Terminale S/Fonctions trigonométriques

Terminale S/Fonctions trigonométriques
1. Rappels :
Exercice 5269
A l’aide des formules du cos et du sin des angles associés, ex-
primer en fonction de cos xou de sin xles nombres suivants :
a. sin 3ı+xb. cos 5ı
2−x
c. cos x−ı
2d. cos ı 2+x
e. sin ı−x+ cos ı
2−x
f. 3·sin ı+x−2·sin ı−x+ 4·sin x−ı
Exercice 5267
Simplifier l’argument de chacune des expressions suivantes :
a. tan x+ıb. tan ı
2−xc. cos x−ı
d. sin x−ı
2e. sin x+ı 2f. cos x+ı 2
Exercice 5273
1. En remarquant que : ı
12 =ı 3−ı 4
Déterminer les valeurs de cos ı
12 et sin ı 12.
2. Déterminer les valeurs de : cos 7ı
12 ;sin 7ı 12
Exercice 5274
Montrer la relation suivante :
sin(a+b)·cos(a−b) = sin a·cos a+ cos b·sin b
Exercice 5275
Déterminer une simplification des expressions suivantes :
1. cos 2x·cos x−sin 2x·sin x
2. sin 3x·cos 2x−sin 2x·cos 3x
Exercice 5272
1. Dans chacune des cas, tracer un cercle trigonométrique
et représenter chacun des ensembles suivants :
a. cosx
x∈ı
6;2ı 3 
b. sinx
x∈2ı
3;7ı 3
2. A l’aide d’un cercle trigonométrique, donner sans justifi-
cation l’ensemble des solutions des inéquations suivantes
dans l’intervalle −ı;ı:
a. sin x⩽3
2b. cos x⩾−1 2c. cos x < 0
Exercice 3345
Résoudre, dans −ı;ı, les deux équations suivantes :
a. cos x= cos ı
4b. sin x= sin −ı 6
c. cos 2x= cos ı
4d. cos x= cos x+ı 4
Exercice 5271
Résoudre, dans l’intervalle −ı;ıles équations suivantes :
a. 2 cos 2x= 1 b. sin 3x=3
2
c. cos 2x= cos xd. sin 3x= cos x
Exercice 5276
1. Simplifier l’expression suivante :
cos x+ı
4−cos x−ı 4
2. Etablir l’égalité suivante :
sin 5x
sin 2x+sin 2x sin x=sin 3x2 sin(2x)·sin(x)
3. Résoudre, dans l’intervalle −ı;ıl’équation suivante :
3
2cos(2x) + 1 2sin(2x) = cos ı 7
2. Propriété des fonctions sinus et cosinus :
Exercice 2556
1. En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la
suite unn∈Nconverge vers 0 :
un=(−1)n
3n+ 1
2. En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la
suite vnn∈Nconverge ; préciser sa limite :
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un=2n2+ cos n
3n2+ 5
Exercice 2568
Soit unn∈N∗une suite définie par : un=cos n−2n
n
Déterminer la limite de la suite un.
Exercice 3302
On considère les deux fonctions suivantes fet gdéfinies sur
Rpar :
f(x) = 2·cos x;g(x) = cos 2·x
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative
représentée ci-dessous :
−2·π−π0π2·π
-2
-1
1
2
C
−2·π−π0π2·π
-2
-1
1
2
C′
3. Périodicité et parité :
Exercice 2920
Dans le repère (O;I;J)orthonormé, on représente ci-dessous
la courbe Cfreprésentative de la fonction fdéfinie sur R:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
I
-4
-2
2
4
J
O
La fonction fest périodique de période T.
1. a. Déterminer, parmi les coordonnées ci-dessous,
celle(s) d’un vecteur par lequel la courbe Cfest in-
variante :
b. Déterminer la valeur de T.
2. Donner l’image, par la fonction f, des nombres suivants :
a. 14 b. −16 c. 56 e. 58
Exercice 3346
On considère la fonction fdéfinie sur Rdont l’image de xest
définie par la relation :
f(x) = cos x+cos(x)2
On appelle Cfla courbe représentative de la fonction f.
1. Etudier la parité de la fonction f.
2. Etudier la périodicité de la fonction f.
3. a. En étudiant les images des nombres suivantes :
0;ı
3;ı 2;2ı 3;ı;4ı 3;3ı 2;5ı 3
et en admettant les propritétés suivantes :
fest strictement décroissante sur 0 ; 2ı
3;
fest strictement croissante sur 2ı
3;ı;
Cfadmet les tangentes horizontales aux points
d’abscisse :
0;2ı
3;ı;−4ı 3
effectuer le tracé de la courbe Cfsur 0 ; +∞.
b. Prolonger ce tracé à l’ensemble du graphique.
