23 Division euclidienne dans Z

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Division euclidienne dans Z
23.1 L’anneau Zdes entiers relatifs
On désigne par Zl’ensemble des entiers relatifs, soit :
Z={··· ,−n, ··· ,−2,−1,0,1,2,··· , n, ···}.
On note Z∗l’ensemble Zprivé de 0.
On rappelle que l’ensemble (Z,+,·)des entiers relatifs est un anneau unitaire, commutatif
et intègre.
En pratique on notera plutôt nm pour n·m.
L’ensemble Zest muni comme l’ensemble Ndes entiers naturels d’une relation d’ordre total.
C’est la relation ≤.Cette relation est :
–réflexive :
∀n∈Z, n ≤n,
–antisymétrique :
∀n∈Z,∀m∈Z,(n≤m, m ≤n)⇔n=m,
–transitive :
∀n∈Z,∀m∈Z,∀p∈Z,½n≤m
m≤p⇒n≤p.
–Deux éléments quelconques de Zsont comparables (l’ordre est total). C’est-à-dire que
pour n, m dans Zon a soit n≤msoit m≤n.
On dit qu’une partie Anon vide de Zest minorée s’il existe un entier mtel que :
∀n∈A, n ≥m.
Si de plus mest dans Aon dit alors que c’est un plus petit élément. Dans ce cas il est
uniquement déterminé.
On dit qu’une partie Anon vide de Zest majorée s’il existe un entier Mtel que :
∀n∈A, n ≤M.
Si de plus Mest dans Aon dit alors que c’est un plus grand élément. Dans ce cas il est
uniquement déterminé.
L’ensemble Zest bien ordonné, c’est-à-dire que :
–toute partie non vide et minorée de Zadmet un plus petit élément ;
–toute partie non vide et majorée de Zadmet un plus grand élément.
395

396 Division euclidienne dans Z
23.2 Divisibilité et congruences
Définition 23.1 On dit que l’entier relatif aest divisible par l’entier relatif d, ou que aest un
multiple de d, s’il existe un entier relatif qtel que a=qd. On note d/a.
Remarque 23.1 Si d= 0 alors a= 0 et pour d6= 0 l’entier qest uniquement déterminé (une
égalité a=dq =dq0entraîne d(q−q0) = 0 et q−q0= 0 puisque Zest intègre).
On se limitera donc au cas où d∈Z∗.
Remarque 23.2 La relation de divisibilité est une relation d’ordre non totale sur N.C’est à
dire qu’elle est :
— réflexive : pour tout a∈N, a/a ;
— antisymétrique : si a/b et b/a dans Nalors a=b;
— transitive : si a/b et b/c dans Nalors a/c.
Deux éléments quelconques de Nne sont pas toujours comparables. Par exemple on n’a aucune
relation de divisibilité entre 3et 5dans N.
Sur Zon a les propriétés suivantes :
–les seuls diviseurs de 1sont 1et −1;
–si d/a et a6= 0,alors |d| ≤ |a|(si a= 0,on a 0 = 0 ·dpour tout d∈Z)
–si a/b et b/a dans Zalors |a|=|b|,(si a = 0,alors b= 0), soit a=±b(la relation de
divisibilité n’est donc pas antisymétrique sur Z,elle est seulement réflexive et transitive
et ce n’est pas une relation d’ordre) ;
–si d/a et d/b dans Zalors d/ (λa +µb)pour tous λ, µ dans Z.
Pour tout entier relatif n, on note :
nZ={n·q|q∈Z}
l’ensemble de tous les multiples de net :
Dn={q∈Z|qdivise n}
l’ensemble de tous les diviseurs de n.
Exercice 23.1 Montrer que, pour tout entier relatif n, nZest un sous-groupe additif de Z.
Solution 23.1 On a 0 = n·0∈nZet pour a=pn, b =qn dans nZ,on a, b−a= (q−p)n∈
nZ.Donc nZest un sous-groupe de Z.
En particulier, on a 0Z={0},D0=Z,1Z=Z,D1={−1,1}.
Nous verrons plus loin que les nZsont les seuls sous-groupes de (Z,+) .
On peut remarquer que pour tout a=qn ∈nZet tout b∈Z,on a ab =bqn ∈nZ,ce qui se
traduit en disant que nZest un idéal de Z.
Exercice 23.2 Montrer que pour tous a, b dans Z,on a :
aZ⊂bZ⇔b/a ⇔ Db⊂ Da
et :
aZ=bZ⇔a=±b⇔ Da=Db.

