1ere is math partie 2

CINQUIÈME PARTIE
ANALYSE
Chapitre 1 : Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 2 : Limites
Chapitre 3 : Continuité et dérivation
Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Chapitre 5 : Calcul intégral
F. Colacito – ANALYSE – TC – 1
Chapitre 1 : Fonctions d’une variable réelle
I.
Nombres réels
L’ensemble des nombres réels est noté  (nous admettons son existence).
Lorsque l’ensemble  est muni de deux opérations – l’addition   et la multiplication   
– et d’une relation d’ordre total   , on le note ,  ,  ,  .
1.
Structure de 
L’ensemble ,  ,  ,  est un corps ordonné. Autrement dit,
 ,  est un groupe commutatif :
(1) x, y  , x  y 
(2) x, y, z  , ( x  y)  z  x  ( y  z)
(3) x, y  , x  y  y  x
(4)  contient un élément neutre pour l’addition : x  ,
(5)  contient l’opposé de chacun de ses éléments :
si x , alors ( x)   et x  ( x)  0  ( x)  x
x0  x  0 x
 \ 0 ,  est un groupe commutatif :
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
x, y  , x  y  
x, y, z  , ( x  y)  z  x  ( y  z)
x, y  , x  y  y  x
 contient un élément neutre pour la multiplication : x  ,
\ 0 contient l’inverse de chacun de ses éléments :
1
1
1
si x \ 0 , alors  \ 0 et x   1   x
x
x
x
x 1  x  1 x
 La multiplication est distributive sur l’addition :
(11) x, y, z  ,
z  ( x  y)  z  x  z  y
 La relation d’ordre vérifie :
(12)
(13)
(14)
(15)
x, y  , x  y
x, y, z  , x 
x, y, z  , x 
x, y, z  , x 
ou y  x
y et y  z  x  z
y  xz  yz
y et 0  z  x  z  y  z
F. Colacito – ANALYSE – TC – 2
2.
Remarque
La relation  se lit « plus petit ou égal à». D’autres relations sont définies à partir de
celle-ci :
 La relation « plus grand ou égal à», notée  : x  y  y  x .
 La relation « plus petit que », notée  : x  y  x  y et x  y .
 La relation « plus grand que », notée  : x  y  x  y et x  y .
3.
Propriétés d’Archimède
3.1.Propriété 1
Si a et b sont des réels tels que a  0 et b  0 , alors il existe un naturel n tel que
a  nb .
3.2.Propriété 2
Si a , alors il existe un unique entier n tel que n  a  n  1 .
L’entier n est appelé partie entière de a, et noté E a  ou a  .
4.
Sous-ensembles de 
4.1.Sous-ensembles particuliers



+ = x   : x  0
- = x   : x  0
 0 = x   : x  0


 0 = x   : x  0
 0 = x   : x  0
4.2.Intervalles de 
Soit a et b deux réels tels que a  b .

a, b  x   : a  x  b : intervalle fermé

a, b  x   : a  x  b : intervalle ouvert

a, b  x   : a  x  b : intervalle mixte

a, b  x   : a  x  b

a,  x   : a  x

a,  x   : a  x

 , b  x   : x  b

 , b  x   : x  b

 ,  












Intervalles bornés
(voir pt.5)
Intervalles non bornés
(voir pt. 5)
F. Colacito – ANALYSE – TC – 3
4.3.Voisinages



5.
Soit a. Le sous-ensemble V de  est un voisinage du point a si V est (ou contient) un
intervalle ouvert contenant a. Notons V (a) l’ensemble des voisinages de a.
Le sous-ensemble V de  est un voisinage de   s’il existe un réel A tel que V égale
(ou contient) l’intervalle A, . Notons V (   ) l’ensemble des voisinages de   .
Le sous-ensemble V de  est un voisinage de   s’il existe un réel A tel que V égale
(ou contient) l’intervalle  , A . Notons V (   ) l’ensemble des voisinages de   .
Majoration – Minoration
5.1. définitions
Soit P une partie de .
5.1.1. Partie majorée – Majorant : la partie P est dite majorée s’il existe un réel M tel que
x  M pour tout xP. On dit que M est un majorant de P.
5.1.2. Partie minorée – Minorant : la partie P est dite minorée s’il existe un réel m tel que
x  M pour tout xP. On dit que m est un minorant de P.
5.1.3. Partie bornée : la partie P est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
5.1.4. Borne supérieure : si P est majorée, alors la borne supérieure de P est, s’il existe, le
plus petit majorant de P. Autrement dit, M est la borne supérieure de P si et seulement si
 x  P, x  M
   0, x  P, M    x  M
5.1.5. Borne inférieure: si P est minorée, alors la borne inférieure de P est, s’il existe, le
plus grand minorant de P. Autrement dit, m est la borne inférieure de P si et seulement si
 x  , x  m
   0, x  P, m  x  m  
5.2.Théorème
Toute partie non vide majorée (respectivement minorée) de  admet une borne supérieure
(respectivement inférieure).
5.3.Exemples
5.3.1. L’intervalle P1   ,2 est majoré. Sa borne supérieure est M = 2. Cet intervalle n’est
pas minoré.
5.3.2. L’intervalle P2  0, est minoré. Sa borne inférieure est m = 0. Cet intervalle n’est
pas majoré.
5.3.3. L’intervalle P3  0,2 est borné. Sa borne supérieure est M = 2 et sa borne inférieure
est m = 0.
1


5.3.4. L’ensemble P4   x  1  ; n naturel non nul  est borné. Sa borne supérieure est
n


M = 1 et sa borne inférieure est m = 0.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 4
Fonctions d’une variable réelle
II.
6.
Définition
Une fonction f de la variable réelle x définie sur une partie P de  est une application de P dans
. La partie P est appelée domaine de définition de f. La fonction f associe à chaque x  P un
nombre réel noté f x  .
Notations :
 Le domaine de définition de f est noté dom f  .
 Pour décrire une fonction f, nous noterons f : dom f    : x  f x 
 La fonction f restreinte à la partie A de  est notée f A .
Cette fonction est définie pour tout x  A  dom f  par f A x   f x  .
Exemples :
7.

f :   : x  x2 1

g : \ 2,3   : x 

h :  2,2   : x 
1
x  5x  6
sin x
2
4  x2
Opérations sur les fonctions
Soit f : dom f    : x  f x  et g : domg    : x  g x  . On définit :
f
 g  : dom f   domg    : x  f x   g x 
f
 g  : dom f   domg    : x  f x   g x 
 f  g  : dom f   domg    : x  f x  g x
f
f x 
  : dom f   x  domg  : g ( x)  0   : x 
g x 
g
 f  g  : x  domg  : g x  dom f    : x  f g x
Exemple :
Si f x  
1
et g x   x 2  1 , alors dom f  =  0 , domg    et
x
g
 f  g  :  0 → : x  1  x 2  1
  :  0 → : x  x x 2  1
x
f
1
 f  g  :  0 → : x   x 2  1
 f  g  : → : x  21
x
x 1
1
 f  g  :  0 → : x  x 
g  f  :  0 → : x  12  1
x
x
f
1
  :  0 → : x 
x x2 1
g




F. Colacito – ANALYSE – TC – 5
8.
Graphique
La représentation graphique (ou graphique ) d’une fonction f dans un plan muni d’un
système de coordonnées cartésiennes orthogonal est la courbe C f d’équation y  f x 
c’est-à-dire l’ensemble de points C f  Px, y  : x  dom f  et y  f x 
Exemples :
y  x2 1
f( x )
10
y
1
x
10
g( x )
5
0
10
0
x
9.
x
Parité
9.1. Une fonction f est dite paire si


dom f  est symétrique par rapport à 0 ( x  dom f    x  dom f  )
x  dom f  : f  x   f (x)
9.2.Une fonction f est dite impaire si


dom f  est symétrique par rapport à 0
x  dom f  : f  x    f (x)
Si f est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’axe oy.
Si f est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine des axes.
10. Fonction périodique
Soit T un réel strictement positif. La fonction f est périodique de période T si
x  dom f , k  , x  kT   dom f  et f ( x  k.T )  f ( x) .
Le nombre T n’est pas nécessairement la plus petite période. On note T0 la plus petite
période, lorsqu’elle existe.
Exemples :
f : x  sin x a pour plus petite période T0  2 .
f : x  sinax ; a  0 a pour plus petite période T0 
2
a
F. Colacito – ANALYSE – TC – 6
11. Fonction majorée – minorée – bornée
Soit f une fonction et A  dom f  .
La fonction f est majorée sur A si l’ensemble  f x  : x  Aest majoré (déf.5.1).
11.1.
11.2.
(déf.5.1).
La fonction f est minorée sur A si l’ensemble  f x  : x  Aest minoré
11.3.
La fonction f est bornée sur A si elle est majorée et minorée.
11.4.
Si f est majorée sur A, alors la borne supérieure de f est le plus petit majorant
de  f x  : x  A. La borne supérieure de f sur A est notée sup f et est telle que
xA
 x  A, f (x)  sup f
xA
   0, x  A, sup f    f ( x)  sup f
xA
11.5.
xA
Si f est minorée sur A, alors la borne inférieure de f est le plus grand minorant
de  f x  : x  A. La borne inférieure de f sur A est notée inf f et est telle que
xA
 x  A, f (x)  inf f
xA
   0, x  A, sup f  f ( x)  inf f  
xA
xA
Exemples :
La fonction f : x  sin x est bornée sur , sup f  1 et inf f  1 .
xR
xR
La fonction f : x  1  x 2 est bornée sur  1,1 , sup f  1 et inf f  0 .
x1,1
La fonction f : x 
x1,1
1
est minorée sur  et inf f  0 mais n’est pas majorée.
xR
x2
F. Colacito – ANALYSE – TC – 7
12. Exercices
12.1.
Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes.
x  x 2  5x  6 ( )
1
(\ 2,3)
x 2
x  5x  6
x
x
x 2  5 x  6 (  ,2  3, )
1
(  ,2  3, )
x 2  5x  6
x 2  5x  6
x
1
x
x
x
x 2  5x  6
1
4 x
2
x
1
4  x2
1
(+ \ 4)
x 2
1
1
(  1, \ 0 )
x 
x
x 1
()
x   x (- )
(\ 2,3)
x
(  2,2 )
(\  2,2)
x
x 1
(  ,1  1, )
x 1
x 1
x 1
( 1, )
12.2.
Soit f : x  1  x 2 et g : x  sin 2 ( x) .
 Déterminez le domaine de définition de f et g.
 Écrivez les fonctions f  g , g  f , f  f et g  g et déterminez leur
domaine de définition.
12.3.
Soit f : x  4  x 2
12.3.1. Déterminez le domaine de définition de f.
12.3.2. Écrivez explicitement les fonctions g 1 à g 9 , déterminez le domaine de définition
et représentez le graphique de ces fonctions.
g1 ( x)   f x  ; g 2 ( x)  f  x  ; g 3 ( x)  f x   1 ; g 4 ( x)  f x   1 ; g 5 ( x)  f x  1 ;
1
g 9 ( x) 
g 6 ( x)  f x  1 ; g 7 ( x)  2 f x  ; g 8 ( x)  f 2 x  ;
.
f x 
12.4.
Les fonctions suivantes sont-elles paires ? Impaires ?
x3  x
x3  x5
x3  x
sin x
f
:
x