−4·π−3·π−2·π−π0π2·π3·π4·π
-1
1
2
4. Dérivée :
Exercice 5277
Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes :
a. f:x7−→ x2+ cos xb. g:x7−→ sin(2x)
c. h:x7−→ cos x·sin xd. j:x7−→ sin x2
Exercice 2878
Déterminer l’expression des fonctions dérivées associées aux
fonctions suivantes :
a. f(x) = x2·cos xb. g(x) = 3x2−2·sin x2
c. h(x) = 3
2·cos xd. j(x) = cos x 3x+ sin x
5. Nombres dérivés et limites :
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Exercice 3532
1. Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonc-
tions suivantes :
a. f(x) = cos x2b. g(x) = sin x+ cos x
c. h(x) = tan(x2+x)d. j(x) = cos x
sin x
2. Déterminer les limites suivantes :
a. lim
x7→0cos x2−1
xb. lim
x7→− π
4
sin x+ cos x
x+ı
4
c. lim
x7→0
tan(x2+x)
xd. lim
x7→ π
2
cos x
x−ı
2·sin x
Exercice 3568
Considérons la fonction gdéfinie sur Rpar : g(x)=sinx
1. Donner le nombre dérivée de la fonction gen 0.
2. En déduire la valeur de la limite : lim
x7→0
sin x
x
6. Etude de fonctions :
Exercice 6822
Préciser si l’affirmation suivante est vraie ou fasse, en justi-
fiant la réponse.
Affirmation
L’équation x−cosx=0 admet une unique solution dans l’in-
tervalle 0 ; ı
2.
Exercice 3582
On considère les deux suites de nombres réels, unn∈N∗et
vnn∈N∗définies par :
un= sin 1
n2+ sin 2 n2+· · · + sin n n2
vn=1
n2+2 n2+· · · +n n2
1. Démontrer que la suite vconverge vers 1
2.
2. a. Démontrer que chacune des trois fonctions numé-
riques de la variable réelle :
x7−→ x−sin x;x7−→ −1 + x2
2+ cos x
x7−→ −x+x3
6+ sin x
ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l’in-
tervalle 0 ; +∞.
On pourra utiliser les variations de chacune de ces trois
fonctions.
b. Justifier que pour tout n⩾1:13+23+· · · +n3⩽n4.
Déduire du a. l’inégalité :
vn−1
6×1 n2⩽un⩽vnpour tout n∈N.
c. Démontrer que la suite uest convergente ; quelle est
sa limite ?
7. Primitive et intégrale :
Exercice 3932
Déterminer une primitive pour chacune des fonctions sui-
vantes :
a. f(x) = 5
xb. g(x) = ex+1 + 1
c. h(x) = 2·x·ex2+1 d. j(x) = cos x
e. k(x) = sin(3x)f. ‘(x) = sin x2
Exercice 5232
On considère les deux intégrales suivantes :
I=π
0cosx2dx;J=π 0sinx2dx
1. Calculer : I+J;I−J.
2. En déduire les valeurs de Iet de J.
Exercice 5282
On considère la suite xndéfinie pour tout entier naturel n
non nul par :
xn=1
0
tn·cos tdt
1. a. Montrer que la suite xnest à termes positifs.
b. Etudier les variations de la suite xn.
c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la
suite xn?
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul :
xn⩽1
n+ 1
b. En déduire la limite de la suite xn.
Exercice 6820
Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles.
Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bou-
teilles la forme représentée ci-dessous dans un repère ortho-
normé du plan.
La forme de ces étiquettes est délimitée par l’axe des abscisses
et la courbe Cd’équation y=a·cosxavec x∈−ı
2;ı 2et a
un réel strictement positif.
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Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les informa-
tions données aux acheteurs. On considère le disque de centre
le point Ade coordonnées 0 ; a
2et de rayon a 2. On admettra
que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe
Cpour des valeurs de ainférieurs à 1;4.
1. Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des
abscisses, les droites d’équation x=−ı
2et x=ı 2, et la
courbe Cest égale à 2·ad’unité d’aire.
2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du
disque soit égale à l’aire de la surface grisée. Quelle valeur
faut-il donner au réel apour respecter cette contrainte ?
a
O
Cf
−π
2
π
2
A
Exercice 6821
On considère les fonctions fet gdéfinies sur l’intervalle
0 ; 16par :
f(x) = ln x+1;g(x) = ln x+1+ 1 −cos(x)
Dans un repère O;−→ i;−→ j, on note Cfet Cgles courbes re-
présentatives des fonctions fet g.