Divisibilité et congruences 397
Solution 23.2 Si aZ⊂bZ,on a alors a∈bZ,c’est-à-dire qu’il existe un entier qtel que
a=bq et b/a.
Si b/a, on a alors a=qb avec q∈Zet tout diviseur δde bva diviser a, ce qui signifie que
Db⊂ Da.
Si Db⊂ Da,on a alors b∈ Da,c’est-à-dire qu’il existe un entier qtel que a=bq et pour tout
pa dans aZ,on a pa =pqb ∈bZ,c’est-à-dire que aZ⊂bZ.
On a donc ainsi montré la première série d’équivalence.
Si aZ=bZ,on a alors aZ⊂bZet bZ⊂aZ,donc b/a et a/b et a=±b.
Si a=±b, les entiers aet bont les mêmes diviseurs, ce qui signifie que Da=Db.
Si Da=Db,on a alors Da⊂ Dbet Db⊂ Da,donc b/a et a/b et a=±bqui équivaut à aZ=bZ.
Exercice 23.3 Déterminer tous les entiers naturels non nuls ntels que n+ 1 divise n2+ 1.
Solution 23.3 Pour tout n≥1,on a :
n2+ 1 = n(n+ 1) −(n−1)
et si n+ 1 divise n2+ 1,il va aussi diviser n−1,c’est-à-dire qu’il existe q∈Ntel que
n−1 = q(n+ 1) .La seule valeur possible pour qest alors q= 0,car q≥1entraîne n−1≥n+1
qui est impossible. On a donc nécessairement n= 1 et réciproquement cette valeur convient bien.
Exercice 23.4 Déterminer tous les entiers relatifs ndifférents de 3tels que n−3divise n3−3.
Solution 23.4 Pour tout n∈Z,on a :
n3−3 = (n−3 + 3)3−3 = q(n−3) + 33−3
=q(n−3) + 24
et si n−3divise n3−3,il divise alors 24,c’est-à-dire que :
n−3∈ {±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24}
et :
n∈ {−21,−9,−5,−3,−1,0,1,2,4,5,6,7,9,11,15,27}.
Réciproquement ces valeurs conviennent bien.
Définition 23.2 Soient nun entier naturel et a, b deux entiers relatifs. On dit que aest congru
àbmodulo nsi ndivise a−b. On note
a≡b(n)
Dire que aest congru à bmodulo néquivaut aussi à dire que a−b∈nZ.
Pour n= 0,on a 0Z={0}et a≡b(0) revient à dire que a=b.
Pour n= 1,on a 1Z=Zet la relation a≡b(1) est toujours vérifiée.
On suppose donc, dans ce qui suit que n≥2.
On peut facilement vérifier que la relation de congruence est une relation d’équivalence.
C’est-à-dire que :
–a≡a(n)(a−a= 0 ∈nZ) ;
–a≡b(n)⇒b≡a(n)(a−b∈nZentraîne b−a∈nZpuisque nZest un groupe) ;
–(a≡b(n), b ≡c(n)) ⇒a≡c(n)(a−b∈nZet b−c∈nZentraîne a−c= (a−b)−
(c−b)∈nZpuisque nZest un groupe).

