Statistique et probabilités : schéma de Bernoulli.

Statistique et probabilités : schéma de Bernoulli.
I
Épreuve de Bernoulli.
Vocabulaire.
* Dispositif expérimental : lancer une pièce truquée et noter le résultat obtenu.
* Une issue : pile ou face.
* L'univers de l'expérience : Ω = {pile ; f ace}.
* Un événement est impossible si sa probabilité est nulle : obtenir 4 est impossible.
* Un événement est certain si sa probabilité est 1 : obtenir pile ou face est
certain.
* Une expérience aléatoire (discrète et nie) peut être représentée par un arbre
probabiliste pondéré :
p
q =1−p
P
F
Dans ce cas l'arbre a un niveau et l'embranchement comporte 2 branches. Il y a
2 chemins.
Pour un arbre probabiliste la somme des probabilités des branches d'un même
embranchements vaut 1.
Dénition 1
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant exactement deux
issues : l'une est appelé succès et l'autre échec.
On note p la probabilité du succès. On dit alors que c'est une épreuve de
Bernoulli de paramètre p.
Simuler une épreuve de Bernoulli.
Programme sur le Ti82 (à télécharger) :
-1
II
Schéma de Bernoulli.
Exercice.
Exercice 1
Une urne contient trois boules : une rouge, une noire et une bleue. On tire une boule
au hasard, on la remet dans l'urne, puis on tire une autre boule au hasard. On admet que
tous les tirages d'une boule sont équiprobables.
1. Montrez en utilisant un arbre que la probabilité d'obtenir deux boules rouges (RR)
est 91 et que la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule qui ne l'est pas
est 29 .
2. On s'intéresse maintenant, pour chaque tirage, à l'obtention ou non de la boule
rouge et on représente la situation à l'aide de l'arbre ci-dessous, appelé arbre
pondéré .
2
3
1
3
R
1
3
Issues :
R
2
3
1
3
2
3
R
R
R
R
(RR)
(RR)
(RR)
(RR)
(a) Que signie R ? R ?
(b) À quelles probabilités correspondent les nombres 13 et 23 écrits sur les branches
de l'arbre pondéré ?
(c) Déterminez la règle permettant , à partir de l'arbre pondéré, de calculer les
probabilités obtenues à la question 1) et, plus généralement, les probabilités
des quatre issues de ce dernier arbre.
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Calculer une probabilité sur un arbre pondéré.
Rappelons quelques informations générales :
Dénition 2
Un arbre de probabilité est un graphe orienté de la racine vers les extrémités et
pondéré par les probabilités, dont la somme des probabilités d'un embranchement égale 1.
Le résultat sur les probabilités que nous exploiterons souvent :
Proposition 1
Lorsqu'on représente une expérience aléatoire par un arbre de probabilité la
probabilité d'une issue (et donc d'un chemin) est le produit des probabilités de
ce chemin.
Indépendance des expériences.
On dit que deux expériences aléatoires sont indépendantes lorsque les issues et
probabilités de l'une ne dépendent pas des issues et probabilités de l'autre.
Exemples :
1. Deux tirages successives de pile ou face sont indépendants.
2. Deux tirages successif dans un jeu de carte sans remise ne sont pas indépendants.
Schéma de Bernoulli.
Dénition 3
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition n fois d'une
même épreuve de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante.
Simuler un schéma de Bernoulli.
Exercice 2
Bernard est un adepte de ball-trap. Il tire successivement sur dix disques (les résultats
des dix tirs sont indépendants les uns des autres). Pour chaque tire la probabilité que
Bernard atteigne le disque est égale à 0,6.
Fichier excel à compléter
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1. Complétez les cellules du tableur expliquant pourquoi on a un schéma de Bernoulli
en précisant ses paramètres :
(a) Indiquez en B1 l'expérience que l'on conservera comme épreuve de Bernoulli.
(b) Indiquez en B2 une phrase décrivant ce qu'est un succès pour cette épreuve
de Bernoulli.
(c) Indiquez en B3 le nombre de fois qu'est répétée cette épreuve.
(d) Complétez les égalités en B4 et D4.
2. Le tableur génère des nombres aléatoires compris entre 0 et 1 avec la commande :
=ALEA()
Entrez cette commande en cellule B7, puis appuyer plusieurs fois sur la touche F9.
3. Le test conditionnel sur le tableur se fait avec la commande SI.
(a) Entrez en cellule F4 :
=SI(B3=10;"vrai";"faux")
puis expliquez le rôle de cette commande.
(b) En combinant les fonctions SI et ALEA du tableur entrez en B9 une formule
simulant le tir de ball-trap et achant Succès ou Échec.
4. Simulez avec le tableur les 10 tirs de ball-trap.
5. Dans un schéma de Bernoulli ce qui nous intéresse c'est le nombre de succès obtenus.
Pour cela entrez en B20 la commande :
=NB.SI(B9:B18;"Succès")
puis expliquez son rôle.
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