f
:
x

f4 : x 
;
;
;
;
2
3
2
3
x
x 1
x 1
x x
f5 : x  x  x2 ;
f6 : x  x  x2 ;
f7 : x  x3  x  2 .
f1 : x 
12.5.
Soit f une fonction périodique de plus petite période T0  4 . Les fonctions
suivantes sont-elles périodiques ? Si oui, quelle est la plus petite période ?
g1 ( x)  f 2 x  ;
;
g 5 ( x)  f  x   2 ;
1
g 8 ( x) 
.
f x 
g 2 ( x)  2 f  x  ;
g 6 ( x)  f  x   x ;
 x
g 3 ( x)  f   ; g 4 ( x)  f 3x  2
 3
g 7 ( x)  x  f  x  ;
F. Colacito – ANALYSE – TC – 8
Chapitre 2 : Limites
1. Point d’accumulation
Soit E une partie non vide de . Un réel a est un point d’accumulation de E s’il existe des
points de E aussi proches que l’on veut de a et différents de a.
Nous allons préciser cette définition et l’étendre à   et   .
1.1. Point d’accumulation : cas d’un réel a
Soit E   et a . Le réel a est un point d’accumulation de E
si et seulement si
  0,  x  E, x  a : x  a  
si et seulement si   0 : a   , a    /a  E  
1.2. Exemple

E    2,1  1,
Tout élément de E est un point d’accumulation de E ; -2 et 1 sont également des points
d’accumulations de E.
0 ; -0,5 ; -2,1 ;… ne sont pas des points d’accumulations de E.
1.3. Point d’accumulation : cas de   ou  
Soit E  .


  est un point d’accumulation de E
M  0,  x  E : x  M
si et seulement si
  est un point d’accumulation de E
si et seulement si
m  0,  x  E : x  m
2. Limite – définition générale
Soit f : dom f  , a et b réels ou infinis. Nous supposons que a est un point d’accumulation
de dom f.
Nous dirons que la limite de f (x) lorsque x tend vers a égale b si et seulement si nous
pouvons rendre la valeur de f (x) arbitrairement proche de b (aussi proche que nous voulons
de b) en prenant x suffisamment poche de a et différent de a. Nous notons alors
lim f ( x)  b
x a
ou
lim f ( x)  b
x a
domf
Nous pouvons formuler cette définition en termes de voisinages.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 9
2.1. Définition générale
Soit f, a et b comme ci-dessus.
lim f ( x)  b
x a
si et seulement si
V  V (b), W  V (a) : f ( x)  V chaque fois que x  (W /a)  dom f
2.2. Théorème (sans démonstration)
Si lim f ( x) existe, alors cette limite est unique.
xa

Remarque : désormais, lorsque nous écrivons lim f ( x) , il est sous-entendu que a est un
xa
point d’accumulation du domaine de f.
Dans les paragraphes suivants, nous distinguons les limites finies (b) des limites
infinies b   car les règles de calcul diffèrent selon la nature de b. La définition de
lim f ( x)  b sera également adaptée aux valeurs réelles ou infinies de a. Les voisinages de a
x a
(ou b) seront remplacés par des intervalles ouverts centrés en a (ou b) ou des intervalles de la
forme A, ou   , A .
3. Limites finies
Soit f : dom f  . Dans le paragraphe suivant, tous les x  a considérés sont dans dom f.
3.1. Définitions

a et b :
lim f ( x)  b
x a
si et seulement si
  0,    0 : 0  x  a   


f ( x)  b  
a   et b   :
lim f ( x)  b
x 
si et seulement si
  0,  A  0 : x  A  f ( x)  b  

a   et b :
lim f ( x)  b
x 
si et seulement si
  0,  A  0 : x  A  f ( x)  b  
F. Colacito – ANALYSE – TC – 10
3.2. Propriétés des limites finies – Règles de calcul
Soit f : dom f  , g : dom g   et h : dom h  
(a) Si lim f ( x)  b  , lim g ( x)  c  et si  , alors
x a
3.2.1. lim
x a
x a
3.2.4. lim  f ( x)  g ( x)   b  c
f ( x)  b
x a
3.2.2. lim  f ( x)  g ( x)   b  c
f
 b
3.2.5. lim  ( x)   , si c  0
x a g

 c
x a
3.2.3. lim f ( x)  b
x a
(b) S’il existe un voisinage V de a tel que g ( x)  f ( x)  h( x) pour tout x  V /a et
si lim g ( x)  lim h( x)  b , alors
x a
x a
lim f ( x)  b .
x a
(c) Si lim f ( x)  b  et si lim g ( x)  c , alors
x a
x b
lim g ( f ( x))  c
x a
En particulier, lim ( f ( x)) n  b n , pour tout n .
x a
3.3. Limites des fractions rationnelles
3.3.1. a  ,  k : lim x k  a k
x a
3.3.2. Si P(x) est un polynôme de degré n quelconque, alors lim P( x)  P(a)
x a
3.3.3. Si P(x) et Q(x) sont des polynômes de degrés n et m quelconques et si Q(a)  0 ,
P( x) P(a)

alors lim
x a Q( x)
Q( a )
3.4. Théorème
Si lim f ( x)  0 et s’il existe un voisinage V de a tel que g (x) soit une fonction bornée
x a
sur V /a, alors lim ( f ( x)  g ( x))  0 .
x a
3.5. Limites sur des sous-ensembles de dom f
Si E est une partie de dom f et si a est un point d’accumulation de E, alors lim f ( x) désigne
xa
E
la limite de f (x) lorsque x tend vers a en restant dans E.
Rappelons que lorsqu’il n’est rien indiqué sous " lim" , cela signifie que x tend vers a en
x a
variant dans dom f.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 11
3.5.1. Théorème
Si lim f ( x)  b , si E  dom f et si a est un point d’accumulation de E, alors lim f ( x)  b
x a
x a
E
3.5.2. Corollaire
Soit E  dom f, E   dom f, a un point d’accumulation de E et de E  .
Si lim f ( x)  b , lim f ( x)  c et si b  c , alors lim f ( x) n’existe pas.
x a
E
x a
xa
E
3.5.3. Cas particulier : limite à droite et limite à gauche

Si E  x  dom f
x  a, alors la limite lim f ( x) est appelée
xa
E
limite à gauche de f(x) en a et est notée lim f ( x) .
x a


Si E  x  dom f
x  a, alors la limite lim f ( x) est appelée
xa
E
limite à droite de f(x) en a et est notée lim f ( x) .
x a

4. Limites infinies
Soit f : dom f  . Dans le paragraphe suivant, tous les x  a considérés sont dans dom f.
4.1. Définitions
a et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  R  0 : 0  x  a   R   f ( x)  R
a   et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  AR  0 : x  AR  f ( x)  R
a   et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  AR  0 : x  AR  f ( x)  R
a et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  R  0 : 0  x  a   R   f ( x)  R
a   et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  AR  0 : x  AR  f ( x)  R
a   et b   :
lim f ( x)   si et seulement si
R  0,  AR  0 : x  AR  f ( x)  R

x a

x 

x 

x a

x 

x 
F. Colacito – ANALYSE – TC – 11
4.2. Propriétés des limites infinies – Règles de calcul
Soit f : dom f   , g : dom g   et a réel ou infini.
4.2.1. Si lim f ( x)   , alors lim ( f ( x))  
x a
x a
4.2.2. Si lim f ( x)   et si k , alors lim ( f ( x)) k  
x a
x a
4.2.3. Si lim f ( x)   ou   , alors lim f ( x)  
x a
x a
1
0
x a
f ( x)
4.2.5. Si lim f ( x)   et lim g ( x)  c  ou   , alors lim  f ( x)  g ( x)  
4.2.4. Si lim f ( x)   ou   , alors lim
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
4.2.6. Si lim f ( x)   et lim g ( x)  c  ou   , alors lim  f ( x)  g ( x)  
4.2.7. Si lim f ( x)   et lim g ( x)  c  0 ou   , alors lim  f ( x)  g ( x)  
x a
4.2.8. Si lim f ( x)   ou   et lim g ( x)  c ,alors lim
x a
x a
x a
g ( x)
0
f ( x)
4.3. Formes indéterminées
Si la forme de la fonction dont on calcule la limite en a ne satisfait aucune des hypothèses des
propriétés 4.2. ou du point 3., alors la limite ne peut pas être déterminée immédiatement. Il
s’agit d’une forme indéterminée. Par exemple, la limite
x2 1

est une forme indéterminée du type . Pour la calculer (la déterminer), nous
x 
x

2
x 1
x2 1
1
devons transformer l’expression
: lim
= lim x    (4.2.4. et 5.2.5.)
x 
x 
x
x
x
lim
Nous rencontrerons ces différents types de formes indéterminées : (  désigne   ou   )

;


     ;
0 ;
0
;
0
Cas particulier : limite en   ou   d’un quotient de deux polynômes
Soit P(x) un polynôme de degré m, Q(x) un polynôme de degré n, et f ( x) 
P( x)
. On a :
Q( x)


0 si m  n

lim f ( x)  
  ou   si m  n
x  
 coefficien t de x m dans P
si m  n

n
 coefficien t de x dans Q
F. Colacito – ANALYSE – TC – 12

Rassemblons les observations des points 4.2. et 4.3. dans le tableau ci-dessous (b est réel, a
est réel ou infini).
lim f ( x)
lim g ( x)
lim ( f ( x))
lim ( f  g )( x)
lim ( f  g )( x)
lim ( f  g )( x)
f
lim  ( x)
xa g
 
g
lim  ( x)
xa f
 

b0





0

0


F.I.
  ,   ou
0

b0




0



F.I.