398 Division euclidienne dans Z
Cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication sur Z.C’est-à-dire que :
(a≡b(n), c ≡d(n)) ⇒(a+c≡b+d(n), ac ≡bd (n)) .
En effet a−b∈nZet c−d∈nZentraîne a+c−(b+d) = (a−b) + (c−d)∈nZpuisque
nZest un groupe et ac −bd =a(c−d) + d(a−b)∈nZpuisque nZest un idéal de Z.
Cette compatibilité permet de munir l’ensemble Zndes classes d’équivalence modulo nd’une
structure d’anneau (voir le chapitre 25).
Exercice 23.5 Soient xet ydans Z.Montrer que si 3x+ 7yest multiple de 11 alors 4x−9y
est aussi multiple de 11.
Solution 23.5 On a 3x≡7y(11) donc 15x≡ −35y(11) avec 15x≡4x(11) et −35y≡
9y(11) .
Exercice 23.6 Soient aet bdans Z.Montrer que si p=a2+b2est impair supérieur ou égal
à3alors p−1est multiple de 4.
Solution 23.6 Tout entier kest congru à 0,1,2ou 3modulo 4,donc k2est congru à 0ou 1
modulo 4et a2+b2est congru à 0,1ou 2modulo 4.Si pest impair et p=a2+b2alors pest
congru à 1modulo 4et p−1est multiple de 4.
Exercice 23.7 Soient p, q deux entiers naturels impairs et a= 3p+ 2, b = 3q+ 2.Déterminer
tous les entiers naturels ntels que an−b2nsoit divisible par 6.
Solution 23.7 L’entier m=an−b2nest pair comme différence de nombres impairs. Il est
donc divisible par 6si, et seulement si, il est divisible par 3.Avec a≡2 (3) et b≡2 (3) on
déduit que m≡2n−22n(3) et mest divisible par 3si, et seulement si 2n−22n≡0 (3) ce qui
équivaut à 2n≡1 (3) encore équivalent à dire que nest pair.
23.3 Le théorème de division euclidienne dans Z
Théorème 23.1 Soit (a, b)∈Z×Z∗.Il existe un unique couple (q, r)∈Z×Ntel que :
½a=bq +r,
0≤r < |b|.(23.1)
Démonstration. On suppose que b > 0et on pose :
A={k∈Z|bk ≤a}.
Cet ensemble est non vide (pour a≥0,0est dans Aet pour a < 0, a est dans A) et majoré
(pour a≥0, a majore Aet pour a < 0,0majore A). Il admet donc un plus grand élément q
qui vérifie :
qb ≤a < (q+ 1) b.
Il suffit alors de poser r=a−bq.
Pour b < 0on travaille avec −bet on a l’existence de (q0, r0)vérifiant :
½a=−bq0+r0,
0≤r0<−b.

Le théorème de division euclidienne dans Z399
Et il suffit de poser q=−q0, r =r0.
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q, r)et (q0, r0)vérifiant (23.1) avec q6=q0.On
a alors :
|r−r0|=|b(q−q0)| ≥ |b|
avec ret r0dans ]−|b|,|b|[ce qui est impossible. On a donc q=q0et r=r0.Le couple (q, r)
vérifiant (23.1) est donc unique.
Définition 23.3 Avec les notations du théorème 23.1 on dit que aest le dividende, ble diviseur,
qle quotient et rle reste dans la division euclidienne de apar b.
L’anneau Zest un cas particulier d’anneau euclidien et l’application n∈Z∗7→ |n|est un
stathme euclidien.
Dire que le reste dans la division euclidienne de apar best nul revient aussi à dire que b
divise a.
En utilisant la division euclidienne par un entier naturel non nul n, a =qn +ravec q∈Z
et r∈ {0,1,··· , n −1},on voit que aest congru modulo nau reste r. Réciproquement, si a
est congru à un entier r∈ {0,1,··· , n −1},alors rest le reste dans la division euclidienne de
apar n. C’est-à-dire que le reste dans la division euclidienne de apar nest l’unique entier r
vérifiant : a≡r(n),
0≤r < n.
Remarque 23.3 On peut montrer un résultat analogue au théorème 23.1 avec la condition
|r|< b (en supposant b > 0), mais dans ce cas le couple (q, r)n’est pas unique. Par exemple on
a :
12 = 3 ×5−3 = 2 ×5 + 2.
On peut également formuler le théorème de division euclidienne comme suit.
Théorème 23.2 Soit (a, b)∈Z×Z∗.Il existe un unique entier q∈Ztel que :
0≤a−bq < |b|.(23.2)
Pour b∈Z∗,l’encadrement (23.2) peut aussi s’écrire :
b
|b|q≤a |b|<b |b|q+ 1
ce qui donne
q≤a
b< b + 1
pour b > 0et signifie que q=ha
bi(partie entière de a b).
Pour b < 0,on a −q≤ −a
b<−q+ 1,soit q−1<a b≤qet q−1 = ha bisi le reste r=a−bq
est non nul et q=a
b=ha bisi le reste est nul.
Remarque 23.4 La démonstration précédente du théorème de division euclidienne n’est pas
constructive. Un algorithme de détermination du quotient et du reste est donné par la méthode
de descente infinie de Fermat qui revient à faire une démonstration par récurrence du théorème
23.1.