23 Division euclidienne dans Z

23
Division euclidienne dans Z
23.1
L’anneau Z des entiers relatifs
On désigne par Z l’ensemble des entiers relatifs, soit :
Z = {· · · , −n, · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · , n, · · · } .
On note Z∗ l’ensemble Z privé de 0.
On rappelle que l’ensemble (Z, +, ·) des entiers relatifs est un anneau unitaire, commutatif
et intègre.
En pratique on notera plutôt nm pour n · m.
L’ensemble Z est muni comme l’ensemble N des entiers naturels d’une relation d’ordre total.
C’est la relation ≤ . Cette relation est :
– réflexive :
∀n ∈ Z, n ≤ n,
– antisymétrique :
∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, (n ≤ m, m ≤ n) ⇔ n = m,
– transitive :
½
∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, ∀p ∈ Z,
n≤m
⇒ n ≤ p.
m≤p
– Deux éléments quelconques de Z sont comparables (l’ordre est total). C’est-à-dire que
pour n, m dans Z on a soit n ≤ m soit m ≤ n.
On dit qu’une partie A non vide de Z est minorée s’il existe un entier m tel que :
∀n ∈ A, n ≥ m.
Si de plus m est dans A on dit alors que c’est un plus petit élément. Dans ce cas il est
uniquement déterminé.
On dit qu’une partie A non vide de Z est majorée s’il existe un entier M tel que :
∀n ∈ A, n ≤ M.
Si de plus M est dans A on dit alors que c’est un plus grand élément. Dans ce cas il est
uniquement déterminé.
L’ensemble Z est bien ordonné, c’est-à-dire que :
– toute partie non vide et minorée de Z admet un plus petit élément ;
– toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément.
395
396
23.2
Division euclidienne dans Z
Divisibilité et congruences
Définition 23.1 On dit que l’entier relatif a est divisible par l’entier relatif d, ou que a est un
multiple de d, s’il existe un entier relatif q tel que a = qd. On note d/a.
Remarque 23.1 Si d = 0 alors a = 0 et pour d 6= 0 l’entier q est uniquement déterminé (une
égalité a = dq = dq 0 entraîne d (q − q 0 ) = 0 et q − q 0 = 0 puisque Z est intègre).
On se limitera donc au cas où d ∈ Z∗ .
Remarque 23.2 La relation de divisibilité est une relation d’ordre non totale sur N. C’est à
dire qu’elle est :
— réflexive : pour tout a ∈ N, a/a ;
— antisymétrique : si a/b et b/a dans N alors a = b ;
— transitive : si a/b et b/c dans N alors a/c.
Deux éléments quelconques de N ne sont pas toujours comparables. Par exemple on n’a aucune
relation de divisibilité entre 3 et 5 dans N.
Sur Z on a les propriétés suivantes :
– les seuls diviseurs de 1 sont 1 et −1 ;
– si d/a et a 6= 0, alors |d| ≤ |a| (si a = 0, on a 0 = 0 · d pour tout d ∈ Z)
– si a/b et b/a dans Z alors |a| = |b| , (si a = 0, alors b = 0), soit a = ±b (la relation de
divisibilité n’est donc pas antisymétrique sur Z, elle est seulement réflexive et transitive
et ce n’est pas une relation d’ordre) ;
– si d/a et d/b dans Z alors d/ (λa + µb) pour tous λ, µ dans Z.
Pour tout entier relatif n, on note :
nZ = {n · q | q ∈ Z}
l’ensemble de tous les multiples de n et :
Dn = {q ∈ Z | q divise n}
l’ensemble de tous les diviseurs de n.
Exercice 23.1 Montrer que, pour tout entier relatif n, nZ est un sous-groupe additif de Z.
Solution 23.1 On a 0 = n · 0 ∈ nZ et pour a = pn, b = qn dans nZ, on a, b − a = (q − p) n ∈
nZ. Donc nZ est un sous-groupe de Z.
En particulier, on a 0Z = {0} , D0 = Z, 1Z = Z, D1 = {−1, 1} .
Nous verrons plus loin que les nZ sont les seuls sous-groupes de (Z, +) .
On peut remarquer que pour tout a = qn ∈ nZ et tout b ∈ Z, on a ab = bqn ∈ nZ, ce qui se
traduit en disant que nZ est un idéal de Z.
Exercice 23.2 Montrer que pour tous a, b dans Z, on a :
aZ ⊂ bZ ⇔ b/a ⇔ Db ⊂ Da
et :
aZ = bZ ⇔ a = ±b ⇔ Da = Db .
Divisibilité et congruences
397
Solution 23.2 Si aZ ⊂ bZ, on a alors a ∈ bZ, c’est-à-dire qu’il existe un entier q tel que
a = bq et b/a.
Si b/a, on a alors a = qb avec q ∈ Z et tout diviseur δ de b va diviser a, ce qui signifie que
Db ⊂ D a .
Si Db ⊂ Da , on a alors b ∈ Da , c’est-à-dire qu’il existe un entier q tel que a = bq et pour tout
pa dans aZ, on a pa = pqb ∈ bZ, c’est-à-dire que aZ ⊂ bZ.
On a donc ainsi montré la première série d’équivalence.
Si aZ = bZ, on a alors aZ ⊂ bZ et bZ ⊂ aZ, donc b/a et a/b et a = ±b.
Si a = ±b, les entiers a et b ont les mêmes diviseurs, ce qui signifie que Da = Db .
Si Da = Db , on a alors Da ⊂ Db et Db ⊂ Da , donc b/a et a/b et a = ±b qui équivaut à aZ = bZ.
Exercice 23.3 Déterminer tous les entiers naturels non nuls n tels que n + 1 divise n2 + 1.
Solution 23.3 Pour tout n ≥ 1, on a :
n2 + 1 = n (n + 1) − (n − 1)
et si n + 1 divise n2 + 1, il va aussi diviser n − 1, c’est-à-dire qu’il existe q ∈ N tel que
n−1 = q (n + 1) . La seule valeur possible pour q est alors q = 0, car q ≥ 1 entraîne n−1 ≥ n+1
qui est impossible. On a donc nécessairement n = 1 et réciproquement cette valeur convient bien.
Exercice 23.4 Déterminer tous les entiers relatifs n différents de 3 tels que n−3 divise n3 −3.
Solution 23.4 Pour tout n ∈ Z, on a :
n3 − 3 = (n − 3 + 3)3 − 3 = q (n − 3) + 33 − 3
= q (n − 3) + 24
et si n − 3 divise n3 − 3, il divise alors 24, c’est-à-dire que :
n − 3 ∈ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}
et :
n ∈ {−21, −9, −5, −3, −1, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 27} .
Réciproquement ces valeurs conviennent bien.
Définition 23.2 Soient n un entier naturel et a, b deux entiers relatifs. On dit que a est congru
à b modulo n si n divise a − b. On note
a ≡ b (n)
Dire que a est congru à b modulo n équivaut aussi à dire que a − b ∈ nZ.
Pour n = 0, on a 0Z = {0} et a ≡ b (0) revient à dire que a = b.
Pour n = 1, on a 1Z = Z et la relation a ≡ b (1) est toujours vérifiée.
On suppose donc, dans ce qui suit que n ≥ 2.
On peut facilement vérifier que la relation de congruence est une relation d’équivalence.
C’est-à-dire que :
– a ≡ a (n) (a − a = 0 ∈ nZ) ;
– a ≡ b (n) ⇒ b ≡ a (n) (a − b ∈ nZ entraîne b − a ∈ nZ puisque nZ est un groupe) ;
– (a ≡ b (n) , b ≡ c (n)) ⇒ a ≡ c (n) (a − b ∈ nZ et b − c ∈ nZ entraîne a − c = (a − b) −
(c − b) ∈ nZ puisque nZ est un groupe).
398
Division euclidienne dans Z
Cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication sur Z. C’est-à-dire que :
(a ≡ b (n) , c ≡ d (n)) ⇒ (a + c ≡ b + d (n) , ac ≡ bd (n)) .
En effet a − b ∈ nZ et c − d ∈ nZ entraîne a + c − (b + d) = (a − b) + (c − d) ∈ nZ puisque
nZ est un groupe et ac − bd = a (c − d) + d (a − b) ∈ nZ puisque nZ est un idéal de Z.
Cette compatibilité permet de munir l’ensemble Zn des classes d’équivalence modulo n d’une
structure d’anneau (voir le chapitre 25).
Exercice 23.5 Soient x et y dans Z. Montrer que si 3x + 7y est multiple de 11 alors 4x − 9y
est aussi multiple de 11.
Solution 23.5 On a 3x ≡ 7y (11) donc 15x ≡ −35y (11) avec 15x ≡ 4x (11) et −35y ≡
9y (11) .
Exercice 23.6 Soient a et b dans Z. Montrer que si p = a2 + b2 est impair supérieur ou égal
à 3 alors p − 1 est multiple de 4.
Solution 23.6 Tout entier k est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4, donc k 2 est congru à 0 ou 1
modulo 4 et a2 + b2 est congru à 0, 1 ou 2 modulo 4. Si p est impair et p = a2 + b2 alors p est
congru à 1 modulo 4 et p − 1 est multiple de 4.
Exercice 23.7 Soient p, q deux entiers naturels impairs et a = 3p + 2, b = 3q + 2. Déterminer
tous les entiers naturels n tels que an − b2n soit divisible par 6.
Solution 23.7 L’entier m = an − b2n est pair comme différence de nombres impairs. Il est
donc divisible par 6 si, et seulement si, il est divisible par 3. Avec a ≡ 2 (3) et b ≡ 2 (3) on
déduit que m ≡ 2n − 22n (3) et m est divisible par 3 si, et seulement si 2n − 22n ≡ 0 (3) ce qui
équivaut à 2n ≡ 1 (3) encore équivalent à dire que n est pair.
23.3
Le théorème de division euclidienne dans Z
Théorème 23.1 Soit (a, b) ∈ Z × Z∗ . Il existe un unique couple (q, r) ∈ Z × N tel que :
½
a = bq + r,
(23.1)
0 ≤ r < |b| .
Démonstration. On suppose que b > 0 et on pose :
A = {k ∈ Z | bk ≤ a} .
Cet ensemble est non vide (pour a ≥ 0, 0 est dans A et pour a < 0, a est dans A) et majoré
(pour a ≥ 0, a majore A et pour a < 0, 0 majore A). Il admet donc un plus grand élément q
qui vérifie :
qb ≤ a < (q + 1) b.
Il suffit alors de poser r = a − bq.
Pour b < 0 on travaille avec −b et on a l’existence de (q 0 , r0 ) vérifiant :
½
a = −bq 0 + r0 ,
0 ≤ r0 < −b.
Le théorème de division euclidienne dans Z
399
Et il suffit de poser q = −q 0 , r = r0 .
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q, r) et (q 0 , r0 ) vérifiant (23.1) avec q 6= q 0 . On
a alors :
|r − r0 | = |b (q − q 0 )| ≥ |b|
avec r et r0 dans ]− |b| , |b|[ ce qui est impossible. On a donc q = q 0 et r = r0 . Le couple (q, r)
vérifiant (23.1) est donc unique.
Définition 23.3 Avec les notations du théorème 23.1 on dit que a est le dividende, b le diviseur,
q le quotient et r le reste dans la division euclidienne de a par b.
L’anneau Z est un cas particulier d’anneau euclidien et l’application n ∈ Z∗ 7→ |n| est un
stathme euclidien.
Dire que le reste dans la division euclidienne de a par b est nul revient aussi à dire que b
divise a.
En utilisant la division euclidienne par un entier naturel non nul n, a = qn + r avec q ∈ Z
et r ∈ {0, 1, · · · , n − 1} , on voit que a est congru modulo n au reste r. Réciproquement, si a
est congru à un entier r ∈ {0, 1, · · · , n − 1} , alors r est le reste dans la division euclidienne de
