Chapitre 11 : Puissances

Chapitre 11 : Puissances
Les puissances sont utilisées pour des nombres très grands (comme
900 000 x 900 000), les nombres très petits, et pour éviter de réécrire les
multiplications d’un même nombre (comme 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
1) Vocabulaire :
3  3 s’écrit 3² qui se lit « 3 puissance 2 » ou bien « 3 au carré ».
32 = 3 x 3 = 9.
On a aussi 3  3  3 = 33 qui se lit « 3 puissance 3 » ou « 3 au cube ».
33 = 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27.
C’est vrai pour n’importe quel nombre, qu’on peut appeler « a » :
a  a = a² qui se lit « a puissance 2 » ou bien « a au carré » ou bien encore
« a deux ». On a aussi :
a  a  a = a3
3 est appelé l’ exposant
35 = 3  3  3  3  3 l’exposant est 5.
l31 = 3 et a1 = a pour tout nombre a.

Remarques :
● Les calculatrices ont la touche « puissance » comme
x∎ ou lxn ou bien ^
On tape « 2 x∎ 3 = » pour trouver 23 = 8.
On obtient le même résultat en calculant 2 x 2 x 2.
● Attention, 23 = 2 x 2 x 2 n’est pas égal à 2 x 3 qui fait 6 !!
● Pour les nombres négatifs, les signes « – » s’éliminent deux à deux et les
parenthèses ne s’écrivent pas dans le résultat final :
(- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - (2 x 2 x 2) = - 23 qui est négatif. Par contre
(- 2)² = (- 2) x (- 2) = 2²
Une puissance paire d’un nombre négatif est un nombre positif.
Une puissance impaire d’un nombre négatif est un nombre négatif.
2) Exposant égal à zéro, exposant négatif :
Pour la puissance zéro, on ne peut pas utiliser la définition habituelle.
Il faut savoir qu’un nombre à la puissance zéro est égal à 1 :
l 30 = 1 et a0 = 1 pour tout nombre a différent de zéro.
Rappel : l’inverse de 4 est 1
4 qui se note aussi 4-1
L’inverse de 42 est 1
42 = 4-2
De même, pour tout nombre a différent de zéro, l’inverse de an est
1
an = a-n
Remarque : attention, le signe de l’exposant n’est pas le signe du nombre :
4-2 = 1
4² = 1 16 qui est positif.

3) Multiplication :
Lorsqu’on multiplie des puissances d’un même nombre, on ajoute les
exposants.
62  63 = 62+3 = 65 En effet, 62  63 = (66)  (666) = 65
De même, la2  a3 = a2 + 3 = a5 pour tout nombre a
On a aussi : (65)²= 6² 5²
En effet, (65)²= (65)  (65) = (66)  (55) = 6² 5²
De même pour deux nombres a et b
(a x b)² = a² x b² ce qui s’écrit aussi (ab)² = a²b²
Remarque : Les calculatrices donnent seulement l’écriture décimale, sans
puissance.
4) Division :
Lorsqu’on divise des puissances d’un même nombre, on soustrait les
exposants.
Exemple : 45
42 = 45-2 = 43
En effet, 45
42 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 x 1 = 4 x 4 x 4 1 = 4  4  4 = 43
On simplifie la fraction en barrant les mêmes nombres au numérateur et au
dénominateur. Cela revient à faire la même division. Quand tous les nombres
sont barrés, il reste toujours 1 car on peut toujours rajouter la
multiplication par 1 ( il ne reste surtout pas zéro !).
De même, pour tout nombre a différent de zéro : La5
a² = a5 – 2 = a3
Remarque : Lorsqu’on soustrait les exposants, on peut obtenir un exposant
négatif :
4²
45 = 42-5 = 4-3 En effet, 42 45 = 4 x 4 x 1 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1 444 = 1 43 = 4-3

5) Les puissances de 10 :
Ce sont les puissances le plus utilisées.
103 = 10  10  10 = 1 000 (il y a 3 zéros)
10-3 = 1
103 = 1 1 000 = 0, 001 (il y a 3 chiffres après la virgule)
101 = 10
100 = 1
103  102 = 103+2 = 105 (pour multiplier on ajoute les exposants)
106
102 = 106 – 2 = 104 (pour diviser on soustrait les exposants)
(103)2 = 103103 = 103+3 = 106 (avec des parenthèses on revient à la
définition)
On utilise des préfixes pour simplifier l’écriture de mesures exprimées en
puissance de 10 de certaines unités :
Préfixe
Giga
(milliards)
Méga
(millions)
kilo
unité
milli
micro
nano
Symbole
G
M
k
m
µ
n
10n
109
106
103
100 = 1
10-3
10-6
10-9
Exemples :
● une clé USB de 16 Go
16 Go = 16 x 109 octets = 16 milliards d’octets.
● 1 octet est un espace mémoire de 8 bits qui permet de représenter 28
nombres ou 256 caractères différents.

6) Notation scientifique :
On peut écrire un nombre décimal avec des puissances de 10 d’une infinité
de manières. Lorsque le nombre devant la puissance de 10 a un seul chiffre
sauf zéro devant la virgule, c’est la notation scientifique. Elle permet d’avoir
tous la même écriture pour un même nombre.
Exemples :
300 = 3  100
= l3  102
3 000 000 = 3  1 000 000
= l3  106
314 = 3,14  100
= l3,14  102
0,0314 = 3,14
100 = 3,14 102 = 3,14  1 102 = l3,14  10-2
314 x 103
= (3,14  102 ) x 103
= 3,14  (102 x 103 )
= l3,14  105
0,0314 x 105
= (3,14  10-2 ) x 105
= l3,14  103
Remarque : les calculatrices donnent l’écriture scientifique d’un nombre
( il faut être en mode SCI)