F.I.
F.I.


F.I.


F.I.
F.I.
0
0
0
0
0
F.I.
F.I.
0
b0
b
-b
0
0
  ,   ou
x a
x a
x a
x a
0
x a
x a
n’existe pas
n’existe pas
Exercices
 Première série. Calculez, si cela est possible :
2 x 2  3x
1. lim
x 0
6x
3
2x  x 2
2. lim
1 2x  1
x
7.
8.
2
3.
4.
5.
6.
4 x 2  16
lim
x 2 2 x  4
x 2  5x  6
lim 2
x 3 x  x  6
x4 2
lim
x 0
x
3
2 x  x 2  3x  2
lim
x 
1  x3
9.
10.
11.
2 x 3  x 2  3x  2
lim
x 
1 x4
3
2 x  x 2  3x  2
lim
x 
1 x2
2x  3
lim
x  
x2 1
2x  1
lim 2
x 1 2 x  x  1
x2  x4
lim
x 0
x
12. lim
x 0
13. lim
x 0
14. lim
x 0
1
x2  4
x
x2  4
x 2  16
15. lim
x 0
x3
x 2  16
16. lim
x  3
x3
x2  x4
x2
Solutions
1
1
1
1
; 2)
; 3) 8 ; 4)
; 5)
; 6) – 2 ; 7) 0 ;
2
4
5
4
8) en   :   ; en   :   ; 9) en   : 2 ; en   : – 2 ;
10) lim f ( x) =   ; lim f ( x) =   ; 11) lim f ( x)  1 , lim f ( x)  1 ; 12)  
1)
x  1

13)
1
2
x  1

; 14) 0 ; 15)
x 0

4
3
x 0

; 16) lim f ( x) =   ; lim f ( x) =  
x  3

x  3

F. Colacito – ANALYSE – TC – 13
5. Branches infinies – Directions asymptotiques – Asymptotes
5.1. Branches infinies : définitions
5.1.1. On dit que la courbe y  f (x) admet une branche infinie lorsque x tend vers a ()
si l’une au moins des situations suivantes est vérifiée :
lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   .
x a
x a


x a
x a
x a


x a
5.1.2. On dit que la courbe y  f (x) admet une branche infinie lorsque x tend vers  
(respectivement   ) si   (respectivement   ) est un point d’accumulation de
dom f.
5.2. Asymptote verticale : définition
Si la courbe y  f (x) admet une branche infinie pour x tendant vers a (), alors la droite
d’équation x  a est appelée asymptote verticale à la courbe d’équation y  f (x) .
5.3. Asymptote horizontale : définition
Supposons que la courbe y  f (x) admette une branche infinie lorsque x tend vers   .
Si lim f ( x)  A  alors la droite d’équation y  A est appelée asymptote horizontale à la courbe
x 
d’équation y  f (x) en   . (Définition analogue en   ).
5.4. Asymptote oblique : définition
Supposons que la courbe y  f (x) admette une branche infinie lorsque x tend vers   et que
lim f ( x)   ou   .
x 
S’il existe un réel p et un réel m  0 tels que lim  f ( x)  mx  p   0 , alors la droite d’équation
x 
y  mx  p est appelée asymptote oblique à la courbe y  f (x) en   .
(Définition analogue en   ).
5.5. Direction asymptotique : définition
On dit que la courbe y  f (x) admet une direction asymptotique de pente m lorsque x tend
f ( x)
vers   si lim
 m . (Définition analogue en   ).
x 
x
5.6. CNS d’existence d’une asymptote oblique
lim
Si
x 
f ( x)
 m 0
x
et
lim ( f ( x)  mx)  p ,
x 
alors la courbe y  f (x) admet l’asymptote oblique d’équation y  mx  p en   .
(Définition analogue en   ).

Exercices : voir cours.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 14
Chapitre 3 : CONTINUITE ET DERIVATION
I.
Continuité
1. définition
Soit f : dom f   et a () un point d’accumulation de dom f.
La fonction f est continue en a si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1.1. a  dom f
1.2. lim f ( x)  f (a)
x a
La fonction f est continue sur E (dom f) si f est continue en chaque point a de E.
2. Exemples

1  x si x  1
2.1. La fonction f ( x)  
n’est pas continue en –1 ni en 1 car les limites
x
si
x

1


lim f ( x) et lim f ( x) n’existent pas. Cette fonction est continue sur  \  1,1 .
x 1
x1
2.2. La fonction f ( x) 
2x 2  4x
n’est pas continue en (–2) car elle n’est pas définie en (–2).
x2
 2x 2  4x
si x  2

2.3. La fonction f ( x)   x  2
n’est pas continue en (–2) car lim f ( x)  4  0 .
x 2
0 si x  2


 x si x  1
2.4. La fonction f ( x)  
est continue sur .
2

x
si
x

1


3. Propriétés
3.1. Si les fonctions f et g sont continues en a, alors les fonctions (f+g), (f-g) et (f.g) sont
f 
continues en a. Si de plus g(a)  0, alors la fonction   est continue en a.
g
3.2. Si la fonction f est continue en a et si la fonction g est continue en f(a), alors la fonction (g
 f) est continue en a.
Ces résultats découlent de la définition de fonction continue et des propriétés des limites finies.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 15
II.
Dérivation
1. Taux de variation et tangente
Considérons une fonction f continue en a et le graphe de f : x, y  tels que x  domf et y  f ( x) .
Lorsque x varie de a à x1, la quantité y varie de f(a) à f(x1). Notons x la variation de x et y la
variation de y : x = x1-a et y = f(x1) - f(a).
Le quotient
y f ( x1 )  f (a)