a par n. C’est-à-dire que le reste dans la division euclidienne de a par n est l’unique entier r
vérifiant :
a ≡ r (n) ,
0 ≤ r < n.
Remarque 23.3 On peut montrer un résultat analogue au théorème 23.1 avec la condition
|r| < b (en supposant b > 0), mais dans ce cas le couple (q, r) n’est pas unique. Par exemple on
a:
12 = 3 × 5 − 3 = 2 × 5 + 2.
On peut également formuler le théorème de division euclidienne comme suit.
Théorème 23.2 Soit (a, b) ∈ Z × Z∗ . Il existe un unique entier q ∈ Z tel que :
0 ≤ a − bq < |b| .
(23.2)
Pour b ∈ Z∗ , l’encadrement (23.2) peut aussi s’écrire :
b
a
b
q≤
< q+1
|b|
|b|
|b|
ce qui donne
a
<b+1
b
hai
a
(partie entière de ).
pour b > 0 et signifie que q =
b
b
hai
a
a
si le reste r = a − bq
Pour b < 0, on a −q ≤ − < −q + 1, soit q − 1 < ≤ q et q − 1 =
b
b
b
a hai
est non nul et q = =
si le reste est nul.
b
b
q≤
Remarque 23.4 La démonstration précédente du théorème de division euclidienne n’est pas
constructive. Un algorithme de détermination du quotient et du reste est donné par la méthode
de descente infinie de Fermat qui revient à faire une démonstration par récurrence du théorème
23.1.
400
Division euclidienne dans Z
Le principe est le suivant en supposant a et b strictement positifs.
Si a < b, on prend alors (q, r) = (0, a) .
Si b ≤ a, il existe alors un entier q1 ≥ 1 tel que q1 b ≤ a et on pose r1 = a − bq1 .
Si r1 < b on prend alors (q, r) = (q1 , r1 ) .
Si b ≤ r1 , il existe alors un entier q2 ≥ 1 tel que q2 b ≤ r1 et on pose r2 = r1 − bq2 .
En continuant ainsi de suite on construit deux suites d’entiers (qn ) et (rn ) par la relation de
récurrence :
si rn < b alors (qn+1 , rn+1 ) = (qn , rn ) ;
si b ≤ rn alors qn+1 est choisi tel que qn+1 b ≤ rn et on pose rn+1 = rn − bqn+1 .
La suite (rn ) est une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Le procédé s’arrêtera
donc au bout d’un nombre fini d’étapes, c’est-à-dire qu’il existe un entier p tel que rp < b et
dans ce cas le couple :
(q, r) = (q1 + · · · + qp , rp )
est la solution cherchée. En effet on a :
0 ≤ rp = rp−1 − qp b = a − (q1 + · · · + qp ) b < b.
Exercice 23.8 Calculer, pour tout entier naturel n, le reste dans la division euclidienne par
13 de l’entier xn = 42n+1 + 3n+2 .
Solution 23.8 On a :
xn = 4 · 42n + 9 · 3n = 4 · 16n + 9 · 3n
= 4 (16n − 3n ) + (4 + 9) 3n
n
X
16n−k 3k−1 + 13 · 3n = 13yn .
= 4 (16 − 3)
k=1
Le reste dans la division euclidienne par 13 de xn est donc nul, le quotient étant donné par :
qn = 4
n
X
16n−k 3k−1 + 3n
k=1
Ce exercice peut en fait se généraliser comme suit.
Exercice 23.9 Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que a > b. Donner une condition suffisante sur les entiers a et b pour que tous les entiers xn = a2n+1 + bn+2 , où n est un
entier naturel, soient divisibles par a + b2 .
Solution 23.9 On a :
¡ ¢n
xn = a · a2n + b2 · bn = a · a2 + b2 · bn
¡¡ ¢n
¢ ¡
¢
= a a2 − bn + a + b2 bn
n
¡ 2
¢X
¡ 2 ¢n−k k−1 ¡
¢
=a a −b
a
b
+ a + b2 bn .
k=1
Si a = b + 1 (i. e. b et a sont deux entiers consécutifs), alors a2 − b = b2 + b + 1 = a + b2 et xn
est divisible par a + b2 pour tout n (la condition a2 = b n’est pas possible puisqu’on suppose que
b < a).
Pour (a, b) = (4, 3) on retrouve l’exercice précédent).
Les systèmes de numération
401
Exercice 23.10 Soient a, b deux entiers relatifs. Montrer que si a2 + b2 est divisible par 7,
alors a et b sont divisibles par 7.
Solution 23.10 On a a = q1 7 + r1 et b = q2 7 + r2 avec 0 ≤ r1 , r2 ≤ 6 et :
a2 + b2 = (q1 7 + r1 )2 + (q2 7 + r2 )2 = q3 7 + r12 + r22 .
Pour 0 ≤ r1 , r2 ≤ 6 et (r1 , r2 ) 6= (0, 0) , r12 + r22 n’est jamais divisible par 7 et donc a2 + b2 n’est
pas divisible par 7. En conclusion, si a2 + b2 est divisible par 7, alors a et b sont divisibles par
7.
Exercice 23.11 Calculer le reste dans la division euclidienne de 1955 par 7.
Solution 23.11 En utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication on a :
19 = 2 × 7 + 5 ≡ 5 (7)
1955 ≡ 555 (7)
5 ≡ −2 (7) , 52 ≡ 4 (7) , 54 ≡ 42 ≡ 2 (7) , 55 ≡ 10 ≡ 3 (7)
¡ ¢11
555 = 55
≡ 311 (7)
33 = 27 ≡ −1 (7)
311 = 33×3+2 ≡ 5 (7)
1955 ≡ 5 (7) .
Exercice 23.12 Calculer le reste dans la division euclidienne de 1751 par 7.
Solution 23.12 Laissée au lecteur.
Les paragraphes qui suivent sont consacrés à quelques applications du théorème de division
euclidienne.
23.4
Les systèmes de numération
Une première application importante du théorème de division euclidienne est le théorème de
numération dans une base.
Théorème 23.3 Soit b un entier supérieure ou égal à 2. Pour tout entier n > 0 il existe un
unique entier p et un unique (p + 1)-uplet (n0 , n1 , · · · , np ) ∈ Np+1 tels que np 6= 0, 0 ≤ nk ≤ b−1
pour tout k ∈ {0, 1, · · · , p} et :
p
X
n=
nk bk .
(23.3)
k=0
402
Division euclidienne dans Z
Démonstration. En remarquant que :
∗
N =
+∞
[
£
bj , bj+1
£
j=0
il suffit de montrer le résultat pour tout entier n dans [bj , bj+1 [ où j décrit N. Pour ce faire on
procède par récurrence sur j ≥ 0.
Pour j = 0 tout n ∈ [1, b[ s’écrit sous la forme (23.3) avec p = 0 et n0 = n.
Supposons le résultat acquis pour j ≥ 0 et soit n ∈ [bj+1 , bj+2 [ . En utilisant le théorème de
division euclidienne on peut écrire n = bq + n0 avec 0 ≤ n0 ≤ b − 1. On a alors :
¡
¢
bq = n − n0 > bj+1 − b = b bj − 1
et donc q > bj − 1, soit q ≥ bj . On a également
n − n0
n0
< bj+1 −
≤ bj+1 .
b
b
q=
En définitive q ∈ [bj , bj+1 [ et avec l’hypothèse de récurrence il s’écrit q =
p
P
qk bk avec qp 6= 0.
k=0
D’où :
n = bq + n0 =
p+1
X
nk bk
k=0
avec nk = qk−1 pour tout k ∈ {1, 2, · · · , p + 1} . En particulier np+1 = qp 6= 0.
Supposons que l’on ait deux écritures :
n=
p
X
k=0
0
k
nk b =
p
X
n0k bk
k=0
avec p0 ≥ p, 0 ≤ nk ≤ b − 1, 0 ≤ n0k ≤ b − 1, np 6= 0 et n0p0 6= 0. On a alors :
p
b ≤n≤
p
X
(b − 1) bk = bp+1 − 1 < bp+1 .
k=0
0
0
0
0
De même bp ≤ n < bp +1 . Donc bp < bp+1 soit bp −p < b et nécessairement p = p0 . En
remarquant que n0 est le reste dans la division euclidienne de n par b, on déduit que n0 = n00
puis par récurrence que nk = n0k pour tout k ∈ {1, · · · , p} . D’où l’unicité de la décomposition.
Remarque 23.5 Dans la décomposition (23.3) on a bp ≤ n < bp+1 , c’est-à-dire que p est le
plus grand entier vérifiant bp ≤ n.
Définition 23.4 Avec les notations du théorème 23.3 on dit que (23.3) est la représentation
en base b de l’entier n. On note :
n = np · · · n1 n0 b
et on dit que les nk sont les chiffres dans l’écriture en base b de n.
Les systèmes de numération
403
Pour les valeurs successives b = 2, 8, 10 et 16, les écritures en base b correspondantes sont
les systèmes de numération binaire (chiffres 0, 1), octal (chiffres 0, 1, · · · , 7), décimal (chiffres
0, 1, · · · , 9) et hexadécimal (chiffres 0, 1, · · · , 9, A, B, · · · , F ).
Pour b = 10, on écrit plus simplement n = np · · · n1 n0 la représentation décimale de l’entier
n.
Si n = np · · · n1 n0 b , alors n0 est le reste dans la division euclidienne de n par b et np · · · n1 b
est le quotient. Cette remarque nous permet de donner un algorithme de calcul des chiffres dans
l’écriture en base b de n : on divise n par b, puis le quotient par b et ainsi de suite, un quotient
nul indique la fin du processus et les restes successifs donnent, de droite à gauche, l’écriture en
base b de n. Par exemple, l’écriture en base b = 2 de n = 120 s’obtient comme suit :
n 120 60 30 15 7 3 1
q 60 30 15 7 3 1 0
r 0
0 0 1 1 1 1
2
ce qui donne 120 = 1111000 .
b
On peut remarquer que l’écriture en base b de l’entier b est b = 10 et plus généralement,
b
pour tout entier p ≥ 1, l’écriture de l’entier bp en base b est b = 10 · · · 0 (1 suivi de p zéros).
On peut également remarquer que si n = np · · · n1 n0 b , alors pour tout entier k compris entre
1 et p, nk−1 · · · n1 n0 b est le reste dans la division euclidienne de n par bk et np · · · nk b est le
quotient.
L’écriture en base b peut être utilisée pour comparer deux entiers naturels non nuls, en faire
la somme ou le produit (voir [?], chapitre 1, paragraphe 2).
L’écriture en base b = 10 permet d’obtenir les critères classiques de divisibilité résumés avec
l’exercice qui suit.
Exercice 23.13 Soit n un entier naturel et n = np · · · n1 n0 son écriture décimale. Montrer
que :
– n est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités n0 est pair ;
– n est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités n0 est égal à 0 ou 5 ;
p
P
– n est divisible par 3 si, et seulement si, la somme
nk de ses chiffres est divisible par 3 ;
– n est divisible par 9 si, et seulement si, la somme
k=0
p
P
nk de ses chiffres est divisible par 9 ;
k=0
– n est divisible par 11 si, et seulement si, la somme alternée
p
P
(−1)k nk de ses chiffres est
k=0
divisible par 11.
Solution 23.13 Ces critères de divisibilité se déduisent de la connaissance du reste dans la
division euclidienne de 10 par 2, 3, 5, 9 et 11 respectivement.
Comme 10 est congru à 0 modulo 2 et modulo 5, on déduit que n est congru à n0 modulo 2 et
modulo 5 et donc n est divisible par 2 (resp. par 5) si, et seulement si, son chiffre des unités
n0 est pair, c’est-à-dire égal à 0, 2, 4, 6 ou 8 (resp. multiple de 5, c’est-à-dire égal à 0 où 5).
Du fait que 10 est congru à 1 modulo 3 et modulo 9, on déduit que 10k est congru à 1 modulo
p
P
3 et modulo 9 pour tout entier k et n est congru à
nk modulo 3 et modulo 9. Donc n est
k=0
divisible par 3 (resp. par 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp.