Ces courbes sont données ci-dessous :
02 4 6 8 10 12 14 16
2
4
6
~
i
~
j
A
B
Cf
Cg
Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce gra-
phique.
8. Nombres complexes :
Exercice 5280
Soit les nombres complexes :
z1=2 + i·6;z2= 2 + 2·i;Z=z1
z2
1. Ecrire Zsous forme algébrique.
2. Donner les modules et les arguments de z1,z2et Z.
3. En déduire cos ı
12 et sin ı 12.
Exercice 5281
On considère l’équation (E)suivante : z2+2cosı
5·z+1=0
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en jus-
tifiant votre affirmation :
“L’équation (E)a deux solutions complexes de modules égaux
à1.”
9. Annales :
Exercice 5283
Le plan est rapporté à un repère orthogonal O;−→ i;−→ j. Soit
la fonction fdéfinie sur 0 ; +∞par :
f(x) = e−x·cos(4x)
et Γsa courbe représentative tracée dans le repère O;−→ i;−→ j
en fin d’exercice. Ce graphique sera complété au fur et à me-
sure de l’exericce.
On considère également la fonction gdéfinie sur 0;+∞par
g(x)=e−xet on nomme Csa courbe représentative dans le
repère O;−→ i;−→ j.
1. a. Montrer que, pour tout réel xappartenant à l’inter-
valle 0;+∞:
−e−x⩽f(x)⩽e−x
b. En déduire la limite de fen +∞.
2. Déterminer les coordonnées des points communs aux
courbes Γet C.
3. On définit la suite unsur Npar : un=fn·ı
2.
a. Montrer que la suite unest une suite géométrique.
En préciser la raison.
b. En déduire le sens de variation de la suite unet étu-
dier sa convergence.
4. a. Montrer que, pour tout réel xappartenant à l’inter-
valle 0;+∞:
f′(x) = −e−x·cos(4x)+4·sin(4x)
b. En déduire que les courbes Γet Cont même tangente
en chacun de leurs points communs.
5. Donner une valeur approchée à 10−1près par excès du
coefficient directeur de la droite Ttangente à la courbe
Γau point d’abscisse ı
2.
Compléter le graphique donné en y traçant Tet C.
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0
1 2 3 4
-1
1
~
i
~
j
255. Exercices non-classés :
Exercice 6823
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un es-
sai qui a été marqué au point E(voir figure ci-contre) situé
à l’extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de
pied depuis un point Tque le joueur a le droite de choisir
n’importe où sur le segment [EM ]perpendiculaire à la droite
(AB)sauf en E.
La transformation est réussi si le ballon passe entre les po-
teaux repérés par les points Aet Bsur la figure.
A
B
ETM
Terrain vu du dessus
Limite du terrain
Ligne m´ediane
x
Pour maximimser ses chances de réussite, le joueur tente de
déterminer la position du point Tqui rend l’angle
’
AT B le
plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une
position du point Tsur le segment [EM ]pour laquelle l’angle
’
AT B est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une va-
leur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note xla longueur ET , qu’on cherche
à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes :
EM = 50 m;EA = 25 m;AB =5;6m
On note ¸la mesure en radian de l’angle
’
ET A,˛la mesure
en radian de l’angle
’
ET B et ‚la mesure en radian de l’angle
’
AT B.
1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi
que les longueurs fournies, exprimer tan ¸et tan ˛en
fonction de x.
La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ; ı
2
par : tanx=sinx
cosx
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante
sur l’intervalle 0 ; ı
2.
3. L’angle
’
AT B admet une mesure ‚appartenant à l’inter-
valle 0 ; ı
2, résultat admis ici que l’on peut observer sur
la figure.
On admet que pour tous réels aet bde l’intervalle
0 ; ı
2:
tan a−b=tan a−tan b
1 + tan a×tan b
Montrer que : tan‚=5;6·x
x2+765
4. L’angle
’
AT B est maximum lorsque sa mesure ‚est maxi-
male. Montrer que cela correspond à un minimum sur
l’intervalle 0 ; 50de la fonction fdéfinie par :
f(x) = x+765
x
Montrer qu’il existe une unique valeur de xpour laquelle
l’angle
’
AT B est maximum et déterminer cette valeur de
xau mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle
’
AT B à
0;01 radian près.
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