x
x1  a
est appelé taux de variation moyen de y par rapport à x sur l’intervalle [a,x1].
Ce taux est la pente de la droite d passant par les points P(a, f(a)) et Q(x1, f(x1)).
Nous pouvons envisager les taux de variation moyens sur des intervalles de plus en plus petits en
faisant tendre x1 vers a c’est-à-dire x vers 0. La limite de ces taux, lorsqu’elle existe, est appelée
taux de variation instantané de y par rapport à x en a.
Nous dirons donc que le taux de variation instantané de y par rapport à x en a est lim
x a
f ( x)  f (a)
,
xa
lorsque cette limite existe au sens des limites finies.
Ce taux permet de définir une droite particulière : la tangente à la courbe d’équation y  f (x) au
point P(a, f(a)).
Définition : la droite tangente à la courbe y  f (x) au point P(a, f(a)) est la droite qui passe par P et
f ( x)  f ( a )
de pente m  lim
, lorsque cette limite existe. Si c’est le cas, cette droite tangente a
x a
xa
pour équation
T( a, f ( a ))  y  f (a)  m( x  a)
Illustration : voir cours.
2. Dérivées
2.1. Définition
Soit f : dom f   et a ( dom f) un point d’accumulation de dom f.
. La dérivée de f en a, notée f ' (a) , est la limite
f ' (a)  lim
x a
f ( x)  f (a )
xa
pour autant que cette limite existe au sens des limites finies. Si c’est le cas, on dit que f est
dérivable en a.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 16
2.2. Remarques
f ( a  h)  f ( a )
h 0
h
2.2.2.
Lorsque f est dérivable en a, f ' (a) est la pente de la tangente à la courbe
d’équation y  f (x) au point P(a, f(a)). C’est aussi le taux de variation instantané de y
par rapport à x en a.
2.2.1.
Nous pouvons également écrire f ' (a)  lim
2.3. Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point de l’ensemble E(), alors la fonction dérivée de f sur E, notée
f ' ( x) , est définie par
f ( x  h)  f ( x )
f ' ( x)  lim
h 0
h
Autres notations : Si y  f (x) , la fonction dérivée de f ou dérivée de f est également notée
y' ou
dy
dx
ou
d
f ( x) ou
dx
df
( x) ou
dx
Df ( x)
2.4. Propriétés
f 
Si les fonctions f et g sont dérivables , alors les fonctions (f+g), (f-g), (f.g),   et (g  f) sont
g
dérivables et
 f  g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
 f  g ' ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
'
f
f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
  ( x) 
g 2 ( x)
g
g  f ' ( x)  g '  f ( x)  f ' ( x)
Ces règles de dérivation découlent de la définition de dérivée et des propriétés des limites finies.
2.5. Théorème
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Démonstration : voir cours.
3. Approximations affines de f
Toutes les fonctions de cette section sont supposées dérivables sur leur domaine.
3.1. Approximations affines
Observation : Les points de la courbe y  f (x) « proches » du point P(a, f(a)) sont également
« proches » de la tangente à la courbe au point P(a, f(a)).
Nous allons exploiter cette observation pour calculer des valeurs approchées de f(x) lorsque x est
« proche » de a.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 17
L’équation de la tangente à la courbe y  f (x) est :
T( a , f ( a ))  y  f (a)  f ' (a).( x  a)
Si x est dans un voisinage de a, nous avons :
f ( x)  f (a)  f ' (a).( x  a)
La fonction f (a)  f ' (a).( x  a) est appelée approximation affine ou approximation du
premier degré de f en a.
Exemples : voir cours.
3.2. Différentielles de f
Précisons d’emblée qu’une fonction dérivable ne possède pas une mais des différentielles. Nous
associons en effet une différentielle à chaque point de la courbe y  f (x) .
Plus précisément, la différentielle de f en a est la fonction linéaire L définie plus haut :
df a ( x)  f ' (a).x
Cette fonction n’ayant d’intérêt que dans des « petits » voisinages de a, nous changeons de
variable et passons à x  x  a :
df a (x)  f ' (a).x
Grâce à l’utilisation de cas particuliers et de changements de notations, les différentielles de f
s’écrivent :
df  f ' ( x).dx
Exemples : voir cours.
Propriétés
d  f  g   df  dg
d  f  g ( x)  df  g  f  dg
 f  df  g  f  dg
d   
g2
g
d g  f   dg  f   df
Il suffit d’appliquer les propriétés 2.4. pour obtenir ces règles de calcul.
III.
Propriétés globales des fonctions continues
Convention : nous dirons que f est continue sur l’intervalle a, b si f est continue sur a, b ,
continue à droite en a et continue à gauche en b.
1. Théorème des valeurs intermédiaires (sans démonstration)
Si la fonction f est continue sur l’intervalle a, b , alors f atteint au moins une fois toute valeur
comprise entre f(a) et f(b) lorsque x parcourt a, b ; autrement dit , en supposant f(a) < f(b) :
c   f (a), f (b)  x0  a, b : f ( x0 )  c
F. Colacito – ANALYSE – TC – 18
Application. Ce théorème permet de calculer des valeurs approchées de racines de l’équation
f ( x)  c; c  a, b .
2. Définitions : maxima et minima
Soit f une fonction définie sur l’intervalle a, b .
 La fonction f présente un maximum relatif en c  a, b s’il existe un voisinage Vc de c
tel que f (c)  f ( x) pour tout x dans Vc  a, b .
 La fonction f présente un minimum relatif en c  a, b s’il existe un voisinage Vc de c
tel que f (c)  f ( x) pour tout x dans Vc  a, b .
 La fonction f admet un maximum absolu en c  a, b si l’inégalité f (c)  f ( x) est
vraie pour tout x dans a, b .
 La fonction f présente un minimum absolu en c  a, b si l’inégalité f (c)  f ( x) est
vraie pour tout x dans a, b .
3. Théorème des bornes atteintes (sans démonstration)
Si la fonction f est continue sur l’intervalle fermé a, b , alors f est bornée sur a, b et atteint
ses bornes c’est-à-dire admet un maximum absolu et un minimum absolu en des points de a, b .
IV.
Propriétés globales des fonctions dérivables
1. Théorème des accroissements finis
Si la fonction f est continue sur l’intervalle a, b et dérivable sur a, b , alors il existe au moins
un point c de a, b tel que
f (b)  f (a)  (b  a). f ' (c)
Interprétation géométrique : voir cours.
2. Définitions : fonctions monotones (c’est-à-dire croissantes ou décroissantes)
Soit f une fonction définie sur l’intervalle a, b .
 La fonction f est croissante sur a, b si f ( x)  f ( y) chaque fois que x  y dans a, b .
 La fonction f est décroissante sur a, b si f ( x)  f ( y) chaque fois que x  y dans
a, b .
 La fonction f est strictement croissante sur a, b si f ( x)  f ( y) chaque fois que x  y
dans a, b .
 La fonction f est strictement décroissante sur a, b si f ( x)  f ( y) chaque fois que
x  y dans a, b .
F. Colacito – ANALYSE – TC – 19
3. Théorème : croissance des fonctions dérivables
Soit f une fonction continue sur l’intervalle a, b et dérivable sur a, b . Cette fonction est :
 constante sur a, b si f ' ( x)  o en tout point x de a, b ;
 croissante sur a, b si f ' ( x)  o en tout point x de a, b ;
 décroissante sur a, b si f ' ( x)  o en tout point x de a, b ;
 strictement croissante sur a, b si f ' ( x)  o en tout point x de a, b ;
 strictement décroissante sur a, b si f ' ( x)  o en tout point x de a, b .
4. Maxima et minima des fonctions dérivables
4.1. Théorème 1 : condition nécessaire d’existence d’un extremum
Si la fonction f est dérivable sur l’intervalle a, b et admet un maximum ou un minimum relatif
au point c  a, b , alors f ' (c)  0 .
4.2. Théorème 2 : condition suffisante d’existence d’un extremum
Soit la fonction f dérivable sur l’intervalle a, b et soit c  a, b tel que f ' (c)  0 .
c    x  c  f ' ( x)  0
 S’il existe un réel   0 tel que 
,
c  x  c    f ' ( x)  0
alors la fonction f présente un maximum relatif en c.

c    x  c  f ' ( x)  0
S’il existe un réel   0 tel que 
,
c  x  c    f ' ( x)  0
alors la fonction f présente un minimum relatif en c.
4.3. Théorème 3 : condition suffisante d’existence d’un extremum lorsque la dérivée seconde
existe et est continue
Soit la fonction f 2 fois continûment dérivable sur l’intervalle a, b .
 S’il existe c  a, b tel que f ' (c)  0 et f ' ' (c)  0 , alors la fonction f présente un
minimum relatif en c.
 S’il existe c  a, b tel que f ' (c)  0 et f ' ' (c)  0 , alors la fonction f présente un
maximum relatif en c.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 20
Chapitre 3 : CONTINUITE ET DERIVATION – EXERCICES
1. Démontrez les formules suivantes
1.1. f ( x)  k (où k est une constante réelle)  f ' ( x)  0
Notation : nous écrivons (k )'  0 et adoptons cette notation pour la suite de l’exercice.
1.2. ( x)'  1
1.3. n 0 : ( x n )'  nx n1
1.4. n 0 : ( f ( x) n )'  nf ( x) n1 f ' ( x)
1
1.5. x '
2 x
f ' ( x)
1.6.
f ( x) ' 
2 f ( x)
 


'
p
1
 qp 
p
q
1.7. p ℤ, q ℤ0 :  x   x
 
q
 
'
p
p
1


p
q 
q

 f ( x) f ' ( x)
1.8. p ℤ, q ℤ0 : f ( x)

 q


2. Démontrez que la fonction f ( x)  x  a n’est pas dérivable en a.
3. Démontrez que la fonction f ( x) 
x n’est pas dérivable en 0.
4. Calculez les dérivées des fonctions suivantes. Précisez le domaine de f et le domaine de f’.
2
4.8. f ( x)  x 1 2
4.1. f ( x)  x 5  3x 2
5
4.9. f ( x)  3 1  x 3
2 3
4.2. f ( x)  1  x
4.10. f ( x)  1  x 3 . 1  x 3
4.3. f ( x)  1  x . x
x 3
4.11. f ( x)  2
1 x2
4.4. f ( x) 
x 1
1 x
1 x
1
4.12. f ( x) 
4.5. f ( x) 
1 x
1 x2





4.6. f ( x)  3x  4 x



2
4.7. f ( x)  1  x 2
5. Sachant que sin( x)'  cos( x) et que cos( x)'   sin( x) , calculez les dérivées des fonctions
suivantes:
5.1. f ( x)  x. sin( x)
5.4. f ( x)  cos( x 2 )
5.2. f ( x)  x 2 . sin( x)
5.3. f ( x)  cos 2 ( x)
5.5. f ( x) 
sin( x)
x
x100  1
6. Calculez lim
x 1 x  1
F. Colacito – ANALYSE – TC – 21
Approximations affines
1
en a =0. Pour quelles valeurs
(2 x  1) 4
de x cette approximation engendre-t-elle une erreur inférieure à 0,1 ?
8. Même question qu’à l’exercice 9. pour f ( x)  1  x et a =0.
7. Calculez l’approximation affine de la fonction f ( x) 
Extremums
9. Déterminez les extremums, les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance des
fonctions suivantes.
9.1. f ( x)  x 2  3x  2
9.2. f ( x)  x 2  3x  2
9.3. f ( x)  x  a
9.4. f ( x) 
9.5. f ( x) 
1  x 3
9.6. f ( x)  3  2 x 2  8x  8
9.7. f ( x)  x 3  2 x 2  x  2
x
F.Colacito – ANALYSE – TC –22
Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Dans ce chapitre, nous étudions les fonctions logarithmes, exponentielles, puissances et les
réciproques de fonctions trigonométriques.
1. Introduction (voir cours)
2. Fonction logarithme népérien
2.1. Primitives

Définition.
Soit f une fonction continue sur l’intervalle I.
La fonction F est une primitive de f si F est dérivable et telle que F ' ( x)  f ( x) sur I.

Propriétés
Si F (x) est une primitive de f (x) , alors c   : F ( x)  c est une primitive de f (x) .
Si G(x) est une primitive de f (x) , alors c   : G( x)  F ( x)  c .

Notations
 f ( x) dx  F ( x)  c , c
Ensemble des primitives de f (x) :
x
La primitive de f (x) s’annulant en a :
 f (t ) dt  F ( x)  F (a)
a
b
Valeur en b de la primitive de f (x) s’annulant en a :
 f ( x) dx  F (b)  F (a)
a

Exemple
Soit f ( x)  x . Alors
'
 x2

x2
  c   x
x
dx


c
,
c
car

2
 2

x
 t dt 
1
2
x2 1

2 2
3
 x dx  2
1
Les éléments ci-dessus permettent de définir la fonction logarithme népérien. Nous retrouverons la
notion de primitive dans le chapitre 5 (calcul intégral) où nous établirons de nouvelles propriétés,
des techniques de calcul et le lien avec l’intégrale définie.
F. Colacito – ANALYSE – 23
2.2. Définition
La fonction logarithme népérien est l’unique primitive de f ( x) 
1
définie sur 0, et
x
s’annulant en 1. Cette fonction est notée ln :
x
1
ln : 0,   : x  ln( x)   dt
t
1
2.3. Propriétés

ln 1  0
x  0, y  0 et m  :




ln( x  y)  ln( x)  ln( y)
1
ln     ln( x)
 x
 x
ln    ln( x)  ln( y )
 y
ln x m   m ln( x)
Démonstrations : voir cours.
2.4. Etude et graphique de la fonction ln

La fonction ln est définie, continue et dérivable sur 0, .