par 9).
Enfin du fait que 10 est congru à −1 modulo 11 on déduit que 10k est congru à (−1)k modulo
404
Division euclidienne dans Z
11 pour tout entier k et n est congru à
p
P
(−1)k nk modulo 11. Donc n est divisible par 11 si
k=0
et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
De manière un peu plus générale, on a les résultats suivants.
Exercice 23.14 Soit n un entier naturel et n = np · · · n1 n0 b son écriture dans une base b ≥ 2.
Montrer que :
– si d est un diviseur premier de b ≥ 2 (les nombres premiers sont définis au chapitre 24),
alors n est divisible par d si, et seulement si, n0 est divisible par d ;
– si b ≥ 3 et d est un diviseur premier de b − 1, alors n est divisible par d si, et seulement
p
P
si,
nk est divisible par d ;
k=0
– si d est un diviseur premier de b + 1, alors n est divisible par d si, et seulement si,
p
P
(−1)k nk est divisible par d.
k=0
Solution 23.14 Laissée au lecteur.
Exercice 23.15 Déterminer le reste dans la division euclidienne de k 100 par 10 pour tout k
10
P
compris entre 1 et 10. En déduire le dernier chiffre dans l’écriture en base 10 de
k 100 .
k=1
Solution 23.15 On a :
¡ ¢20
¡ ¢4
2100 = 25
= (30 + 2)20 ≡ 220 = 25 ≡ 24 = 16 ≡ 6 (10)
¡ ¢25
3100 = 34
≡ 125 ≡ 1 (10)
¡
¢2
4100 = 2100 ≡ 36 ≡ 6 (10)
5100 ≡ 5 (10)
6100 ≡ (−4)100 ≡ 6 (10)
7100 ≡ (−3)100 ≡ 1 (10)
8100 ≡ (−2)100 ≡ 6 (10)
9100 ≡ (−1)100 ≡ 1 (10)
et donc S ≡ 3 (10) .
Exercice 23.16 Pour tout entier naturel n, on désigne par an et bn les entiers définis par
a0 = 16, b0 = 4 et pour n ≥ 1, an = 11 · · · 1155 · · · 56, où le chiffre 1 est répété n + 1 fois et le
chiffre 5 répété n fois et bn = 33 · · · 34 où le chiffre 3 est répété n fois.
Montrer que an = b2n pour tout n. Généraliser.
Solution 23.16 Pour les premières valeurs de n, on peut constater que a0 = 16 = 42 = b20 ,
a1 = 1156 = 342 = b21 , a2 = 111556 = 3342 = b22 .
De manière plus générale, pour n ≥ 1, on a :
bn = 4 + 3 · 10 + · · · + 3 · 10n
10n − 1
10
= 4 + 3 · 10
=4+
(10n − 1)
10 − 1
3
2 1
= + 10n+1
3 3
Les systèmes de numération
405
et :
an = 6 + 5 · 10 + · · · + 5 · 10n + 10n+1 + · · · + 102n+1
10n − 1
10n+1 − 1
= 6 + 5 · 10
+ 10n+1
10 − 1
10 − 1
n+1 ¡
¢
5 · 10
10
=6+
(10n − 1) +
10n+1 − 1
9
9
µ
¶2
2 1 n+1
4 4 n+1 1 2n+2
= + 10
+ 10
=
+ 10
= b2n .
9 9
9
3 3
On peut remarquer que :
(2bn )2 = 66 · · · 682 = 4an = 44 · · · 4622 · · · 24.
On peut aussi montrer ce résultat par récurrence sur n ≥ 0.
On peut essayer de généraliser. Soit bn = bb · · · bc où le chiffre b compris entre 1 et 9 est répété
n fois et c est compris entre 0 et 9. On a :
bn = c + b · 10 + · · · + b · 10n
10n − 1
10b
= c + b · 10
=c+
(10n − 1)
10 − 1
9
10b b n+1
=c−
+ 10
9
9
et :
µ
¶2
µ
¶
10b
2b
10b
b2
= c−
+
c−
10n+1 + 2 102n+2
9
9
9
9
µ
¶2
µ
¶
2
n+1
10b
2b
10b
b
10
− 1 b2 n+1
= c−
+
c−
10n+1 + 10n+1
+ 2 10
9
9
9
9
9
9
µ
¶2
µ
¶ n+1
10b
19
10
b2
10n+1 − 1
= c−
+ b 2c − b
+ 10n+1
9
9
9
9
9
µ
¶2
µ
¶
µ
¶
n
10b
19
10 − 1 10b
19
= c−
+ b 2c − b 10
+
2c − b
9
9
9
9
9
2
n+1
b
10
−1
+ 10n+1
9
9
µ
¶
2 ¡
¢
19
b
10
10n+1 + · · · + 102n+1
= c2 − b2 + b 2c − b (10 + · · · + 10n ) +
9
9
9
µ
¶
10 2
19
2
Il s’agit alors de choisir b et c tels que α = c − b et β = b 2c − b soient entiers
9
9
2
b
b2
compris entre 0 et 9 et γ =
est entier compris entre 1 et 9. Si b ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8} , alors
9
9
n’est pas entier.
Pour b = 3, on a γ = 1, α = c2 − 10 et β = 6c − 19, ce qui impose c = 4 (c ≤ 3 donne α < 0
et c ≥ 5 donne α > 9), c’est l’énoncé initiale avec α = 6, β = 5 et γ = 1.
Pour b = 6, on a γ = 4, α = c2 − 40 et β = 12c − 76, ce qui impose c = 7. On a alors α = 9,
β = 8 et γ = 4, soit b2n = an avec an = 44 · · · 4488 · · · 89 et bn = 66 · · · 67.
Pour b = 9 on a γ = 9, α = c2 − 90 qui est toujours négatif, ce cas est donc exclu.
b2n
406
23.5
Division euclidienne dans Z
Sous-groupes additifs de Z
Le théorème de division euclidienne permet de caractériser les sous-groupes additifs de Z.
On a déjà vu que pour tout entier naturel n, l’ensemble nZ des multiples de n est un sousgroupe additif de Z. En réalité ce sont les seuls.
Théorème 23.4 Si G est un sous-groupe de (Z, +) , il existe alors un unique entier naturel n
tel que G = nZ.
Démonstration. Si G = {0} , on a G = 0Z.
Si G 6= {0} , il existe dans G un entier a non nul et l’un des entiers a ou −a est dans
+
G = G ∩ N∗ . L’ensemble G+ est donc une partie non vide de N∗ et en conséquence admet un
plus petit élément n ≥ 1. Comme n ∈ G et G est un groupe additif, on a nZ ⊂ G. D’autre
part, pour tout x ∈ G, la division euclidienne par n donne x = qn + r avec r = x − nq ∈ G+ et
r ≤ n − 1, ce qui impose r = 0 par définition de n. On a donc G ⊂ nZ et G = nZ.
L’unicité provient du fait que nZ = mZ si, et seulement si, n = ±m et pour n, m positifs,
on a nécessairement n = m.
Le résultat précédent peut se traduire en disant que l’anneau Z est principal et a de nombreuses applications.
23.5.1
Ordre d’un élément dans un groupe
Comme première application, nous allons voir que cette caractérisation des sous-groupes de
(Z, +) peut être utilisée pour définir l’ordre d’un élément dans un groupe.
Étant donné un groupe multiplicatif G et un élément a de G, l’application :
ϕa : Z → G
k 7→ ak
est un morphisme de groupes et son noyau est un sous-groupe de Z. En effet, pour j, k dans
Z, on a ϕa (j + k) = aj+k = aj ak = ϕa (j) ϕa (k) , donc ϕa est un morphisme de groupes et le
théorème 20.7 nous dit que ker (ϕa ) est un sous-groupe de Z. Il existe donc un unique entier
n ≥ 0 tel que ker (ϕa ) = nZ.
Le théorème 20.7 nous dit aussi que Im (ϕa ) est un sous-groupe de G, il est défini par :
©
ª
Im (ϕa ) = ak | k ∈ Z
et est noté hai . On dit que c’est le sous-groupe de G engendré par a.
On aura n = 0 si, et seulement si, ϕa est injective, ce qui revient à dire que ϕa (k) = ak 6= 1
pour tout k ∈ Z∗ ou encore que ϕa (k) = ak 6= ϕa (j) = aj pour tous j 6= k dans Z encore
équivalent à dire que le sous-groupe hai = Im (ϕa ) de G est infini.
On dira alors, dans le cas où n = 0, que a est un élément d’ordre infini dans G.
Si n ≥ 1, en effectuant, pour k ∈ Z, la division euclidienne de k par n, on a k = qn + r avec
0 ≤ r ≤ n − 1 et ak = (an )q ar = ar . On a donc :
hai = Im (ϕa ) = {ar | 0 ≤ r ≤ n − 1}
De plus pour 1 ≤ r ≤ n − 1, on a ar 6= 1 puisque ar = 1 entraîne r ∈ ker (ϕa ) = nZ, soit r = qn,
ce qui est impossible avec 0 < r < n. Il en résulte que si r et s sont deux entiers distincts
compris entre 0 et n − 1, on a alors ar 6= as . En effet, en supposant que r ≤ s, l’égalité ar = as
équivaut à as−r = 1 avec s − r compris entre 0 et n − 1, ce qui équivaut à r = s. Le groupe hai
a donc exactement n éléments. On dit alors que a est d’ordre n dans G.
En définitive, on donne les définitions suivantes.
Sous-groupes additifs de Z
407
Définition 23.5 Soient G un groupe multiplicatif et a un élément de G. L’ordre de a est
l’élément θ (a) ∈ N∗ ∪ {+∞} défini par :
θ (a) = card (hai) .
Si θ (a) est dans N∗ , on dit alors que a est d’ordre fini, sinon on dit qu’il est d’ordre infini.
Remarque 23.6 Seul l’unité 1 est d’ordre 1 dans G. En effet, si a = 1, alors hai = {1} et si
a 6= 1, alors a0 6= a1 et hai a au moins deux éléments.
L’étude préliminaire que nous avons faite se traduit par le résultat suivant.
Théorème 23.5 Soient G un groupe multiplicatif et a un élément de G. Dire que a ∈ G est
d’ordre fini n ≥ 1 équivaut à dire que an = 1 et ak 6= 1 si k est compris entre 1 et n − 1 (n est
le plus petit entier naturel non nul tel que an = 1).
Démonstration. Supposons que a soit d’ordre n ≥ 1. Si ak 6= 1 pour tout k ∈ N∗ , on a alors
a 6= aj pour tous j 6= k dans Z et hai est infini, ce qui est contraire à l’hypothèse. Il existe donc
des entiers k ≥ 1 tels que ak = 1 et peut définir le plus petit de ces entiers, notons le m. On a
donc am = 1, ak 6= 1 si k est compris entre 1 et m − 1 et l’ensemble H = {ar | 0 ≤ r ≤ m − 1}
est de cardinal m contenu dans hai qui est de cardinal n, donc m ≤ n. Par division euclidienne
tout entier relatif k s’écrit k = qm + r avec 0 ≤ r ≤ m − 1 et ak = (am )q ar = ar ∈ H, donc
hai est contenu dans H et n ≤ m. On a donc n = m et H = hai . L’entier n vérifie donc bien
la propriété annoncée.
Réciproquement supposons qu’il existe un entier n ≥ 1 tel que an = 1 et ak 6= 1 si k est
compris entre 1 et n − 1. Les mêmes arguments nous donnent :
j
©
⊂ hai = aqn+r
H = {ar | 0 ≤ r ≤ n − 1}
ª
| q ∈ Z, 0 ≤ r ≤ n − 1 = H
et hai = H est de cardinal n, ce qui signifie que a est d’ordre n.
Corollaire 23.1 Soient G un groupe multiplicatif et a un élément de G. Dire que a ∈ G est
d’ordre fini n ≥ 1 équivaut à dire que, pour k ∈ Z, on a ak = 1 si, et seulement si, k est multiple
de n.
Démonstration. Si a est d’ordre n, alors an = 1 et pour k = qn + r ∈ Z avec q ∈ Z et
0 ≤ r ≤ n − 1 (division euclidienne), on a ak = ar = 1 si, et seulement si r = 0.
Réciproquement supposons que ak = 1 si, et seulement si, k est multiple de n. On a alors
an = 1 et ak 6= 1 si k est compris entre 1 et n − 1, ce qui signifie que a est d’ordre n.
Remarque 23.7 Dans le cas où le groupe G est additif, l’ordre de a ∈ G est défini comme le
plus petit entier n ≥ 1 tel que na = 0, quand cet ordre est fini. L’égalité ma = 0 équivaut alors
à dire que m est multiple de n. Le groupe engendré par a est alors :
