A retenir : TD8, semaine du 14 novembre 2016

A retenir :
TD8, semaine du 14 novembre 2016
TD présenté par :
Samuel Cazayus-Claverie
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Les définitions importantes :
— Un conducteur est un matériau dans lequel se trouvent des charges libres.
On peut citer les métaux (électrons libres), les solutions ioniques (ions
libres) , ou encore les plasmas (gaz ionisés où se déplacent électrons et
ions : un éclair par exemple).
— Equation locale s’oppose sémantiquement à équation intégrale.
Les formules à retenir :
~ = ρ.
— Le théorème de Gauss local div(E)
0
ρ
— L’équation de Poisson ∆V + 0 = 0.
— Expressions des opérateurs différentiels en coordonnées cartésiennes (divergence, gradient, laplacien).
— Discontinuité du champ électrique normal à une distribution surfacique
de charges σ. Si l’on note 1 et 2 les deux demi-espaces séparés par σ :
~2 − E
~ 1 = σ ~n
E
0
où le vecteur unitaire ~n pointe de 1 vers 2, orthogonalement à la distribution de charges.
Les méthodes à retenir :
— Savoir utiliser les formulaires de géométrie différentielle pour les coordonnées cylindriques et sphériques.
— La solution d’une équation aux dérivées partielles est unique sur un domaine donné de l’espace dès lors que l’on fixe les conditions au bord de
ce domaine. Si l’équation est d’ordre 1, il faut une seule condition, si elle
est d’ordre 2 il en faut 2.
Samuel Cazayus-Claverie LPTMS U.PSud
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— Pour déterminer le champ électrique on dispose l’équation de Gauss
locale à l’intérieur du domaine et de l’équation de (dis)continuité au
bord. Cette dernière est suffisante car l’équation de Gauss locale est
d’ordre 1.
— Pour le potentiel scalaire V on dispose de l’équation de Poisson dans
le domaine. On impose la nullité de V à l’infini, et l’équation de
~ 1 − ∇V
~ 2 =
discontinuité du champ électrique, traduite sur V en ∇V
σ
n. Pour effectuer les raccordements entre différents domaines de
0 ~
l’espace, on impose la continuité de V .
— La méthode des images permet de déterminer le champ créé par une
distribution de charges a priori inconnue. Elle est très utile pour traiter les
problèmes d’influence entre conducteurs. Pour appliquer cette méthode,
on introduit une distribution de charges images en dehors du domaine sur
lequel on cherche les champs. Si cette distribution respecte les conditions
aux limites du problème initial, alors elle crée le même champ que la
distribution réelle dans tout le domaine par unicité de la solution des
équations locales.
— Pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 1, à coefficients
non constants, on procède par séparation des variables. Certaines équa0
tions d’ordre supérieur peuvent parfois s’y ramener, par exemple y 00 + yx =
0 se ramène à f 0 + fx = 0 avec f = y 0 .
— Pour tracer l’allure de lignes de champ, quelques règles sont à respecter :
— Elles émergent des zones chargées positivement et aboutissent sur les
charges négatives.
— Elles sont orthogonales aux conducteurs parfaits.
— Elles ne se croisent pas.
— Elles respectent la symétrie du problème.
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