La fonction est strictement croissante sur son domaine car ln( x)  ' 

Le graphique a sa concavité tournée vers le bas car ln( x)  ' ' 

lim ln( x)   et lim ln( x)  

Graphique :
x 0
1
 0 sur 0, .
x
1
 0 sur 0, .
x2
x 
2
y  ln(x)
2
1
0
1
2
3
4
5
ln( x )
1
2
3
3
5 10
3
x
5
F. Colacito – ANALYSE – 24
2.5. Solution de l’équation ln (x) = t

Quel que soit le réel t fixé, l’équation ln (x) = t possède une et une seule solution
dans 0, .
Conséquences :


x  0, y  0 : x  y  ln( x)  ln( y)
Nous notons e l’unique réel dont le logarithme népérien vaut 1 : ln e = 1.
Le nombre e est irrationnel : e = 2,7182818284590452353602874713527…
2.6. Remarque
Les primitives de f ( x) 
1
sur / 0 sont les fonctions ln x  c (pouvoir justifier).
x
3. Fonction logarithme de base a
3.1. Définition
Soit a  0, /1. La fonction logarithme de base a est notée log a et définie sur 0, par
ln x 
log a x  
ln a 
Remarquons que la fonction ln coïncide avec la fonction logarithme de base e : ln x   log e x  .
3.2. Propriétés
Les fonctions log a possèdent des propriétés analogues aux propriétés 2.3. de la fonction ln .
Nous établissons en outre des propriétés relatives aux changements de bases.
a, b  0, /1, x, y  0 et m  :





log a 1  0
log a a   1
log a ( x  y)  log a x   log a  y 
1
log a     log a ( x)
 x
x
log a    log a x   log a  y 
 y




 
log a x m  m log a x 
log a x 
log b x  
log a b 
1
log b a  
log a b 
log 1 x    log a x 
a
Démonstrations : voir cours.
F. Colacito – ANALYSE – 25
3.3. Etude et graphiques des fonctions loga
Quelle que soit la base a  0, /1, la fonction log a est définie, continue et dérivable sur
(Démonstration : voir cours)
log a x '  1
0, et sa dérivée est
x ln a
3.3.1.



1
 0 sur 0, ;
x ln a
1
Le graphique a sa concavité tournée vers le bas car log a x  ' '  2
 0 sur 0, .
x ln a
lim log a x   et lim log a x  
La fonction log a est strictement croissante sur son domaine car


x 
x 0
3.3.2.

a 1
0  a 1
1
 0 sur 0, ;
x ln a
1
Le graphique a sa concavité tournée vers le haut car log a x  ' '  2
 0 sur 0, .
x ln a
lim log a x   et lim log a x  
La fonction log a est strictement décroissante sur son domaine car
x 
x 0
3.3.3.
Graphiques :
y  log 1,5 x 
2
2
y  ln x 
1
y  log10 x 
ln( x )
ln( x )
ln( 0.5 )
0
1
2
3
4
5
ln( x )
ln( 1.5 )
1
ln( x )
ln( 10 )
2
3
y  log 0,5 x 
3
5 10
3
x
5
F. Colacito – ANALYSE – 26
4. Fonction réciproque
4.1. Fonction bijective
Soit f une fonction de domaine dom f et d’image im f (ensemble des images par f des éléments
de dom f).

Définition.
La fonction f est bijective si l’une des conditions équivalentes suivantes est
satisfaite :
 a  b dans dom f  f (a)  f (b) dans im f.
 f (a)  f (b) dans im f  a  b dans dom f.

Exemples.
La fonction f1 ( x)  2 x  2 est bijective.
La fonction f 2 ( x)  x 2 n’est pas bijective.

Théorème.
Une fonction strictement croissante en tout point de son domaine est bijective.
Une fonction strictement décroissante en tout point de son domaine est
bijective.

Remarque.
Une fonction f est bijective si et seulement si toute droite horizontale coupe
son graphique en un point au plus.
4.2. Fonction réciproque – Définition et propriétés
Nous ne pouvons définir la fonction réciproque d’une fonction f que si cette fonction est
bijective.

Définition
Soit f une fonction bijective de domaine dom f et d’image im f. La fonction g est la fonction
réciproque de f si les conditions suivantes sont vérifiées :



dom g = im f
im g = dom f
y  f (x) dans dom g si et seulement si x  g ( y) dans im g.

Exemples
1
La fonction g1 ( x)   x  1 est la réciproque de f1 ( x)  2 x  2 .
2
2
La fonction f 2 ( x)  x n’est pas bijective de  dans + , mais si nous restreignons son
domaine à + , alors elle devient bijective. La réciproque de f 2 est alors g 2 ( x)  x .

Théorème
La fonction g est la réciproque de la fonction bijective f
si et seulement si
g  f ( x)  x pour tout x dom f
si et seulement si
f g ( x)  x pour tout x dom g
F. Colacito – ANALYSE – 27

Notation
La réciproque de f est en général notée f 1 .
Les égalités du théorème ci-dessus s’écrivent alors f 1  f ( x)  x et f  f 1 ( x)  x .
Attention : Ne pas confondre f 1 ( x) et l’inverse de f (x) que nous notons  f ( x)  ou
1
1
1
1
1
. Ainsi, si f ( x)  2 x  2 , alors f 1 ( x)   x  1 et  f ( x)  =
=
.
f ( x)
f ( x)  2 x  2
2
1
4.3. Graphiques de fonctions réciproques
Si le point (a, b) est sur le graphique de f, alors le point (b, a) est sur le graphique de f
deux graphiques sont donc symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite y  x .
 Exemples
1
yx
y  x2
3
4
2
2x
2
x
x
0.5 x
1
0
y  0,5x  1
2
2
x
2
0
0
3
0
3
yx
2
x
2
4
. Les
x
2
x
4
4
3
5. Fonction exponentielle de base e
5.1. Définition
L’exponentielle de base e est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est notée exp.
y x
exp :  0, : x  exp x 
y  exp x   ln y  x 
y  2 x  2
5.2. Propriétés
Les propriétés ci-dessous découlent des propriétés de la fonction ln et de la définition de
fonctions réciproques.


exp 0  1
exp 1  e
x réel , y réel et m  :
F. Colacito – ANALYSE – 28




exp( x  y)  exp x   exp  y 
1
exp(  x) 
exp  x 
exp  x 
exp( x  y ) 
exp  y 
exp( mx)  exp( x)
m
Démonstrations : voir cours.
5.3. Notation
Nous déduisons des propriétés ci-dessus que exp m  e m , m   . Ceci justifie la notation
e x  exp x 
pour tout x
Réécrivons les propriétés du point 5.2. avec cette nouvelle notation :
e0  1
ex
x y
e



e1  e
ey
m

e ( x y )  e x e y

e mx  e x
1

ex  x
e
Cette notation est pertinente puisqu’elle exprime que les propriétés des puissances rationnelles
de e s’étendent aux puissances réelles de e.

 
5.4. Etude et graphique de la fonction e x



La fonction e x est définie, continue et dérivable sur .
 
x '
e e
Dérivée :
(Démonstration : voir cours)
La fonction est strictement croissante sur son domaine car e x  0 pour tout x .
x

Le graphique a sa concavité tournée vers le haut car e x   e x  0 pour tout x .
lim e x  0 et lim e x  

Graphique :

''
x 
x 
y  ex
6
6.132404
4
x
e
2
0
4
5
2
0
x
2
4
5
F. Colacito – ANALYSE – 29
5.5. Solution de l’équation e x = t
Quel que soit le réel strictement positif t fixé, l’équation e x = t possède une et une seule
solution dans . Par conséquent, nous pouvons écrire l’équivalence suivante :
x, y  : x  y  e x  e y
Afin de résoudre des équations exponentielles et logarithmiques, nous ajoutons ces deux
relations qui traduisent dans ce contexte le théorème du paragraphe 4.2. :
x  : ln e x   x
x  0, : e ln x   x
6. Fonction exponentielle de base a
6.1. Définition
Soit a  0, /1. La fonction exponentielle de base a est notée a x et définie sur  par
a x  e ( x ln a )
Remarquons que pour a = e, nous retrouvons la fonction e x définie en 5.1.
6.2. Propriétés
Les fonctions a x possèdent des propriétés analogues aux propriétés 5.2. de la fonction e x .
a  0, /1, x, y  et m   :




a0  1
a1  a
a ( x y )  a x a y
1
a x  x
a
ax
ay

a x y 

a mx  a x
 
m
Démonstrations : voir cours.
6.3. Théorème
a  0, /1, la fonction a x est la réciproque de la fonction log a x .
Démonstrations : voir cours.
F. Colacito – ANALYSE – 30
6.4. Etude et graphiques des fonctions a x
Quelle que soit la base a  0, /1, la fonction a x est définie, continue et dérivable sur  et
a   a
x '
sa dérivée est

 ln a
(Démonstration : voir cours)
a 1
6.4.1.

x
La fonction est strictement croissante sur son domaine car a x ln a  0 pour tout x .
Le graphique a sa concavité tournée vers le haut
car a x   a x (ln a) 2  0 pour tout x .
lim a x  0 et lim a x  
''

x 
x 
0  a 1
6.4.2.


La fonction est strictement décroissante sur son domaine car a x ln a  0 pour tout x .
Le graphique a sa concavité tournée vers le haut
car e x   a x (ln a) 2  0 pour tout x .
lim a x   et lim a x  0
''

x 
6.4.3.
x 
Graphiques :
y=5x
y=0,5 x
y=e x
y=1,5 x
6
6.132404
x
e
4
x
5
x
1.5
2
x
0.5
0
4
5
2
0
x
2
4
5
7. Fonction puissance
La fonction exponentielle de base e permet de définir x  pour tout   et tout x strictement
positif.
7.1. Définition
Soit  . La fonction puissance d’exposant  est notée x  et définie de 0, dans  par
x  e( ln x )
Cette définition est une « bonne » définition car lorsque  , nous retrouvons la définition
classique de puissance rationnelle de x. De plus, les propriétés des puissances rationnelles
s’étendent aux exposants   (voir ci-dessous).
F. Colacito – ANALYSE – 31
7.2. Propriétés
Si   ,   , x  0, , y  0, , alors


x x   x  
x 
 
 x

xy 

 x
x
   
y
 y
 x y 
1
x

x  

x
 x 

x

7.3. Etude et graphiques des fonctions x 
Nous excluons de la discussion l’exposant   0 qui engendre la fonction constante 1.
Pour tout  réel non nul, la fonction x  est définie, continue et dérivable sur 0, et sa
x     x
 '
dérivée est
7.3.1.