hai = {ka | k ∈ Z} = {ra | 0 ≤ r ≤ n − 1} .
Dans le cas où le groupe G est fini, le théorème de Lagrange (théorème 20.9) nous dit que,
pour tout a ∈ G, l’ordre de a divise l’ordre de G.
408
23.5.2
Division euclidienne dans Z
Caractéristique d’un anneau ou d’un corps commutatif
Comme deuxième application, nous allons voir que cette la caractérisation des sous-groupes
de (Z, +) peut être utilisée pour définir la caractéristique d’un anneau ou d’un corps commutatif.
Si (A, +, ·) est un anneau commutatif unitaire, alors l’application ϕ : n 7→ n · 1 est un
morphisme d’anneaux de Z dans A et son noyau ker (ϕ) est un sous-groupe de Z (c’est même
un sous-anneau), il existe donc un unique entier naturel p tel que :
ker (ϕ) = {n ∈ Z | n · 1 = 0} = pZ
et on peut alors donner la définition suivante.
Définition 23.6 Si (A, +, ·) est un anneau commutatif unitaire, la caractéristique de A est
l’entier naturel p qui vérifie ker (ϕ) = pZ, où ϕ est le morphisme d’anneaux de Z dans A défini
par ϕ (n) = n · 1 pour tout n ∈ Z.
Dire que la caractéristique d’un anneau commutatif unitaire A est nulle équivaut à dire que
l’application ϕ est injective et dans ce cas ϕ (Z) est un sous-anneau de A isomorphe à Z, il est
donc en particulier infini. On identifie ce sous-anneau ϕ (Z) à Z.
Un anneau de caractéristique nul est donc infini et contient Z comme sous-anneau.
Dans le cas où A = K est un corps commutatif, si sa caractéristique est nulle, il contient
non seulement Z, mais aussi le corps Q des rationnels, puisque pour tout entier non nul n, on
1
1
a (n · 1)−1 = ∈ K et en conséquence tout r = p (où (p, q) ∈ Z × N∗ ) est aussi dans K.
n
q
Nous verrons plus loin que la caractéristique d’un anneau commutatif unitaire et intègre est
soit nulle soit un nombre premier. C’est le cas en particulier pour un corps commutatif.
Le théorème 23.4 combiné avec le fait que la somme et l’intersection de deux sous groupes de
(Z, +) est un sous-groupe de (Z, +) (voir l’exercice 20.22 pour la somme de deux sous-groupes)
nous permet de donner une définition du pgcd et du ppcm de deux entiers relatifs.
23.5.3
Plus grand commun diviseur
La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut être utilisée pour définir le pgcd de deux
ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls.
Théorème 23.6 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Il existe un unique entier
naturel δ tel que :
aZ + bZ = δZ.
Cet entier s’écrit δ = au + bv avec (u, v) ∈ Z2 et c’est le plus grand entier naturel qui divise a
et b.
Démonstration. aZ + bZ étant un sous groupe de (Z, +) , le théorème 23.4 nous dit qu’il
existe un unique entier naturel δ tel que aZ + bZ = δZ.
Comme δ ∈ δZ = aZ + bZ, il existe (u, v) ∈ Z2 tel que δ = au + bv.
De aZ ⊂ δZ et bZ ⊂ δZ, on déduit que δ un diviseur commun à a et b. Si d ∈ N est un
diviseur commun à a et b, il divise aussi δ = au + bv et d ≤ δ (a et b n’étant pas tous les deux
nuls, on a δ 6= 0). Donc δ est bien le plus grand entier naturel qui divise a et b.
On peut donc donner la définition suivante.
Définition 23.7 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. On appelle plus grand
commun diviseur de a et b le plus grand entier naturel qui divise a et b. On le note pgcd (a, b)
ou a ∧ b.
Sous-groupes additifs de Z
409
La relation a ∧ b = au + bv avec (u, v) ∈ Z2 est l’identité de Bézout.
Exercice 23.17 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls et Da,b l’ensemble des
diviseurs communs à a et b dans N∗ , c’est-à-dire :
Da,b = {d ∈ N∗ | d/a et d/b} .
Montrer que a ∧ b est le plus grand élément pour l’ordre de la division dans N de Da,b et que
Da,b = Da∧b (ensemble des diviseurs strictement positifs de a ∧ b).
Solution 23.17 On sait déjà que δ = a ∧ b divise a et b, donc δ ∈ Da,b et tout entier d ∈ Da,b
divisant a et b va diviser δ = au + bv.
Comme tout d ∈ Da,b divise δ, on a Da,b ⊂ Dδ et comme tout d ∈ Dδ divise δ qui divise lui
même a et b, d va diviser a et b, soit d ∈ Da,b . On a donc Da,b = Da∧b .
On peut aussi donner une définition de pgcd (a, b) sans référence directe aux sous-groupes
de Z comme indiqué dans l’exercice suivant.
Exercice 23.18 Montrer, sans référence directe aux sous-groupes de Z, que l’ensemble Da,b
défini à l’exercice précédent admet donc un plus grand élément δ (δ est alors le plus grand
diviseur communs à a et b).
Solution 23.18 L’ensemble Da,b est non vide car il contient 1. Comme a et b ne sont pas
tous deux nuls, cet ensemble est fini puisqu’un entier relatif non nul n’a qu’un nombre fini de
diviseurs dans N∗ . L’ensemble Da,b est donc non vide et majoré dans N∗ , il admet donc un plus
grand élément δ ∈ N∗ qui est bien le plus diviseur communs à a et b.
Exercice 23.19 Vérifier les propriétés suivantes du pgcd :
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b ∈ N∗ ;
– ∀a ∈ Z∗ , a ∧ 0 = a ∧ a = |a| ;
– ∀a ∈ Z, a ∧ 1 = 1 ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b = |a| ∧ |b| = |a| ∧ b = a ∧ |b| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b = b ∧ a (commutativité du pgcd) ;
– pour b ∈ Z∗ et a ∈ Z, on a a ∧ b = |b| si, et seulement si, b divise a ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , ∀c ∈ Z∗ , (ac) ∧ (bc) = |c| (b ∧ a) ;
a b
a∧b
∧ =
;
d d
|d|
– pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (associativité du pgcd).
– si d ∈ Z∗ est un diviseur commun de a et b non tous deux nuls, alors
Solution 23.19 Laissée au lecteur.
Exercice 23.20 Soient a, b deux entiers naturels non nuls. Montrer que :
½
(a − b) ∧ b si a ≥ b
a∧b=
a ∧ (b − a) si b > a
En déduire un algorithme simple de calcul de a ∧ b.
410
Division euclidienne dans Z
Solution 23.20 Si a = b, alors a ∧ b = a ∧ a = a = 0 ∧ a. Si a > b, on note δ = a ∧ b et
δ 0 = (a − b) ∧ b. Comme δ divise a et b, il divise a − b et b, donc il divise leur pgcd δ 0 . De même
δ 0 qui divise a − b et b va diviser a = (a − b) + b et b, il divise donc δ et δ = δ 0 . Pour a < b, on
a a ∧ b = b ∧ a = a ∧ (b − a) .
Un algorithme simple de calcul de a ∧ b, pour a, b entiers relatifs est donc le suivant :
Début
Lecture de a et b ;
a = |a| ; b = |b| ;
Tant que a 6= b Faire
Début
Si a > b Alors
remplacer a par a − b ;
Sinon
remplacer b par b − a ;
Fin si ;
Fin ;
pgcd = a ;
Fin.
Par exemple, pour (a, b) = (128, 28) , on a :
a ∧ b = 100 ∧ 28 = 72 ∧ 28 = 44 ∧ 28
= 16 ∧ 28 = 16 ∧ 12 = 4 ∧ 12 = 4 ∧ 8
= 4 ∧ 4 = 4.
Cet algorithme n’est évidemment pas très performant, il sera amélioré par l’algorithme d’Euclide.
Exercice 23.21 Soient a et b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Montrer que :
a ∧ b = a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) .
Solution 23.21 On remarque que si (a, b) 6= (0, 0) , alors (a, a + b) 6= (0, 0) et (b, a + b) 6=
(0, 0) .
En notant δ = a ∧ b et δ 0 = a ∧ (a + b) , on a :
δ = au + bv = a (u − v) + (a + b) v
∈ aZ + (a + b) Z = δ 0 Z
donc δZ ⊂ δ 0 Z et :
δ 0 = au0 + (a + b) v 0 = a (u0 + v 0 ) + bv 0
∈ aZ + bZ = δZ
donc δ 0 Z ⊂ δZ et donc δZ = δ 0 Z, ce qui équivaut à δ = δ 0 .
On peut aussi dire que comme δ divise a et b, il divise a et a + b, donc il divise leur pgcd δ 0 .
De même δ 0 qui divise a et a + b va diviser a et b = (a + b) − a, il divise donc δ et δ = δ 0 .
On a donc, en permutant les rôles de a et b :
a ∧ b = a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) .
Sous-groupes additifs de Z
411
Exercice 23.22 Soient a, b deux entiers naturels non nuls. Calculer (5a + 3b) ∧ (7a + 4b) en
fonction de a ∧ b.
Solution 23.22 En utilisant la relation a ∧ b = (a − b) ∧ b pour a ≥ b, on a :
(5a + 3b) ∧ (7a + 4b) = (5a + 3b) ∧ (2a + b)
= (3a + 2b) ∧ (2a + b)
= (a + b) ∧ (2a + b)
= (a + b) ∧ a
= a ∧ b.
On définit de manière analogue le pgcd d’une famille a1 , · · · , ap formée de p entiers non tous
nuls comme le plus grand des diviseurs communs à a1 , · · · , ap . On le note pgcd (a1 , · · · , ap ) ou
a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap et c’est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le
théorème suivant.
Théorème 23.7 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier
naturel δ tel que :
a1 Z + · · · + ap Z = δZ.
p
X
uk ak avec (u1 , · · · , up ) ∈ Zp et c’est le plus grand entier naturel qui
Cet entier s’écrit δ =
divise a1 , · · · , ap .
k=1
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a1 ∧ · · · ∧ ap est aussi le plus grand élément pour
l’ordre de la division dans N de l’ensemble des diviseurs positifs communs à a1 , · · · , ap .
p
X
uk ak est l’identité de Bézout.
L’égalité δ =
k=1
La notation a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap ne pose pas de problème du fait de la commutativité et
l’associativité du pgcd (elle est indépendante de l’ordre des ak ).
23.5.4
Plus petit commun multiple
La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut être utilisée pour définir le ppcm de deux
ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls.
Théorème 23.8 Soient a, b sont deux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturel µ tel
que :
aZ ∩ bZ = µZ.
Si a = 0 ou b = 0, alors µ = 0. Si a 6= 0 et b 6= 0, alors µ est le plus petit entier naturel non
nul multiple de a et de b.
Démonstration. aZ ∩ bZ étant un sous groupe de (Z, +) , l’existence et l’unicité de µ se
déduit du théorème 23.4.
Si a = 0 ou b = 0, on a µZ ⊂ 0Z = {0} et µ = 0.
