1ere is math partie 2

F. Colacito – ANALYSE – TC – 1
CINQUIÈME PARTIE
ANALYSE
Chapitre 1 : Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 2 : Limites
Chapitre 3 : Continuité et dérivation
Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Chapitre 5 : Calcul intégral

F. Colacito – ANALYSE – TC – 2
Chapitre 1 : Fonctions d’une variable réelle
I. Nombres réels
L’ensemble des nombres réels est noté  (nous admettons son existence).
Lorsque l’ensemble  est muni de deux opérations – l’addition et la multiplication
– et d’une relation d’ordre total , on le note ,
 ,,
.
1. Structure de 
L’ensemble ,
 ,,
est un corps ordonné. Autrement dit,
 , est un groupe commutatif :
(1)
 yx,
,
 yx
(2)
 zyx ,,
,
)()( zyxzyx 
(3)
 yx,
,
xyyx 
(4)  contient un élément neutre pour l’addition :
x
,
xxx  00
(5)  contient l’opposé de chacun de ses éléments :
si
x
, alors
 )( x
 et
xxxx  )(0)(
 \
0
, est un groupe commutatif :
(6)
 yx,
,
 yx
(7)
 zyx ,,
,
)()( zyxzyx 
(8)
 yx,
,
xyyx 
(9)  contient un élément neutre pour la multiplication :
x
,
xxx  11
(10) \
0
contient l’inverse de chacun de ses éléments :
si
x
\
0
, alors
x
1
\
0
et
x
xx
x 1 1
1
 La multiplication est distributive sur l’addition :
(11)
 zyx ,,
,
yzxzyxz  )(
 La relation d’ordre vérifie :
(12)
 yx,
,
yx 
ou
xy 
(13)
 zyx ,,
,
yx 
et
zy 
zx 
(14)
 zyx ,,
,
yx 
zyzx 
(15)
 zyx ,,
,
yx 
et
z0
zyzx 

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2. Remarque
La relation se lit « plus petit ou égal à». D’autres relations sont définies à partir de
celle-ci :
 La relation « plus grand ou égal à», notée :
xyyx 
.
 La relation « plus petit que », notée :
yxyx 
et
yx 
.
 La relation « plus grand que », notée :
yxyx 
et
yx 
.
3. Propriétés d’Archimède
3.1.Propriété 1
Si a et b sont des réels tels que
0a
et
0b
, alors il existe un naturel n tel que
nba
.
3.2.Propriété 2
Si
a
, alors il existe un unique entier n tel que
1 nan
.
L’entier n est appelé partie entière de a, et noté
aE
ou
a
.
4. Sous-ensembles de 
4.1.Sous-ensembles particuliers
 + =
x
 :
0x
 - =
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x
4.2.Intervalles de 
Soit a et b deux réels tels que
ba 
.
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle fermé
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle ouvert
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle mixte
ba,
x
 :
bxa 
,a
x
 :
xa 
,a
x
 :
xa 
 b,
x
 :
bx 
 b,
x
 :
bx 
 ,
Intervalles bornés
(voir pt.5)
Intervalles non bornés
(voir pt. 5)

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4.3.Voisinages
 Soit a. Le sous-ensemble V de  est un voisinage du point a si V est (ou contient) un
intervalle ouvert contenant a. Notons V (a) l’ensemble des voisinages de a.
 Le sous-ensemble V de  est un voisinage de s’il existe un réel A tel que V égale
(ou contient) l’intervalle
,A
. Notons V ( ) l’ensemble des voisinages de .
 Le sous-ensemble V de  est un voisinage de s’il existe un réel A tel que V égale
(ou contient) l’intervalle
A,
. Notons V ( ) l’ensemble des voisinages de .
5. Majoration – Minoration
5.1. définitions
Soit P une partie de .
5.1.1. Partie majorée – Majorant : la partie P est dite majorée s’il existe un réel M tel que
Mx 
pour tout xP. On dit que M est un majorant de P.
5.1.2. Partie minorée – Minorant : la partie P est dite minorée s’il existe un réel m tel que
Mx 
pour tout xP. On dit que m est un minorant de P.
5.1.3. Partie bornée : la partie P est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
5.1.4. Borne supérieure : si P est majorée, alors la borne supérieure de P est, s’il existe, le
plus petit majorant de P. Autrement dit, M est la borne supérieure de P si et seulement si
x
P,
Mx 
MxMPx  ,,0
5.1.5. Borne inférieure: si P est minorée, alors la borne inférieure de P est, s’il existe, le
plus grand minorant de P. Autrement dit, m est la borne inférieure de P si et seulement si
x
,
mx 
 mxmPx ,,0
5.2.Théorème
Toute partie non vide majorée (respectivement minorée) de  admet une borne supérieure
(respectivement inférieure).
5.3.Exemples
5.3.1. L’intervalle
2,
1P
est majoré. Sa borne supérieure est M = 2. Cet intervalle n’est
pas minoré.
5.3.2. L’intervalle
,0
2
P
est minoré. Sa borne inférieure est m = 0. Cet intervalle n’est
pas majoré.
5.3.3. L’intervalle
2,0
3P
est borné. Sa borne supérieure est M = 2 et sa borne inférieure
est m = 0.
5.3.4. L’ensemble
 nulnonnatureln
n
xP ;
1
1
4
est borné. Sa borne supérieure est
M = 1 et sa borne inférieure est m = 0.

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II. Fonctions d’une variable réelle
6. Définition
Une fonction f de la variable réelle x définie sur une partie P de  est une application de P dans
. La partie P est appelée domaine de définition de f. La fonction f associe à chaque
Px
un
nombre réel noté
xf
.
Notations :
 Le domaine de définition de f est noté
fdom
.
 Pour décrire une fonction f, nous noterons
fdomf:
 :
xfx 
 La fonction f restreinte à la partie A de  est notée
A
f
.
Cette fonction est définie pour tout
fdomAx 
par
xfxf A
.
Exemples :
 f :   :
1
2xx 
 g : \
3,2
 :
65
1
2 xx
x
 h :
 2,2
 :
2
4
sin
x
x
x
7. Opérations sur les fonctions
Soit
fdomf:
 :
xfx 
et
gdomg:
 :
xgx 
. On définit :
 gdomfdomgf :
 :
xgxfx 
 gdomfdomgf :
 :
xgxfx 
 gdomfdomgf :
 :
xgxfx 
0)(:: xggdomxfdom
g
f
 :
xg xf
x
 fdomxggdomxgf ::
 :
xgfx 
Exemple :
Si
x
xf 1
et
1
2 xxg
, alors
fdom
= 
0
,
gdom
 et
:gf 
0
→ :
1
12 x
x
x
:gf 
0
→ :
1
12 x
x
x
:gf 
0
→ :
x
xx 1
:
g
f
0
→ :
1
1
2xx
x
:
f
g
0
→ :
1
2xxx 
:gf 
→ :
1
1
2x
x
:fg 
0
→ :
1
12
x
x