La fonction est strictement croissante sur son domaine
car   x 1  0 pour tout x  0, .
Le graphique a sa concavité tournée vers le haut si   1 et tournée vers le bas si
 


  (  1) x 2 .
''
lim x  0 et lim x  
x 0
7.3.2.

(Démonstration : voir cours)
 0
0    1car x

 1
x 
 0
La fonction est strictement décroissante sur son domaine car   x 1  0 pour tout x 
0, .
Le graphique a sa concavité tournée vers le haut car x    0 pour tout x  0, .
lim x   et lim x  0
''
x 0
7.3.3.
x 
y  x
y  x 2
Graphiques :
11
11
10
9
8
x
x

7
2
6
x
x
y  x2
5
2
4
3
y  x1 2
2
1
0
0
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
2.5
F. Colacito – ANALYSE – 32
Chapitre 4 : fonctions usuelles – Exercices
1. Calculez sans machine :
1.1. ln e
1
1.2. ln 3
e
1.3. log 2 8
1.4. log 10 100
1
1.5. log 2
32
1
125
1.7. log 9 3
1.8. log 7 1
1.9. log 1 2
1.6. log 5
8
1.10.
log 2 (2)
2. Résolvez les équations.
2.1. ln x   1
2.8. ln( x  6)  ln( x  1)  ln 10  ln 2
2.2. log 4 x   
2.9. log x 2  (log x) 2
1
2
2.3. log 4 (5  x)  3
2.4. log 5 x 2  3
2.5. log 5 (2 x  3)  log 5 11  log 5 3
 
 
2.10.
2.11.
2.12.
2.6. log 2 x   log 2 ( x  2)  3
2.7. log x 3  1
e x 1  1
5 2 x 1  6 x2
5 x  5 x
3
2
2
3. Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes
3.1. f ( x)  ln x
3.2. f ( x)  ln x
3.3. f ( x)  ln(ln x)
1
3.4. f ( x) 
ln x
3.5. f ( x)  ln x
1
3.6. f ( x) 
ln x
3.7. f ( x) 
1
ex
1
3.8. f ( x)  x
e 1
1
3.9. f ( x) 
x
e 1
f ( x)  ln(e x  1)
3.10.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 33
LIMITES
Pour les indéterminations du type

0
ou , nous utiliserons le théorème de l’Hospital :
0

Théorème.

Soit I un intervalle ouvert de , a I, f et g des fonctions dérivables en chaque point de I \ a.
Si les conditions suivantes sont satisfaites :
 lim f ( x)  0  lim g ( x)
x a
xa
 x  I \ a : g ' ( x)  0
f'
 lim ( x)  b ; (b ou b =   ou b   )
x a g '
Alors,
f
lim ( x)  b
x a g

Soit I  a, , (respectivement I   , b ), f et g des fonctions dérivables en chaque point
de I . Si les conditions suivantes sont satisfaites :
 lim f ( x)  0  lim g ( x) (respectivement lim f ( x)  0  lim g ( x) )
x 
x 
x 
x 
 x  I : g ' ( x)  0
f'
f'
 lim ( x)  b (respectivement lim ( x)  b ); (b ou b =   ou b   )
x  g '
x  g '
Alors,
f
f
lim ( x)  b (respectivement lim ( x)  b )
x  g
x  g

Les deux règles ci-dessus restent vraie si nous remplaçons la première hypothèse respectivement
par lim f ( x)    lim g ( x) et lim f ( x)    lim g ( x) .
x a
xa
x 
x 
4. Calculez les limites si elles existent
4.1. lim 3 x
a x 1
x 0
x
sin x 
4.6. lim
x  ln  x 
x 1
4.7. lim 5
x 1 x  1
4.8. lim ln ln x 
4.5. lim
x  
1
4.2. lim  
x   2
 

x

ln x 2  1
4.3. lim
x   ln  x  1
ln x  1
4.4. lim
x  1  ln x
x 1
4.9. lim
x 


ln e 2 x  1
x 
x  1
4.11.
 1

lim  2  ln x 
x 0 x


lim

ln e x  1
x  1

4.10.
2
F. Colacito – ANALYSE – TC – 34
5. Formes indéterminées 1 , 0 0 ,  0 .
 1
5.1. lim 1  
x  
x

 1
5.2. lim 1  
x 0
x
 
x
x
 k
5.3. lim 1  
x  
x

 k
5.4. lim 1  
x 0
x
 
x
x
6. Croissances comparées.
ln x 
,  0
x  x 
6.2. lim x. ln x 
6.1. lim
x 0
6.3. lim x  . ln x  ,   0
x 0
ex
x   x 2
ex
6.5. lim  ,   0
x  x
6.4. lim
7. Exercices supplémentaires
7.1. lim ln( x 2  1)
x 0
 1 
7.2. lim ln  2 
x 0
x 
 1 
7.3. lim ln  2 
x  
x 
7.4. lim e x
2
1
x 
7.5. lim e1 x
2
x 
7.6. lim e
 1 
 2
x 
x  
7.7. lim e
 1 
 2
x 
x 0
F. Colacito – ANALYSE – TC – 35
SOLUTIONS
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1/2
–3
3
2
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
x = e-1
x = 1/2
x = 59
x = 5 5
x = 15
x=2
x = 1/3
–5
–3
1/2
0
1.9. –1/3
1.10.

2.
2.8. x = 11/4
2.9. x = 1 ou x = 100
2.10.
x = 1 ou x = -1
ln 180
x
2.11.
ln 0,24
2.12.
x  log 5 (3  10 )
3.
Conditions :
3.1. x  0
3.2. x > 0
3.3. x > 1
3.4. x > 0 et x  1
4.
4.1. En
En
4.2. En
En




: 
: 0
:0
: 
3.5. x  1
3.6. x > 1
3.7. x 
3.8. x  0
3.9. x > 0
3.10.
x>0
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.  
4.9. 0
4.10.
2

4.11.
2
-1
ln a
0
1/5
5.
5.1.
5.2.
e
1
6.1.
6.2.
6.3.
0
0
0
5.3. ek
5.4. 1
6.
6.4.
6.5.


F. Colacito – ANALYSE – TC – 36
CHAPITRE 5 : CALCUL INTEGRAL
Primitives d’une fonction
La notion de primitive a été abordée succinctement au début du chapitre 4. Nous rappelons ici ces
premiers éléments et les complétons avec une liste de règles fondamentales et des techniques de
calcul permettant de calculer les primitives d’une grande variété de fonctions.
1. Définition.
Soit f une fonction continue sur l’intervalle ouvert I.
La fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable et telle que F ' ( x)  f ( x) sur I.
2. Propriétés
Si F (x) est une primitive de f (x) , alors c   : F ( x)  c est une primitive de f (x) .
Si G(x) et F (x) sont des primitives de f (x) , alors c   : G( x)  F ( x)  c .
3. Notations
 f ( x) dx  F ( x)  c , c
Ensemble des primitives de f (x) :
Cet ensemble est également appelé intégrale indéfinie de f.
x
 f (t ) dt  F ( x)  F (a)
La primitive de f (x) s’annulant en a :
a
b
Valeur en b de la primitive de f (x) s’annulant en a :
 f ( x) dx  F (b)  F (a)  F ( x)
b
a
a
Ce nombre est également appelé intégrale définie de f de a à b (voir aussi I.I.3).
4. Règles fondamentales
4.1.
4.2.
4.3.
 f ' ( x) dx  f ( x)  c , c
 f ( x)  g ( x) dx 
 f ( x) dx   g ( x) dx
 a f ( x) dx  a  f ( x) dx
m 1
x
 c pour tout m  1
4.4.  x dx 
m 1
1
4.5.  dx  ln x  c
x
m
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
 e dx  e  c
 sin x dx   cos x  c
 cos x dx  sin x  c
1
 1  x dx  arcsin x  c
x
x
2
  arccos x  c 
1
4.10.
 1  x 2 dx  arctg x  c
F. Colacito – ANALYSE – TC – 37
5. Intégration par substitution
5.1. Intégrales indéfinies
Si F (x) est une primitive de f (x) et si  (x) est une fonction continûment dérivable, alors
F  x  est une primitive de f  x    ' ( x) :
 x   (u )
 f  u    ' (u) du   f ( x) dx où dx   ' (u) du
5.2. Intégrales définies
Si f (x) est une fonction continue sur a, b ,
si  (u ) est une fonction continûment dérivable sur  ,   telle que
 :  ,    a, b : u  x   (u) ,  ( )  a et  ( )  b


alors

b
f  u    ' (u ) du   f ( x) dx
a
6. Intégration par parties
6.1. Intégrales indéfinies
La règle d’intégration par parties découle de la règle de dérivation du produit de deux fonctions.
Si f et g sont des fonctions continûment dérivables, alors :
 f ' x  g ( x) dx  f ( x)  g ( x)  
f ( x)  g ' ( x) dx
6.2. Intégrales définies
b

f ' x   g ( x) dx   f ( x)  g ( x)
b
ba  
a
f ( x)  g ' ( x) dx
a
7. Décomposition en somme de fractions simples
7.1. Types de fractions simples
P( x)
(degré de P<degré de Q),
Q( x)
on peut le décomposer en une somme de quotients plus simples (les fractions simples) dont les
primitives sont obtenues par changements de variables :
Pour calculer les primitives d’un quotient de polynômes f ( x) 
F. Colacito – ANALYSE – TC – 38
P( x)
 F1 ( x)  F2 ( x)    Fm ( x) où Fi (x) est de la forme
Q( x )
A
Ax  B
ou 2
 p 2  4q  0
n
n
( x  a)
( x  px  q)
Cette décomposition est obtenue en appliquant un ou plusieurs des procédés ci-dessous.
7.2. Un facteur linéaire au dénominateur
P( x)
, où P(x) est un polynôme de degré inférieur à n et P(a)  0 .
( x  a) n
Alors on a la décomposition :
Soit f ( x) 
An
A1
A2
P( x)


 
n
2
x  a ( x  a)
( x  a)
( x  a) n
7.3. Plusieurs facteurs linéaires distincts au dénominateur
Soit f ( x) 
P( x)
, où P(x) est un polynôme de degré inférieur à n et
( x  a1 )  ( x  a 2 ) ( x  a n )
P( ai )  0 .
Alors on a la décomposition :
An
A1
A2
P( x)