Si a 6= 0 et b 6= 0, de µZ ⊂ aZ et µZ ⊂ bZ, on déduit que µ est multiple de a et b. Si m ∈ N
est un multiple commun à a et b, il est dans aZ ∩ bZ = µZ et c’est donc un multiple de µ, ce
qui implique m ≥ µ. Donc, µ est bien le plus petit entier naturel non nul multiple de a et de b.
On peut donc donner la définition qui suit.
412
Division euclidienne dans Z
Définition 23.8 Soient a, b deux entiers relatifs. On appelle plus petit commun multiple de a
et b le plus petit entier naturel multiple de a et b. On le note ppcm (a, b) ou a ∨ b.
Remarque 23.8 La définition de ppcm (a, b) peut aussi se justifier directement sans référence
directe aux sous-groupes de Z. Pour ce faire, on désigne par Ma,b l’ensemble des multiples
communs à a et b. Si a 6= 0 et b 6= 0, alors l’ensemble Ma,b ∩ N∗ des multiples communs à a et b
qui sont strictement positifs est non vide car il contient |ab| , il admet donc un plus petit élément
µ qui est bien plus petit commun multiple de a et b. Pour a = 0 ou b = 0, on a Ma,b = {0} et
µ = 0.
Remarque 23.9 Le ppcm de a et b est aussi le plus petit élément pour l’ordre de la division
dans Z de l’ensemble Ma,b des multiples communs à a et b. En effet, a ∨ b est un multiple de
a et b et tout multiple commun m à a et b qui est dans aZ ∩ bZ = µZ est un multiple de a ∨ b.
On vérifie facilement les propriétés suivantes.
Exercice 23.23 Vérifier les propriétés suivantes du ppcm :
– ∀ (a, b) ∈ (Z∗ )2 , a ∨ b ∈ N∗ ;
– ∀a ∈ Z∗ , a ∨ 1 = a ∨ a = |a| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 , a ∨ b = |a| ∨ |b| = |a| ∨ b = a ∨ |b| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 , a ∨ b = b ∨ a (commutativité du ppcm) ;
– pour b ∈ Z et a ∈ Z, on a a ∨ b = |b| si, et seulement si, b est multiple de a ;
– ∀ (a, b, c) ∈ Z3 , (ac) ∨ (bc) = |c| (b ∨ a) ;
a b
a∨b
– si d ∈ Z∗ est un diviseur commun de a et b, alors ∨ =
;
d d
|d|
– pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c (associativité du ppcm).
Solution 23.23 Laissée au lecteur.
Lemme 23.1 Soient a, b deux entiers relatifs premiers entre eux. On a alors :
a ∨ b = |ab| .
Démonstration. Du fait que |ab| est un multiple de a et b on déduit que µ = a ∨ b divise
ab.
D’autre part il existe deux entiers k, k 0 tels que µ = ka = k 0 b et comme a est premier avec
b et divise k 0 b, il divise k 0 (théorème de Gauss). Ce qui donne µ = k 00 ab et ab divise µ. D’où
l’égalité µ = ab.
Nous verrons que la réciproque du résultat précédent est vraie.
Théorème 23.9 Soient a, b deux entiers relatifs. On a alors :
(a ∧ b) (a ∨ b) = |ab| .
Démonstration. On note δ = a ∧ b et on a |a| = δa0 , |b| = δb0 avec a0 et b0 premiers entre
eux. Ce qui donne :
µ = a ∨ b = (δa0 ) ∨ (δb0 ) = δ (a0 ∨ b0 ) = δa0 b0
et δµ = δa0 δb0 = |ab| .
Du lemme et du théorème précédent, on déduit que :
a ∧ b = 1 ⇔ a ∨ b = |ab| .
Sous-groupes additifs de Z
413
|ab|
On a donc pour a, b dans Z∗ a ∨ b =
.
a∧b
On peut donc définir de manière naturelle le ppcm de deux entiers relatifs non tous deux
nuls par :
|ab|
a∨b=
.
a∧b
On peut aussi utiliser cette relation pour calculer le ppcm de deux entiers. On calcule d’abord
le pgcd en utilisant l’algorithme d’Euclide (paragraphe 23.6), puis on divise |ab| par ce pgcd .
On définit de manière analogue le ppcm d’une famille a1 , · · · , ap formée de p entiers non tous
nuls comme le plus petit des multiples communs à a1 , · · · , ap . On le note ppcm (a1 , · · · , ap ) ou
a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ap et c’est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le
théorème suivant.
Théorème 23.10 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier
naturel µ tel que :
a1 Z ∩ · · · ∩ ap Z = µZ.
µ est le plus petit entier naturel divisible par a1 , a2 , · · · et ap .
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
La notation a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ap ne pose pas de problème du fait de la commutativité et
l’associativité du ppcm (elle est indépendante de l’ordre des ak ).
Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a1 ∨ · · · ∨ ap est aussi le plus petit élément pour
l’ordre de la division dans N de l’ensemble des multiples positifs communs à a1 , · · · , ap .
Exercice 23.24 Montrer que si a1 , · · · , ap sont des entiers relatifs non nuls deux à deux premiers entre eux alors a1 ∨ · · · ∨ ap = |a1 · · · ap | . Ce résultat est-il encore valable si on suppose
que a1 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Solution 23.24 On sait déjà que si a1 et a2 sont premiers entre eux alors a1 ∨ a2 = |a1 a2 | .
Supposons le résultat acquis pour p − 1 ≥ 2 et soient a1 , · · · , ap deux à deux premiers entre
eux. Les entiers a1 · · · ap−1 et ap sont alors premiers entre eux (corollaire 23.3) et en utilisant
l’associativité du ppcm, on a :
a1 ∨ · · · ∨ ap = (a1 ∨ · · · ∨ ap−1 ) ∨ ap
= |a1 · · · ap−1 | ∨ ap = |a1 · · · ap | .
Ce résultat n’est plus valable si on suppose seulement que les ak sont premiers entre eux dans
leur ensemble comme le montre l’exemple suivant :
2 ∨ 3 ∨ 4 = 12 6= 2 · 3 · 4 = 24
Exercice 23.25 A-t-on (a1 ∧ · · · ∧ ap ) (a1 ∨ · · · ∨ ap ) = |a1 · · · ap | dans Z∗ ?
Solution 23.25 La réponse est non pour n ≥ 3 comme le montre l’exercice précédent.
Exercice 23.26 Peut-on trouver des entiers a, b tels que a ∧ b = 7 et a ∨ b = 36.
Solution 23.26 Comme a ∧ b = 7 divise a et b, il divise a ∨ b et a ∨ b = 36 est alors impossible.
Exercice 23.27 Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls tels que a∧b = 3
et a ∨ b = 12.
414
Division euclidienne dans Z
Solution 23.27 De a∨b = 12 on déduit que a, b sont des diviseurs de 12 donc dans {1, 2, 3, 4, 6, 12} .
de a ∧ b = 3, on déduit que a et b sont multiples de 3, donc dans {3, 6, 12} . De ab =
(a ∧ b) (a ∨ b) = 36, on déduit que :
– a = 3 [resp. b = 3] donne b = 12 [resp. a = 12] et (3, 12) , (12, 3) sont deux solutions
possibles ;
– a = 6 [resp. b = 6] donne b = 6 [resp. a = 6] et a ∧ b = 6 6= 3.
En définitive, (a, b) ∈ {(3, 12) , (12, 3)} .
Exercice 23.28 On se propose de montrer que pour tout entier naturel n > 2, on a :
µn = ppcm (1, 2, · · · , n) ≥ 2n−2 .
1. Montrer le résultat pour n = 2 et n = 3.
2. Pour tout entier naturel n, on, note :
Z
1
In =
xn (1 − x)n dx.
0
(a) Montrer que :
1
.
4n
∀n ∈ N, 0 < In ≤
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , il existe un entier naturel non nul an tel que In =
an
.
µ2n+1
(c) En déduire que :
∀n ∈ N∗ , µ2n+1 ≥ 22n .
(d) En déduire le résultat annoncé.
Solution 23.28
1. On a :
µ2 = ppcm (1, 2) = 2 ≥ 1 et µ3 = ppcm (1, 2, 3) = 6 ≥ 2.
2.
1
(a) Pour 0 < x < 1, on a 0 < x (x − 1) ≤ sup x (1 − x) = , ce qui donne le résultat.
4
[0,1]
(b) On a :
Z
1
In =
xn
à n
X
0
=
!
k
Cnk (−1) xk
k=0
n
X
Cnk
Z
(−1)
xn+k dx
0
k=0
=
1
k
dx
n
X
k=0
et en réduisant au même dénominateur In =
Cnk
(−1)k
n+k+1
an
µ2n+1
, où an ∈ N∗ .
L’algorithme d’Euclide.
415
(c) On a alors µ2n+1 In = an ≥ 1 et :
µ2n+1 ≥
1
≥ 4n = 22n .
In
(d) Pour n ∈ N∗ , on a :
µ2n+2 = µ2n+1 ∨ (2n + 2) ≥ 22n .
On a donc montré que µn ≥ 2n−2 pour tout n ≥ 4.
On peut en fait montrer que µn ≥ 2n pour tout n ≥ 7.
23.6
L’algorithme d’Euclide.
Le lemme qui suit permet de déduire du théorème de division euclidienne un algorithme de
calcul du pgcd de deux entiers positifs. C’est l’algorithme d’Euclide.
Cet algorithme permet également de déterminer des entiers u et v tels que au + bv = a ∧ b.
Théorème 23.11 Soient a, b deux entiers naturels non nuls et r le reste dans la division euclidienne de a par b. On a alors a ∧ b = b ∧ r.
Démonstration. Par division euclidienne, on a a = bq + r avec 0 ≤ r < b. L’entier naturel
δ = a ∧ b qui est un diviseur commun à a et b va diviser r = a − bq, c’est donc un diviseur
commun à b et r et δ ≤ δ 0 = b ∧ r.
L’entier naturel δ 0 = b ∧ r qui est un diviseur commun à b et r va diviser a = bq + r, c’est
donc un diviseur commun à a et b et δ 0 ≤ δ. On a donc bien δ = δ 0 .
Le principe de l’algorithme d’Euclide est le suivant pour a > b dans N∗ (par symétrie, on
peut supposer que a ≥ b et pour a = b, on a a ∧ a = a).
On note r0 = b et on désigne par r1 le reste dans la division euclidienne de a par b.
On a alors 0 ≤ r1 < r0 et d’après le lemme précédent :
a ∧ b = r0 ∧ r1 .
Si r1 = 0 alors r0 ∧ r1 = r0 = b et c’est terminé.
Si r1 6= 0 on désigne alors par r2 le reste dans la division euclidienne de r0 par r1 et on a
0 ≤ r2 < r1 et :
a ∧ b = r0 ∧ r1 = r1 ∧ r2 .
Si r2 = 0 alors r1 ∧ r2 = r1 et c’est terminé. Sinon on continu.
On définit donc ainsi une suite d’entiers (rn )n≥0 par :
– r0 = b ;
– r1 est le reste dans la division euclidienne de a par b ; on a donc 0 ≤ r1 < b ;
– pour n ≥ 2, si rn−1 = 0 alors rn = 0 et sinon rn est le reste dans la division euclidienne de
rn−2 par rn−1 et on a 0 ≤ rn < rn−1 . Dans tous les cas on rn ≤ rn−1 l’égalité étant réalisée
si et seulement si les deux termes sont nuls.
La suite (rn )n≥−1 ainsi construite est donc une suite décroissante d’entiers positifs, elle est
donc stationnaire à partir d’un certain rang. Précisément il existe un entier p ≥ 1 tel que
rp = 0 < rp−1 < · · · < r1 < r0 et :
a ∧ b = r0 ∧ r1 = · · · = rp−1 ∧ rp = rp−1 .
C’est à dire que a ∧ b est le dernier reste non nul dans cette suite de divisions euclidiennes.
416
Division euclidienne dans Z
Par exemple pour calculer le pgcd de a = 128 et b = 28, on procède comme suit :

