Exercice d'algèbre M P -

A-50
Exercice d'algèbre
• décomposer des trinômes en facteurs
Les trinômes décomposés en facteurs devraient être exprimés sous la forme ax2+ bx + c, où a= 1
ou aest un nombre premier inférieur à 10. La valeur c devrait avoir un nombre minimal de
facteurs.
Exemple
Décompose en facteurs :
a) x2+ 5x+ 6
b) x2+ 9x– 10
c) 2x2– 5x+ 3
d) x2– 4x– 12
e) 2 cos2x+ cos x– 1
f) 5 tan2x– 12 tan x+ 7
Solutions
a) (x+ 3)(x+ 2)
b) (x+ 10)(x– 1)
c) (2x– 3)(x– 1)
d) (x– 6)(x+ 2)
e) (2 cos x– 1)(cos x+ 1)
f) (5 tan x– 7)(tan x– 1)
• trouver des valeurs de a, bou cquand deux des trois valeurs sont données
Exemple
Soit ax2+ bx + c; trouve les valeurs possibles de bsi :
a) a= 1, c= 6
b) a= 2, c= –5
Solutions
a) x2+ bx + 6 pourrait être décomposée en facteurs :
(x+ 6)(x+ 1) ⇒b= 7
(x– 6)(x– 1) ⇒b = –7
(x+ 2)(x+ 3) ⇒b = 5
(x– 2)(x– 3) ⇒b = –5
∴la valeur de bpourrait être ±5, ±7
b) 2x2+ bx – 5 pourrait être décomposée en facteurs : (2x+ 5)(x– 1) ⇒b= 3
(2x– 5)(x+ 1) ⇒b= –3
(2x+ 1)(x– 5) ⇒b= –9
(2x– 1)(x+ 5) ⇒b= 9
∴la valeur de bpourrait être ±3, ±9
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 4• Fonctions Circulaires
Annexe A-1

A-51
• décomposer en facteurs la différence de carrés
Exemple
Décompose complètement en facteurs chacune des expressions suivantes :
a) x2– 4
b) x2y2– 1
c) cos2x– sin2x
d) x2– 49
e) x4– 16
Solutions
a) (x– 2)(x+ 2)
b) (xy – 1)(xy + 1)
c) (cos x– sin x)(cos x+ sin x)
d) (x– 7)(x+ 7)
e) (x– 2)(x+ 2)(x2+ 4)
• décomposer en facteurs communs
Exemple
Décompose complètement en facteurs chacune des expressions suivantes :
a) 9x2+ 18
b) 2x2+ 6x+ 4
c) sin x– sin xcos x
d) 8x2– 32
Solutions
a) 9(x2+ 2)
b) 2(x+ 2)(x+ 1)
c) sin x(1 – cos x)
d) 8(x– 2)(x+ 2)
• résoudre des questions qui font appel à la décomposition en facteurs
Les élèves devraient être en mesure de résoudre des équations simples sans démontrer les étapes
de la décomposition en facteurs.
Exemple
Trouve la valeur de xdans chacune des équations suivantes :
a) x2– 4 = 0
b) x2+ 3x+ 2 = 0
c) 4x2+ x= 0
Solutions
a) x= 2, –2
b) x= –2, x= –1
1
c) x= 0, x= – 4
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 4• Fonctions Circulaires

A-52
• simplifier des fractions complexes
Les élèves devraient être en mesure de simplifier des fractions complexes pour qu'elles contiennent
un seul numérateur et un seul dénominateur.
Dans le cours de calcul universitaire, revêt une grande importance. Les
élèves de ce cours devraient être en mesure de manipuler des expressions rationnelles afin d'être à
l'aise avec l'expression .
Exemple
Simplifie :
a)
b)
c)
d)
Solutions
a)
b)
c)
d)
−
+
2
22
cos sin
sin cos
xx
xx
3
()()( )()
(
xxhxhx
xh
+−−−+
−
12 1 2
22
+++11)( )x
xx+
+
2
41
xx sin sin
−
1cos
sin
cos cos sin
x
x
xx x
+
3
2
1
2
xh
xh x x
()−
−+−+
2121
22
x
x
x
x
+
−
+
−
2
1
41
1
fx h fx
h
()()+−
fx h fx
h
()()+−
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 4• Fonctions Circulaires

A-53
• trouver le plus petit dénominateur commun de deux ou trois expressions rationnelles
quand les dénominateurs sont faciles à décomposer en facteurs ou quand ils sont déjà
mis en facteurs
Exemple
Trouve le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles suivantes :
2x– 1 x
a) ;
x2– 4 x– 2
x2+ 3x+ 2 x2
b) ;
2x2+ 7x+ 3 x2– 9
sin x 1 – sin x
c) ;
cos xsin x
Solutions
a) (x– 2)(x+ 2) ou x2– 4
b) (2x+ 1)(x– 3)(x+ 3) ou (2x+ 1)(x2– 9)
c) cos xsin x
• simplifier des radicaux
Exemple 1
Simplifie :
a)
b)
c)
Solutions
a)
b)
c)
3
72
25
3
3
98
20
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 4• Fonctions Circulaires

A-54
• simplifier des radicaux (suite)
Exemple 2
Rationalise les numérateurs :
a)
b)
Solutions
a)
b)
h
hxh x
−
−−+ −
()
5
55151
ou −−
−−+ −
5
55151xh x
1
ou
()
h
hxh x xh x
−−
−+ −+
xh x
h
−−− −55151
xh x
h
−−
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