 
( x  a1 )  ( x  a 2 ) ( x  a n ) x  a1 x  a 2
x  an
7.4. Un facteur du second degré au dénominateur
P( x)
où P(x) est un polynôme de degré inférieur à 2n et p 2  4q  0 .
( x  px  q) n
Alors on a la décomposition :
Soit f ( x) 
2
A x  Bn
A x  B1
A x  B2
P( x)
 21
 2 2
 2 n
n
2
x  px  q ( x  px  q)
( x  px  q) n
( x  px  q)
2
7.5. Plusieurs facteurs du second degré distincts au dénominateur
Soit f ( x) 
P( x)
où P(x) est un polynôme de
( x  p1 x  q1 )  ( x  p 2 x  q 2 ) ( x 2  p n x  q n )
2
2
degré inférieur à 2n et pi  4qi  0 .
Alors on a la décomposition :
2
f ( x) 
A x  Bn
A1 x  B1
A x  B2
 2 2
 2 n
x  p1 x  q1 x  p 2 x  q 2
x  pn x  qn
2
F. Colacito – ANALYSE – TC – 39
Problème de l’aire – Sommes de Riemann – Intégrale définie
1. L’aire vue comme la limite d’une somme
Dans le dictionnaire de mathématiques élémentaires (Stella Baruk, éd. du Seuil), on peut lire :


L’aire d’une portion de plan limitée par une ligne fermée est la grandeur de son
étendue ; on la mesure avec un carré-unité. La mesure de l’aire est alors égale
au nombre de carrés nécessaires pour la recouvrir exactement.
D’une manière générale, on évite la mesure directe des aires en la remplaçant
par des opérations et des calculs effectués sur des mesures de longueurs, qui
permettent d’en prédire le résultat.
Cette démarche permet de mesurer l’aire de formes simples (un rectangle, un triangle, un trapèze,
un disque) ou l’aire d’une portion de plan composée d’un nombre fini de formes simples.
Par contre, si la portion de plan est limitée par une ligne courbe, la définition même de l’aire pose
problème. Nous ne pouvons qu’ « encadrer » la mesure de l’aire entre deux valeurs plus ou moins
proches. C’est un processus de passage à la limite qui nous permettra à la fois de définir et de
mesurer l’aire.
Exemple.
Mesure de l’aire A délimitée par la parabole d’équation y  x 2 , l’axe ox et la droite d’équation x  1
(fig1).
1
y  x2
(fig1)
x
2
A
0
0
x
1
La mesure de A est comprise entre 0 et 1 : 0  A  1. Cet encadrement peut être amélioré en
divisant l’intervalle 0,1 en cinq sous-intervalles de même largeur (0,2) et en calculant la somme
des aires des rectangles de base 0,2 et dont les longueurs sont égales aux images des extrémités
gauches (approximation par défaut- fig.2) ou droites (approximation par excès- fig.3) des cinq
intervalles :
1
1
4
9 16 
6
A  0 


  A
 0,24
5
25 25 25 25 
25
1 1
4
9 16 
11
A  


 1  A 
 0,44
5  25 25 25 25 
25
F. Colacito – ANALYSE – TC – 40
Dn 
1
1
4
9
(n  1) 2  1
 0  2  2  2   
  3 1  4  9    (n  1) 2
2
n
n
n
n
n
 n
En 

 1
1 1
4
9
(n  1) 2
 2  2  2   
 1  3 1  4  9    n 2
2
nn
n
n
n
 n



Voici les valeurs obtenues pour quelques valeurs de n :
n
5
10
20
50
100
1000
Dn
0,24000
0,28500
0,30875
0,32340
0,32835
0,33283
En
0,44000
0,38500
0,35875
0,34340
0,33835
0,33383
F. Colacito – ANALYSE – TC – 41
Les quantités Dn et E n semblent tendre toutes les deux vers
1
. Un calcul de limite montre qu’il en
3
1
(calculs :voir cours)
n 
n
3
Par conséquent, nous utilisons cette limite pour définir la mesure de l’aire A comprise entre la
parabole d’équation y  x 2 , l’axe ox et la droite d’équation x  1 :
lim Dn  lim E n 
est ainsi :
A  lim Dn 
n 
1
3
Nous allons développer au point 2. une méthode générale permettant de définir et de mesurer l’aire
délimitée par l’axe ox, les droites verticales x  a , x  b et le graphique d’une fonction f positive
et continue sur l’intervalle a, b . Aux points 3. et 4., nous étudierons le concept d’intégrale définie
qui porte sur des fonctions de signe quelconque et éventuellement discontinues.
2. Sommes de Riemann
Problème : définir et mesurer l’aire A délimitée par l’axe ox, les droites verticales x  a , x  b et le
graphique d’une fonction f positive et continue sur l’intervalle a, b (fig. 5).
2.1. Description de la méthode
ba
. Ces
n
intervalles sont notés xi 1 , xi  , où, x0  a, xn  b , xi  xi 1  x et i  1,2,, n. Cette
opération est appelée partition de l’intervalle a, b .
(1) Diviser l’intervalle a, b en n sous-intervalles de même longueur x 
(2) Choisir un point xi dans chaque intervalle xi 1 , xi  et remplacer la portion d’aire sous la

 
courbe entre xi 1 et x i par le rectangle de base x et de hauteur f xi .
(3) Estimer l’aire A en calculant la somme S n des aires des n rectangles du point (2) . Cette
somme est appelée somme de Riemann :
n
 
S n   f xi x
i 1
A  Sn
F. Colacito – ANALYSE – TC – 42
(4) Définir l’aire A comme la limite des sommes de Riemann lorsque x tend vers 0, à
condition que cette limite existe. Cette définition se justifie par le fait que l’estimation S n
semble s’améliorer lorsque x diminue.
Précisons la définition de l’aire A.
2.2. Définition
Soit une fonction f positive et continue sur l’intervalle a, b . Soit les xi 1 , xi  , xi 
et x définis comme dans la méthode décrite ci-dessus. La mesure de l’aire A
délimitée par l’axe ox, les droites verticales x  a , x  b et le graphique de f est la
limite des sommes de Riemann S n lorsque n tend vers   , à condition que cette
limite existe dans  et soit indépendante du choix des xi  :
A  lim S n  lim
n 
n 
 f x x
n
i 1

i
3. Intégrale définie
Les sommes de Riemann du point 2 ne sont pas les plus générales. Nous pouvons en effet les
construire pour des fonctions de signe quelconque et éventuellement discontinues sur l’intervalle
a, b . En outre, les sous-intervalles des partitions de a, b peuvent être de largeurs quelconques.
3.1. Somme de Riemann : cas général
Partition P de a, b : choix de n intervalles notés xi 1 , xi  où
a  x0  x1    xn1  xn  b ;
la largeur de xi 1 , xi  est notée xi  xi  xi 1 ;
la plus grande largeur est appelée norme de la partition P et notée P :
P  max xi  .
i1,...,n
Somme de Riemann relative à P : on choisit un point xi dans chaque intervalle xi 1 , xi  et

n
 
S n   f xi xi
i 1
Une fonction f définie sur a, b est dite intégrable sur a, b si la limite des S n existe lorsqu’on
choisit des partitions successives dont la norme P tend vers 0. Précisons cette définition.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 43
3.2. Définition
Si f est une fonction définie sur a, b , on dit que f est intégrable sur a, b si la limite
 f x x
n
lim
P 0

i
i 1
i
existe, est finie et est indépendante des partitions de a, b et du choix des xi . Cette limite est
appelée intégrale définie de f de a à b et est notée

b

f ( x) dx  lim
P 0
a
 f x x
n
i 1

i
i
3.3. Remarques
3.3.1. Si a  b , l’intervalle d’intégration se réduit à un point et l’intégrale définie de f
a
de a à a est par définition égale à 0 :
 f ( x) dx  0 .
a
3.3.2. Précisons également que l’intégrale définie de f de b à a est l’opposé de l’intégrale
a
de a à b :

b
f ( x) dx    f ( x) dx .
b
a
3.4. Conditions d’intégrabilité
3.4.1. (C.N.) Si f est intégrable sur a, b , alors f est bornée sur a, b .
3.4.2. (C.S.) Si f est une fonction bornée présentant un nombre fini de discontinuités sur
l’intervalle a, b , alors f est intégrable sur a, b .
3.5. Cas particuliers
3.5.1. Si f est continue sur a, b , alors f est intégrable sur a, b .
3.5.2. Si f satisfait la condition 3.4.2. et est positive sur a, b , alors l’intégrale définie de f
de a à b égale A, la mesure de l’aire délimitée par l’axe ox, les droites verticales x  a ,
x  b et le graphique de f :
b
 f ( x) dx  A
a
3.5.3. Si f satisfait la condition 3.4.2. et est négative sur a, b , alors l’intégrale définie de f
de a à b égale –A, l’opposé de la mesure de l’aire décrite ci-dessus :
b
 f ( x) dx   A
a
3.6. Interprétation de l’intégrale définie lorsque f est de signe quelconque
Si f prend à la fois des valeurs positives et négatives sur a, b , alors les sommes de Riemann ont
des termes positifs et des termes négatifs. Les positifs correspondent aux rectangles qui se
trouvent au-dessus de l’axe ox et les négatifs correspondent aux rectangles qui se trouvent sous
F. Colacito – ANALYSE – TC – 44
l’axe ox (fig.6). l’intégrale définie de f de a à b peut être interprétée comme la différence des
aires A1 et A2 (fig.7) :
b
 f ( x) dx  A
1
a
y
 A2
y
x
x
(fig.6)
(fig.7)
4. Propriétés de l’intégrale définie
b
4.1. Si c est une constante réelle quelconque, alors  c dx  cb  a 
a
4.2. Si f et g sont intégrables sur a, b et si r et s sont des constantes réelles quelconques, alors
rf  sg est intégrable sur a, b et
b
b
b
a
a
a
 rf ( x)  sg( x)dx  r  f ( x) dx  s  g ( x) dx
4.3. Si f est intégrable sur a, b et si c  a, b , alors
b