a = 128 = 4 · 28 + 16 = q1 r0 + r1




 r0 = 28 = 1 · 16 + 12 = q2 r1 + r2
r1 = 16 = 1 · 12 + 4 = q3 r2 + r3


r2 = 12 = 3 · 4 + 0 = q4 r3 + r4



r4 = 0, r3 = 4 = 128 ∧ 28
(23.4)
On peut utiliser un tableau pour effectuer la suite des calculs. Sur la deuxième ligne, on
place d’abord a et b, puis sur la première ligne on place au dessus de b le quotient q1 et sur
la troisième ligne, on place au dessous de a le reste r1 , ce même reste r1 étant aussi placé
en deuxième ligne après b. On recommence alors avec le couple (b, r1 ) . Sur la première ligne
apparaissent les quotients successifs sur la troisième les restes successifs. Le dernier reste non
nul, qui apparaît en fin de deuxième ligne, donne alors le pgcd .
q1 q2
q3
q4
a b r1
r2
r3
r1 r2 r3 r4 = 0
4 1
1
3
128 28 16
12
4
16 12 4 r4 = 0
On a donc construit, avec l’algorithme d’Euclide, deux suites d’entiers (rn )0≤n≤p et (qn )1≤n≤p
de la manière suivante :


a = q1 r0 + r1 (0 < r1 < r0 = b)




r = q2 r1 + r2 (0 < r2 < r1 )

 0

r1 = q3 r2 + r3 (0 < r3 < r2 )
..

.




rp−3 = qp−1 rp−2 + rp−1 (0 < rp−1 < rp−2 )


 r
p−2 = qp rp−1 + rp (rp = 0)
On vérifie alors, par récurrence finie sur n ∈ {0, 1, · · · , p − 1} , qu’il existe des entiers un et
vn tels que rn = aun + bvn .
Pour n = 0 et n = 1 on a :
r0 = b = a · 0 + b · 1,
r1 = a · 1 + b (−q1 ) .
En supposant le résultat acquis jusqu’à l’ordre n − 1 pour 0 ≤ n − 1 ≤ p − 2 on a :
rn = −qn rn−1 + rn−2
= −qn (aun−1 + bvn−1 ) + aun−2 + bvn−2
= a (un−2 − qn un−1 ) + b (vn−2 − qn vn−1 ) = aun + bvn .
En particulier pour n = p − 1 on a a ∧ b = rp−1 = aup−1 + bvp−1 = au + bv.
Un tel couple d’entiers (u, v) n’est pas unique puisque si (u, v) est une solution, pour tout
entier λ, le couple (u0 , v 0 ) = (u + λv, v − λa) est aussi solution. On a en effet :
a (u + λb) + b (v − λa) = au + bv = a ∧ b.
Une équation dans Z de la forme au + bv = δ, où a, b, δ sont donnés et u, v sont les inconnues
est une équation diophantienne. Ce type d’équation est étudié plus en détails au paragraphe
suivant.
L’algorithme d’Euclide.
417
Les suites (rn )0≤n≤p−1 (un )0≤n≤p−1 et (vn )0≤n≤p−1 vérifient la même relation de récurrence :
xn = xn−2 − qn xn−1 (2 ≤ n ≤ p − 1)
avec les conditions initiales :
(r0 , r1 ) = (b, 1) , (u0 , u1 ) = (0, 1) , (v0 , v1 ) = (1, −q1 )
où q1 , r1 sont, respectivement, le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.
On peut donner une interprétation matricielle de ces calculs comme suit. On a :
µ
¶ µ
¶µ
¶
xn
−qn 1
xn−1
=
(2 ≤ n ≤ p − 1)
xn−1
1 0
xn−2
et :
µ
xp−1
xp−2
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶µ
¶
−qp−1 1
−qp−2 1
−q2 1
x1
=
···
1
0
1
0
1 0
x0
µ
¶
x1
= Ap−1
.
x0
Pour l’exemple précédent, la suite de calculs (23.4) donne :
p − 1 = 3, (q1 , q2 , q3 ) = (4, 1, 1)
et :
µ
A3 =
µ
=
−q3 1
1 0
¶µ
2 −1
−1 1
¶
−q2 1
1 0
¶
µ
=
−1 1
1 0
¶µ
−1 1
1 0
¶
d’où :
¶
¶µ ¶ µ
2
2 −1
1
,
=
= A3
=
−1
0
−1 1
µ
¶ µ
¶µ
¶ µ
¶µ
¶ µ
¶
v3
2 −1
−q1
2 −1
−4
−9
=
=
=
v2
−1 1
1
−1 1
1
5
µ
u3
u2
¶
µ
u1
u0
¶
µ
soit (u, v) = (u3 , v3 ) = (2, −9) .
Si on veut se passer du calcul matriciel, on peut procéder comme suit. Les divisions successives :

a = q1 r0 + r1



r0 = q2 r1 + r2
r1 = q3 r2 + r3



r2 = q4 r3
donne :
a ∧ b = r3 = r1 − q3 r2 = r1 − q3 (r0 − q2 r1 )
= r1 (1 + q3 q2 ) − q3 r0 = (a − q1 r0 ) (1 + q3 q2 ) − q3 r0
= (a − q1 b) (1 + q3 q2 ) − q3 b = au + bv
418
Division euclidienne dans Z
(on commence par la fin), soit pour les valeurs particulières 128 et 28 :

128 = 4 · 28 + 16



28 = 1 · 16 + 12
16 = 1 · 12 + 4



12 = 3 · 4
qui donne :
128 ∧ 28 = 4 = 16 − 12 = 16 − (28 − 16) = 2 · 16 − 28
= 2 (128 − 4 · 28) − 28
= 2 · 128 − 9 · 28 = ua + vb
23.7
Equations diophantiennes ax + by = c
Soient a, b, c trois entiers relatifs, avec a et b non nuls. On s’intéresse ici à l’équation diophantienne dans Z2 :
ax + by = c.
(23.5)
En notant δ le pgcd de a et b, on a a = δa0 , b = δb0 avec a0 et b0 premiers entre eux.
Lemme 23.2 L’équation diophantienne (23.5) a des solutions entières si, et seulement si, δ
divise c.
Démonstration. Si c n’est pas un multiple de δ, comme δ divise ax + by pour tous entiers
x, y, l’équation (23.5) n’a pas de solutions.
Si c = δc0 est un multiple de δ, en écrivant que δ = au0 + bv0 avec u0 , v0 dans Z (théorème
de Bézout) on déduit que (x0 , y0 ) = (u0 c0 , v0 c0 ) est une solution de (23.5) .
Théorème 23.12 Si c est multiple de δ, alors l’ensemble des solutions de (23.5) est :
S = {(x0 − kb0 , y0 + ka0 ) | k ∈ Z}
où (x0 , y0 ) est une solution particulière.
Démonstration. Si (x, y) est une solution de (23.5) , on a alors :
½
ax0 + by0 = c,
ax + by = c,
ce qui donne par soustraction :
a (x0 − x) = b (y − y0 )
et divisant par δ, on obtient :
a0 (x0 − x) = b0 (y − y0 ) .
Avec le théorème de Gauss on en déduit alors que a0 divise y − y0 . On a donc y − y0 = ka0 avec
k ∈ Z, ce qui entraîne a0 (x0 − x) = b0 ka0 et x0 − x = kb0 . En définitive on a :
(x, y) = (x0 − kb0 , y0 + ka0 )
Equations diophantiennes ax + by = c
419
avec k ∈ Z. Réciproquement on vérifie que pour tout k ∈ Z, (x0 − kb0 , y0 + ka0 ) est bien solution
de (23.5) . En effet on a :
ax + by = ax0 + by0 + k (a0 b − ab0 ) = c + kδ (a0 b0 − a0 b0 ) = c.
L’algorithme d’Euclide
au paragraphe précédent nous permet d’obtenir une solution par³ c vu
c´
ticulière (x0 , y0 ) = u0 , v0 .
δ
δ
Exemple 23.1 Soit à résoudre l’équation :
370x + 45y = 15.
Le pgcd de 370 et 45 est égal à 5 qui divise 15.
On cherche tout d’abord une solution particulière de 74x + 9y = 1. En utilisant l’algorithme
d’Euclide, on a :
74 = 8 · 9 + 2
9=4·2+1
et donc :
1 = 9 − 4 · 2 = 9 − 4 · (74 − 8 · 9)
= 74 · (−4) + 9 · 33
Le couple (−12, 99) est solution de 74x + 9y = 3 et de 370x + 45y = 15.
D’un point de vue géométrique l’ensemble des solutions de (23.5) est formé de la suite de
points de Z2 définie par :

