x, y, z, t) 7→ (x + y + z − t, −z + t, 0, x + y)
1) Déterminer une base de Kerf et donner sa dimension.
2) Calculer la matrice A de f dans la base canonique. Calculer A2 , A3 et A4 .
3) Déterminer f 2 (x, y, z, t) et calculer la dimension de Kerf 2
4) Déterminer de même dim Kerf 3 et dim Kerf 4
5) Déterminer k tel que f 2 appartienne à Ak .
Partie II
On suppose dans cette partie que E est un espace vectoriel de dimension finie non nulle notée n.
1)
a) Soit p ∈ N. Montrer que Fp ⊂ Fp+1 .
b) Soit p ∈ N. Montrer que Gp+1 ⊂ Gp .
2) Montrer qu’il existe m tel que Fm = Fm+1 et que ∀p > m, Fp+1 = Fp . On note alors
s = min{m ∈ N | Fm = Fm+1 }. Justifier que s 6 n.
3) Justifier que pour ce s, Gs = Gs+1 et que ∀p > s, Gp+1 = Gp . On note alors F = Fs et
G = Gs .
4) Montrer que E = F ⊕ G.
5) Montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont stables par f .
6) On définit u l’endomorphisme de F induit par f et v l’endomorphisme de G induit par
f . Montrer que us = 0 et que v est un isomorphisme.
7) Soit k un entier naturel.
a) Montrer que f induit un endomorphisme de Gk que l’on notera vk .
b) Justifier que Ker vk = Kerf ∩ Gk .
c) En déduire que la suite (dim Fk+1 − dim Fk )k∈N est décroissante.
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Partie III
1) Soit u ∈ Ak .
a) Quand u est inversible, montrer que u = k.IdE .
b) On suppose k = 0. Prouver que Im u ⊂ Ker u.
c) On suppose k 6= 0. Montrer que Im u = Ker(u − k.IdE ).
Démontrer que E = Im u ⊕ Ker u.
2) On suppose dans cette question que k 6= 0, et on donne deux éléments u, v de Ak .
a) Démontrer que si on a uov + vou = 0 alors uov = vou = 0L(E) . (0L(E) désigne
l’endomorphisme nul).
b) Démontrer que Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v) et que Ker(u) ∩ Ker(v) ⊂ Ker(u + v).
c) A quelle condition nécessaire et suffisante u + v appartient-il à Ak ?
Montrer que dans ce cas, Im(u + v) = Im(u) + Im(v).
Montrer également que Ker(u) ∩ Ker(v) = Ker(u + v).
d) Montrer que si uov = vou alors uov appartient à un ensemble Ak′ et que dans ce
cas :
Im(uov) = Im(u) ∩ Im(v) et Ker(u) + Ker(v) = Ker(uov)
3) Soit f un endomorphisme de E satisfaisant à la relation :
f 2 + 2.f − 3IdE = 0L(E)
(1)
On suppose que f n’est pas une homothétie vectorielle.
a) Soit u = f − IdE et v = f + 3.IdE . Montrer que u et v appartiennent à deux
ensembles Ak er Ak′ .
Montrer que uov = vou = 0L(E) .
b) Montrer que pour p entier strictement positif on a :
fp =
−(−3)p .u + v
4
c) Montrer que f est inversible et que :
1
f −1 = .(f + 2.IdE )
3
d) Application : E désigne l’espace vectoriel des suites de réels (un ) telles que :
∀n ∈ N un+2 + 2un+1 − 3un = 0
Montrer que l’application f définie sur E par
∀(un ) ∈ E,
f ((un )) = (vn ),
avec
∀n ∈ N, vn = un+1
est un endomorphisme de E qui vérifie la relation f 2 + 2.f − 3IdE = 0L(E) .
Si (un ) ∈ E, exprimer up en fonction de p, u0, u1 .
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