c
f ( x) dx 
a

b
f ( x) dx 
 f ( x) dx
c
a
4.4. Si f et g sont intégrables sur a, b et si f ( x)  g ( x) sur a, b , alors
b
b
a
a
 f ( x) dx   g ( x) dx
4.5. Si f est intégrable sur a, b , alors f est intégrable sur a, b et
b

b
f ( x) dx   f ( x) dx
a
a
4.6. Si m est le minimum et M est le maximum sur a, b de la fonction intégrable f(x), alors
b
m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a)
a
Démonstrations : voir cours.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 45
III.
Théorème fondamental du calcul intégral
Dans cette section, nous observons les liens qui existent entre les intégrales définies et le calcul de
primitives (théorème 3.).
1. Théorème de la moyenne
Si la fonction f est continue sur a, b , alors il existe au moins un réel c  a, b tel que
b
 f ( x) dx  f (c) b  a 
a
Le nombre f (c) est la valeur moyenne de f sur a, b : f (c) 
b
1
f ( x) dx
b  a a
Démonstration : voir cours.
Exemple. la valeur moyenne de f(x)=x2 sur 0,1 est
1
(voir section II, paragraphe1.).
3
2. Autre forme du théorème de la moyenne
Si la fonction f est continue sur a, b , alors il existe au moins un réel   0,1 tel que
b
 f ( x) dx  f a  (b  a)  b  a 
a
En effet : a  c  b  0 
ca
1.
ba
On obtient donc la formule ci-dessus en posant
ca
.
ba
3. Intégrale fonction de sa borne supérieure
Montrons qu’il est possible de définir une fonction de la variable x à partir d’une intégrale
définie en faisant varier sa borne supérieure.
Si la fonction f est intégrable sur a, b , alors f est intégrable sur a, x0  , quel que soit x0  a, b
:
x0
 f (t ) dt
existe pour tout x0  a, b
a
Nous pouvons donc « penser » ces intégrales comme une fonction de la borne supérieure que
nous noterons désormais x (au lieu de x0). La fonction est quant à elle notée F (x) :
x
F ( x)   f (t ) dt , x  a, b
a
F. Colacito – ANALYSE – TC – 46
4. Théorème fondamental du calcul intégral
Soit f une fonction continue sur a, b .
x
4.1. La fonction F ( x)   f (t ) dt , x  a, b est dérivable en tout point de a, b et F ' ( x)  f ( x) .
a
b
4.2. Si G(x) est une primitive quelconque de f, alors
 f ( x) dx  G(b)  G(a)
a
Démonstration : voir cours.

Notation. L’expression G(b)  G(a) est notée G( x) :
b
a
b
 f ( x) dx  G( x)
b
a
a

Exemple.
1
 x3 
1 0 1
2
x
dx

    
0
 3 0 3 3 3
1
5. Règles de calcul pour les intégrales définies
5.1. Changement de variable
Si g est une fonction strictement monotone de a, b dans g (a), g (b) et si x  g (u) , alors
b

a
f g (u )  g ' (u ) du 
g (b )
 f ( x)dx
g (a)
5.2. Intégration par parties
b

a
b
f ' ( x) g ( x) dx   f ( x) g ( x)a   f ( x) g ' ( x) dx
b
a
5.3. Symétries

Si f est une fonction impaire intégrable sur  a, a , alors
a
 f ( x) dx  0
a

Si f est une fonction paire intégrable sur  a, a , alors
a

a
a
f ( x) dx  2 f ( x) dx
0
F. Colacito – ANALYSE – TC – 47
EXERCICES – Chapitre 5 – Calcul intégral
Primitives d’une fonction

1)
2)
Règles fondamentales
 xx  x dx
 2 x  5 dx
2
2
x
 x  1 dx
3x 2  1
dx
5) 
2x x
3)
x2  x  2
 x 2 dx

Intégration par changement de variable
7)
 xx
2

8
 5 dx
3x 2  1
8)


Intégration par parties
x x
3
dx
14)  x  cos xdx
ln x
sin x  cos x
 1  sin x
10)  sin x  cos
1
11) 
dx
x ln x
9)
2
3

16)


Décomposition en somme de fractions simples
x
x  ln xdx
dx
2
x dx
17)  ln xdx
15)
dx

1
6)   x 3 
x3

4)
18)  x 2  ln( x) dx
2

 dx


 x  1  xdx
13)  tg ( x)dx
12)
20)  x  e  x dx
21)  e x  sin xdx
19)  x 2  e x dx
22) Primitives des fractions simples :
1
221)
 x  a dx  ln x  a  c
1
1
222)
dx 
c
n , n  1 : 
n
( x  a)
(1  n)( x  a) n1
223)
Si p 2  4q  0 et a  q 
p2
, alors :
4
Ap
p

2
B
x 

Ax  B
A 
p
2
2
2
 x 2  px  q dx  2  ln  x  2   a   a  arctg  a   c






F. Colacito – ANALYSE – TC – 48
Si p 2  4q  0 , et a  q 
224)
 (x
2
p2
alors :
4
Ax  B
dx 
 px  q) 2


Ap 
p 
Ap 
p


x  
B 
 x     B 

1
2 
2  
2 
2 
 A  

 arctg  
c
2
3
2




a
a
2a


p
2



2  x    a  




2



x
 ( x  1)(2 x  1) dx
x3
24) 
dx
( x  1)( x 2  4)
x2
25) 
dx
( x  3) 2
23)
26)
x 2  3x
 ( x  1)( x  1) 2 dx
27)
2x3  9x  1
 x 2 ( x 2  1) dx
30)
1
2x  3
 (2 x  3) 2  4 2 x  3 dx

Fractions irrationnelles
29)
1
1 x
 (1  x) 2  1  x dx

Techniques trigonométriques :voir cours

Réponses :
1)
2)
3)
4)
5)
x3 2 x5

c
3
5
4 x 5 20 x 3

 25 x  c
5
3
2
x  ln x   c
x
x  ln x  1  c
x2 1
x
c
x4
1
 2x  2  c
6)
4
2x
7)
x
2

9
5
c
18
8) 2 x 3  x  c

28)
x3  1
 x 3  1 dx
31)

4
x

3
1
x x
 dx

1
ln 1  sin 2 x  c
2
cos 5 x cos 3 x

c
10)
5
3
11) ln ln x  c
9)
21  x 
21  x 

c
5
3
13) ln cos x  c
14) x sin x  cos x  c
15) 2 x  ln x  4 x  c
2 3
4 3
x  ln x 
x c
16)
3
9
17) x  ln x  x  c
52
32
12)
x3
x3
 ln x   c
18)
3
9
F. Colacito – ANALYSE – TC – 49
19) e x  x 2  2 x  2  c
20) e  x   x  1  c
24) x 
ln x  1
3
 2 ln x  2 
2 ln x  2
3
c
1
 ln x  3  c
x3
1
26)
 ln x  1  c
x 1
e x  sin x  e x  cos x
c
2
22) /
 x 1 
c
23) ln 
 2x  1 


25)
21)
1
 6 ln x  1  5 ln x  1  c
x
2
2 ln x  1 ln x  x  1
 2x  1
2
28) x 


arctg 
  c
3
3
3
 3 
1 x
1 x
29)
)
 c ; (poser t 
1 x
1 x
27)  9 ln x 
 2x  3 
 c ; (poser t  
 )
 2x  3 
31) 4 4 x  12 12 x  12 arctg 12 x  c ; (poser t  12 x )
1  2x  3 
30) 

15  2 x  3 
14
54
 
Intégrales définies – Calcul d’aires

Intégrales définies
e2
e
1
1)  dx
x
e2
6)
9
2)

4
x dx
7)
0

x ( x  1)dx
8)
4)

1
2
5)
x2  x 1
x
 ( x  x )dx
1
2
1
1  dx
x
x

dx
9)
2
11)
 xe
 x2
dx
2
ln 2
12)

e x  1dx
0
2
x 2  a 2 dx
a
0
4
1
x
1
a
4
3)
1
e x ln x dx
13)

x ln x dx
1
2
x
 x sin 2 dx
0
1
10)
x
 cos x dx
1
F. Colacito – ANALYSE – TC – 50

Calculez la mesure de l’aire hachurée
14)
3
f ( x)  x 2
f( x )
g ( x)  x
g( x )
0
0
x
1.5
15)
f ( x)  21.5x 2
g ( x)  1  x 2
1
k( x )
l( x )
0
1
1
0
x
1
1
16)
3
2
h( x )
f(x)=lnx
m( x )
0
5
10
x
10
1
0
17)
2
f ( x)  ln x
2
1
h( x )
x
g ( x )  2  j( x )
e
1
1
0
x
6
F. Colacito – ANALYSE – TC – 51

Réponses
1) 3
2) 18
272
3)
15
226
4)
15
5) 4
6) ln 2
4 2 5 5

3
12
8) 0


9) 2  2  
2

10) 0
11) 0
7)
12) 2 

2
2
2  2

2 2  ln 2    

3
3  3

1
14)
3
 1
15) 
4 6
16) e 2  1
e
17) 1 
2
13)
F. Colacito – ANALYSE – TC – 52
Références
[1]
Y. BIOLLAY – A. CHAABOUNI – J. STUBBE.
Bien commencer ses études scientifiques – Savoir faire en maths
Presses polytechniques et universitaires romandes 2008.
[2]
J. DOUCHET. Analyse. Recueil d’exercices et aide-mémoire vol.1.
Presses polytechniques et universitaires romandes 2005.
[3]
P. DUPONT. Exercices de mathématiques pour le premier cycle. Vol. 1. et 2.
DeBoeck Université 2000.
[4]
J. STEWART. Analyse. Concepts et contextes. Volume 1 : fonctions d’une variable.
DeBoeck Université 2001.
[5]
E.W. SWOKOWSKI et J.A. COLE. Algèbre.
DeBoeck Université 1998.
F. Colacito – ANALYSE – TC – 53