µ
¶
x0


,
 M0 =
x0 µ
¶
0
−b


, k ∈ Z.
 Mk = M0 + k
a0
µ
¶
−
→0
−b0
Les points Mk sont sur la droite passant par M0 et dirigée par le vecteur v =
a0
µ
¶
−b
→
ou encore par le vecteur colinéaire −
v =
. Ces vecteurs sont orthogonaux au vecteur
a
µ ¶
a
−
→
u =
.
b
Exercice 23.29 Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne :
128x + 28y = 8.
Solution 23.29 En notant (a, b) = (128, 28) , c = 8 et δ = a ∧ b, on a vu au paragraphe
précédent que :
δ = 4 = 2 · 128 − 9 · 28 = au0 + bv0
³ c
c´
et (x0 , y0 ) = u0 , v0
= (4, −18) est une solution particulière de notre équations. Toutes les
δ
δ
solutions étant données par :
(x, y) = (x0 − kb0 , y0 + ka0 ) = (4 − 7k, −18 + 32k)
où k décrit Z.
420
23.8
Division euclidienne dans Z
Equations ax ≡ b (n)
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1 et b un entier
relatif. On veut résoudre dans Z l’équation diophantienne :
ax ≡ b (n)
(23.6)
On s’intéresse tout d’abord au cas où b = 1.
Lemme 23.3 Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1.
L’équation
ax ≡ 1 (n)
(23.7)
a des solutions dans Z si et seulement si a est premier avec n.
Démonstration. Le théorème de Bézout nous dit que a est premier avec n si, et seulement
si, il existe des entiers relatifs x et k tels que ax − kn = 1, ce qui équivaut à dire que x ∈ Z est
solution de (23.7) .
Si a et n sont premiers entre eux alors l’algorithme d’Euclide nous permet de trouver une
solution x0 ∈ Z de (23.7) . Et pour tout autre solution x ∈ Z l’entier a (x − x0 ) est divisible
par n. Comme n est premier avec a, le théorème de Gauss nous dit que nécessairement n divise
x − x0 . Il est clair que réciproquement pour tout k ∈ Z, x0 + kn est solution de (23.7) . En
définitive, l’ensemble des solutions de (23.7) est :
S = {x0 + kn | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (23.7) .
Remarque 23.10 Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une unique solution de
(23.7) dans {1, · · · , n − 1} . En effet, si S est l’ensemble des solutions de (23.7) alors S ∩ N∗
est non vide et donc admet un plus petit élément x > 0. Si x ≥ n on a alors x = qn + r avec
q ≥ 1 et 0 ≤ r < n. Comme ar ≡ ax ≡ 1 modulo n, on a r ∈ S ∩ N et nécessairement r = 0.
Mais x = qn entraîne ax ≡ 0 modulo n en contradiction avec x ∈ S. On a donc x < n.
On s’intéresse maintenant au cas où les entiers a et n sont premiers entre eux et b est un
entier relatif. Dans ce cas on peut trouver une solution x0 de l’équation (23.7) et pour tout
entier relatif k, x = bx0 + kn est solution de (23.6) . Réciproquement si x est solution de (23.6)
alors a (x − bx0 ) est divisible par n avec n premier avec a. Le théorème de Gauss nous dit alors
que x − bx0 est divisible par n. En définitive, pour a et n premiers entre eux, l’ensemble des
solutions de (23.6) est :
S = {bx0 + kn | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (23.7) .
Considérons maintenant le cas où δ = a ∧ n n’est pas nécessairement égal à 1 et b est un
entier relatif.
On a alors a = δa0 , n = δn0 et si l’équation (23.6) admet une solution x ∈ Z alors δn0 divise
0
δa − b, donc δ divise δa0 − b et δ divise b. En conclusion si b n’est pas un multiple de δ alors
l’équation (23.6) n’a pas de solution dans Z.
On suppose donc que b est un multiple de δ, soit b = δb0 . Si x ∈ Z est solution de (23.6)
alors x est solution de :
a0 x ≡ b0 (n0 )
Le théorème Chinois
421
avec a0 et n0 premiers entre eux. On sait alors que x est de la forme x = b0 x00 + kn0 où x00 est
une solution de a0 x ≡ 1 modulo n0 et k est un entier relatif. Réciproquement on peut vérifier
que pour tout entier k ∈ Z, x = b0 x00 + kn0 est solution de (23.6) . En effet on a :
ax = a0 x00 δb0 + a0 kδn0 = (1 + k 0 n0 ) δb0 + a0 kn
= b + n (k 0 b0 + ka0 ) ≡ b (n) .
En définitive, si b = δb0 où δ = a ∧ n, alors l’ensemble des solutions de (23.6) est :
S = {b0 x00 + kn0 | k ∈ Z}
où x00 est une solution particulière de a0 x ≡ 1 modulo n0 , où a = δa0 , n = δn0 .
23.9
Le théorème Chinois
On s’intéresse ici aux système d’équations diophantiennes :
½
x ≡ a (n)
x ≡ b (m)
(23.8)
où n, m sont deux entiers naturels supérieur ou égal à 2.
Théorème 23.13 (chinois) Soient n, m deux entier supérieur ou égal à 2 premiers entre eux.
Quels que soient les entiers relatifs a et b le système (23.8) a une infinité de solutions dans Z.
Démonstration. Comme n et m sont premiers entre eux on peut trouver une infinité de
couples d’entiers relatifs (u, v) tels que :
nu + mv = 1.
En posant x = bnu + amv on obtient une infinité de solutions de (23.8) .
Dans le cas où n et m sont premiers entre eux on vient de voir que si (u0 , v0 ) est solution de
nu + mv = 1 (un tel couple peut être obtenu par l’algorithme d’Euclide) alors x0 = bnu0 + amv0
est une solution particulière de (23.8) .
Si x ∈ Z est solution de (23.8) alors x est congru à x0 modulo n et modulo m, soit :
x − x0 = pn = qm.
Mais m est premier avec n, le théorème de Gauss nous dit alors que m divise p. On a donc
x = x0 + knm avec k ∈ Z. Et réciproquement on vérifie que pour tout entier relatif k, x0 + knm
est solution de (23.8) . En définitive, si n et m sont premiers entre eux, alors l’ensemble des
solutions de (23.8) est :
S = {x0 + knm | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (23.8) .
Dans le cas général où m et n ne sont pas nécessairement premiers entre eux on note δ = m∧n,
n = δn0 , m = δm0 avec n0 , m0 premiers entre eux et µ = m ∨ n.
Si x ∈ Z est une solution de (23.8) alors δ qui divise n et m va diviser x − a et x − b, il divise
donc a − b. Donc si a − b n’est pas un multiple de δ = m ∧ n le système d’équations (23.8) n’a
pas de solutions.
422
Division euclidienne dans Z
On suppose donc que a − b est multiple de δ, c’est-à-dire que b − a = δc0 . Les entiers n0 et m0
étant premiers entre eux, le théorème de Bézout nous dit qu’il existe des entiers u0 et v0 tels
que n0 u0 + m0 v0 = 1. En posant :
x0 = bn0 u0 + am0 v0
on a :
x0 = b (1 − m0 v0 ) + am0 v0 = b − m0 v0 (b − a)
= b − m0 v0 δc0 = b − mv0 c0 ≡ b (m) .
Et de manière analogue on voit que x0 est congru à a modulo n. L’entier x0 est donc solution
de (23.8) .
Si x ∈ Z est solution de (23.8) alors x est congru à x0 modulo n et modulo m, soit :
x − x0 = pn = qm = pδn0 = qδm0 .
On déduit donc que
x − x0
est un entier et :
δ
x − x0
= pn0 = qm0 .
δ
Mais m0 est premier avec n0 , le théorème de Gauss nous dit alors que m0 divise p. On a donc :
x − x0
= kn0 m0
δ
avec k ∈ Z. Ce qui peut aussi s’écrire :
x − x0 = knm0 = k
nm
= kµ
δ
avec k ∈ Z.
Et réciproquement on vérifie facilement que pour tout entier relatif k, x0 + kµ est solution
de (23.8) . En définitive, l’ensemble des solutions de (23.8) est :
S = {x0 + k (m ∨ n) | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (23.8) .
23.10
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
On a vu que, par définition du pgcd, on a a ∧ b = au + bv avec u, v entiers relatifs, mais
en général la réciproque est fausse, c’est-à-dire que si δ est entier naturel tel que δ = au + bv
avec u, v entiers relatifs, il n’y a aucune raison pour que δ soit le pgcd de a et b. Par exemple
2 = 3 · 2 + 2 · (−2) et 3 ∧ 2 = 1. Mais pour δ = 1, cette réciproque est vrai et ce résultat est
très souvent utilisé.
Définition 23.9 Soient (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} . On dit que a et b sont premiers entre eux (ou
étrangers) si leur pgcd est égal à 1.
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
423
De manière équivalente, on peut dire que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, −1
et 1 sont leurs seuls diviseurs communs, ce qui est encore équivalent à dire que Da ∩Db = {−1, 1}
ou encore que le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide vaut 1.
Exercice 23.30 Soient (ak )1≤k≤p et (bk )1≤k≤q deux suites finies d’entiers relatifs non nuls.
p
q
Q
Q
Montrer que si n =
ak et m =
bk sont premiers entre eux, alors chaque ak , pour k
k=1
k=1
compris entre 1 et p, est premier avec chacun des bj , pour j compris entre 1 et q.
Solution 23.30 Soit δ = ak ∧ bj où 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ j ≤ q. Comme δ est un entier naturel
non nul qui divise ak et bj , il divise n et m et vaut nécessairement 1.
De manière plus générale, on peut donner la définition suivante.
Définition 23.10 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. On dit que a1 , · · · , ap
sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est égal à 1.
Exercice 23.31 Est-il équivalent de dire a1 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble
et a1 , · · · , ap sont deux à deux premiers entre eux ?
Solution 23.31 On vérifie immédiatement que la réponse est négative en considérant le triplet
(2, 3, 8) .
Théorème 23.14 Soient (a, b) ∈ Z2 −{(0, 0)} et δ = a∧b. Il existe deux entiers p et q premiers
entre eux tels que a = δp et b = δq.
Démonstration. Comme δ divise a et b il existe deux entiers p et q tels que a = δp et
b = δq. Le pgcd δ 0 = p ∧ q est un diviseur de p et q, donc l’entier naturel δδ 0 divise a = δp et
b = δq et nécessairement δδ 0 ≤ δ, soit δ (1 − δ 0 ) ≥ 0 avec δ > 0. On a donc δ 0 ≤ 1. Mais δ 0 est
supérieur ou égal à 1 comme tout pgcd qui se respecte. En définitive, on a δ 0 = 1, c’est-à-dire
que p et q sont premiers entre eux.
De manière plus générale, on a le résultat suivant.
Théorème 23.15 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. et δ = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap .
Il existe des entiers a01 , · · · , a0p premiers entre eux dans leur ensemble tels que ak = δa0k pour
tout k compris entre 1 et p.
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
Exercice 23.32 Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls tels que a∧b = 3
et a + b = 12.
Solution 23.32 On a a = 3p, et b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers
entre eux et a + b = 12 équivaut à p + q = 4.
Réciproquement si a = 3p, b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux
tels que p + q = 4, alors a ∧ b = 3 et a + b = 12.
Les seuls couples (p, q) possibles sont (1, 3) et (3, 1) . Donc (a, b) = (3, 9) ou (a, b) = (9, 3) .
Exercice 23.33 Soient a, n deux entiers naturels non nuls. Montrer que :
(a + 1)n − 1
∧ a = a ∧ n.
a
424
Division euclidienne dans Z
Solution 23.33 On remarque d’abord que :
(a + 1)n − 1 = a
n−1
X
(a + 1)k
k=0
est divisible par a, donc
(a + 1)n − 1
est un entier.
a
(a + 1)n − 1
Soit δ =
∧ a. Pour tout k ≥ 0, on a :
a
(a + 1)k ≡ 1 (mod a)
(pour k = 0, c’est clair et pour k ≥ 1, on utilise la formule du binôme) et donc :
n−1
(a + 1)n − 1 X
b=
=
(a + 1)k ≡ n (mod a)
a
k=0
de sorte que δ qui divise a et b divise aussi n = b − pa (p ∈ Z). Il en résulte que δ divise
δ 0 = a ∧ n. Comme δ 0 divise a et n, il divise aussi b = n + pa et en conséquence δ 0 divise δ. On
a donc bien δ = δ 0 .
Exercice 23.34 On se donne un entier naturel a ≥ 2 et on définit la suite (un )n∈N par :
n
∀n ∈ N, un = a2 + 1.
1. Montrer que :
∀n ∈ N, un+1 = (un − 1)2 + 1.
2. Montrer que :
∀n ∈ N, un+1 = (a − 1)
n
Y
uk + 2.
k=0
3. Montrer que, pour n 6= m dans N, on a :
½
1 si a est pair
un ∧ um =
2 si a est impair
4. Calculer upn ∧ upm pour n 6= m dans N et p dans N∗ .
Solution 23.34
1. On a :
n+1
un+1 = a2
¡ ¢2
+ 1 = a2n + 1 = (un − 1)2 + 1.
2. On procède par récurrence sur n ≥ 0.
Pour n = 0, on a :
¡
¢
u1 = a2 + 1 = a2 − 1 + 2
= (a − 1) u0 + 2.
En supposant le résultat acquis pour n − 1 ≥ 0, on a :
un+1 = un (un − 2) + 2 = un (a − 1)
n−1
Y
n
Y
k=0
k=0
uk + 2 = (a − 1)
uk + 2.
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
425
3. Supposons que m > n.
On a :
um = (a − 1)
m−1
Y
m−1
Y
k=0
k=0
k6=n
uk + 2 = (a − 1) un
uk + 2
= qun + 2
Le pgcd de un et um divise alors 2 et il vaut 2 ou 1.
Si a est pair, alors un est impair et δ = 1 puisqu’il divise un , ce qui signifie que un et un
sont premiers entre eux (pour a = 2, c’est le cas des nombres de Fermat).
Si a est impair, alors tous les un sont pairs et δ vaut 2.
4. En utilisant le résultat de l’exercice 24.6, on a :
½
1 si a est pair
p
p
p
un ∧ um = (un ∧ um ) =
2p si a est impair
Théorème 23.16 (Bézout) Deux entiers relatifs a et b non tous deux nuls sont premiers
entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire.
Réciproquement s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 alors δ = a ∧ b
est un entier naturel qui divise a et b, il divise donc 1 = au + bv et δ = 1, c’est-à-dire que a et
b sont premiers entre eux.
Remarque 23.11 La relation de Bézout au + bv = 1 implique que u et v sont aussi premiers
entre eux. On a aussi |a| ∧ |b| = |a| ∧ b = a ∧ |b| = a ∧ b = 1.
Ce théorème peut se généraliser comme suit.
Théorème 23.17 (Bézout) Des entiers relatifs a1 , a2 , · · · , ap non tous nuls sont premiers
entre eux dans leur ensemble si et seulement si il existe deux entiers relatifs u1 , u2 , · · · , up tels
p
X
que
uk ak = 1.
k=1
Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire.
p
X
Réciproquement s’il existe deux entiers relatifs u1 , u2 , · · · , up tels que
uk ak = 1 alors
k=1
p
X
δ = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap est un entier naturel qui divise tous les ak , il divise donc 1 =
uk ak et
δ = 1, c’est-à-dire que a1 , a2 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble.
k=1
Corollaire 23.2 Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec a alors a∧b =
a ∧ (bc) (le pgcd de deux entiers est inchangé si on multiplie l’un d’eux par un nombre premier
avec l’autre).
Démonstration. Soient δ = a ∧ b et δ 0 = a ∧ (bc) . Comme δ divise a et b, il divise a et bc
ainsi que leur pgcd δ 0 . De au + cv = 1, on déduit que abu + bcv = b et δ 0 qui divise a et bc va
diviser a et b ainsi que leur pgcd δ. On a donc δ = δ 0 .
426
Division euclidienne dans Z
Corollaire 23.3 Soient a1 , a2 , · · · , ap et c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec
p
Q
chacun des ak , pour k compris entre 1 et p, il est alors premier avec leur produit
ak .
k=1
Démonstration. En utilisant le corollaire précédent, on a :
Ã
!
p
p
p
Y
Y
Y
c∧
ak = c ∧ a1
ak = c ∧
ak
k=1
k=2
k=2
puisque a1 est premier avec c et par récurrence finie, on déduit que :
c∧
p
Y
k=1
ak = c ∧
p
Y
k=2
ak = c ∧
p
Y
ak = · · · = c ∧ ap = 1
k=3
puisque chaque ak , pour k compris entre 1 et p, est premier avec c.
Une conséquence importante du théorème de Bézout est le résultat suivant.
Théorème 23.18 (Gauss) Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et a est
premier avec b alors a divise c.
Démonstration. Comme a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers u, v tels que
au + bv = 1 et pour tout entier c, on a acu + bcv = c, de sorte que si a divise bc, il va diviser
c = acu + bcv.
Ce résultat peut être utilisé pour donner une unique représentation des nombres rationnels
non nuls.
p
Corollaire 23.4 Tout nombre rationnel non nul r s’écrit de manière unique r = avec p ∈ Z∗
q
et q ∈ N∗ premiers entre eux.
a
avec (a, b) dans Z∗ × N∗ . En
b
p
p0
p
notant δ = a ∧ b on a a = δp, b = δq et r = avec p et q premiers entre eux. Si r = = 0
q
q
q
avec (p, q) , (p0 , q 0 ) dans Z∗ × N∗ tels que p ∧ q = p0 ∧ q 0 = 1, on a alors pq 0 = p0 q avec q premier
avec p et q qui divise pq 0 , donc q divise q 0 d’après le théorème de Gauss. De manière analogue,
on voit que q 0 divise q. On a donc q = q 0 (q, q 0 sont des entiers naturels non nuls) et p = p0 .
L’écriture est donc unique.
Démonstration. Un nombre rationnel non nul r s’écrit r =
Corollaire 23.5 Si un entier relatif non nul n est divisible par des entiers a1 , a2 , · · · , ap deux
à deux premiers entre eux, il est alors divisible par leur produit.
Démonstration. On procède par récurrence sur p ≥ 2.
Supposons que n soit divisible par a1 et a2 premiers entre eux. On a alors n = a1 q1 et a2
divise n en étant premier avec a2 , il va donc diviser q1 (théorème de Gauss), c’est-à-dire que
q1 = q2 a2 et n = a1 a2 q2 est divisible par a1 a2 .
En supposons le résultat acquis au rang p − 1 ≥ 2, soient a1 , a2 , · · · , ap deux à deux premiers
p−1
Q
entre eux qui divisent n. L’hypothèse de récurrence nous dit que n est divisible par a =
ak .
k=1
Comme ap est premier avec chacun des ak , pour k compris entre 1 et p − 1, il est premier avec
leur produit a (corollaire 23.3) et n qui est divisible par a et ap est aussi divisible par leur
p
Q
produit
ak .
k=1
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
427
Exercice 23.35
1. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe deux entiers pn et qn premiers entre eux
tels que :
³√
´n
√
2 + 1 = pn + qn 2.
√ ¢
√
£√ ¤
¡
2. En utilisant l’application ϕ définie sur l’anneau Z 2 par ϕ a + b 2 = a − b 2 pour
tout (a, b) ∈ Z2 , montrer que, pour tout n ∈ N, on a :
´n
³
³√
√ ´
2 − 1 = (−1)n pn − qn 2 .
3. En déduire que, pour tout n ∈ N, il existe un entier naturel rn tel que :
¢n √
½ ¡√
√
2
+
1
=
r
+
r −1
n
¡√
¢n √
√ n
.
2 − 1 = rn − rn − 1
Solution 23.35
√
£√ ¤
1. Le réel θ = 2 + 1 est dans l’anneau Z 2 , il en est donc de même de θn pour tout
n ∈ N, ce qui prouve l’existence des suites d’entiers (pn )n∈N et (qn )n∈N .
On peut aussi retrouver ce résultat par récurrence en écrivant que pour tout n ∈ N, on a :
´³
³√
√
√ ´
n+1
2 + 1 pn + qn 2 = (pn + 2qn ) + (pn + qn ) 2
θ
=
ce qui donne :
½
pn+1 = pn + 2qn
qn+1 = pn + qn
et montre en outre que les pn et qn sont des entiers naturels non nuls sauf q0 = 0.
On a alors :
pn+1 ∧ qn+1 = (pn + 2qn ) ∧ (pn + qn ) .
En utilisant la relation a ∧ b = a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) (exercice 23.21), on a :
pn ∧ qn = qn ∧ (pn + qn ) = (qn + pn ) ∧ qn
= (qn + pn ) ∧ (pn + qn + qn ) = pn+1 ∧ qn+1 .
On a donc, pour tout n ∈ N :
pn ∧ qn = p0 ∧ q0 = 1 ∧ 0 = 1.
£√ ¤
2. L’application ϕ réalise un automorphisme de l’anneau A = Z 2 . En effet, pour tous
√
√
x = a + b 2 et x0 = a0 + b0 2 dans A, on a :
√
½
ϕ (x + x0 ) = (a + a0 ) − (b + b0 ) 2 =
ϕ (x) + ϕ (x0 )
√
ϕ (xx0 ) = (aa0 + 2bb0 ) − (ab0 + a0 b) 2 = ϕ (x) ϕ (x0 )
√
√
et x = a + b 2 a pour unique antécédent a − b 2 par ϕ.
On a donc, pour tout n ∈ N :
³√
´n
³
³ ³√
´´n
√ ´n
2 − 1 = (−1)n 1 − 2 = (−1)n ϕ
2+1
³³√
´n ´
³
√ ´
n
n
= (−1) ϕ
2+1
= (−1) ϕ pn + qn 2
³
√ ´
= (−1)n pn − qn 2
428
Division euclidienne dans Z
3. Pour tout n ∈ N, on a
¡√
¢n
2 − 1 = 1, soit :
³
√ ´³
√ ´
(−1)n pn + qn 2 pn − qn 2 = 1
2+1
¢n ¡√
ou encore :
p2n − 2qn2 = (−1)n
(c’est une relation de Bézout pour pn et qn qui sont premiers entre eux) et :
p
( ¡√
√
¢n
n
2 + 1 = pn + qn 2 = pn + p2n − (−1)
³
´
p
√ ¢
¡√
¢n
¡
2 − 1 = (−1)n pn − qn 2 = (−1)n pn − p2n − (−1)n
En posant sn = p2n , on a :
( ¡√
p
sn +³ sn − (−1)n
´
p
¢n
¡√
√
2 − 1 = (−1)n
sn − sn − (−1)n
2+1
¢n
=
√
Pour n pair, cela s’écrit :
¢n √
½ ¡√
√
√
√
¡√2 + 1¢n = √sn + √sn − 1 = √rn + √rn − 1
2 − 1 = sn − sn − 1 = rn − rn − 1
avec rn = sn et pour n impair :
¢n √
½ ¡√
√
√
√
2
+
1
=
s
+
1
+
s
=
r
+
r −1
n
n
n
¡√
¢n √
√n
√
√
2 − 1 = sn + 1 − sn = rn − rn − 1
avec rn = sn − 1.