ch 05 derivation

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La dérivation.
Dans tout le reste du chapitre, f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe
représentative C dans un repère orthogonal
( )
j,i;O
rr
.
Définition .
Dire que f est dérivable en x
0
Î
I signifie que
0
lim
®h
__________________ existe et appartient à IR.
On pose alors f’(x
0
)=_________________.Ou, de manière équivalente f’(x
0
)= lim
x ®x
0
_____________.
Lorsque f est dérivable en tout nombre de I, on dit que f est dérivable sur I.
Si f est une fonction dérivable sur I on note sa dérivée f’. On écrit aussi f’ = df
dx (notation
différentielle). Cette dernière notation a l’avantage de préciser quelle est la variable.
Remarques.
§Si f est dérivable en a, la tangente Tà C au point A(a, f(a)) a pour coefficient
directeur f’(a) et admet pour équation y=f’(a)(x-a)+f(a).
§
§Localement, on peut remplacer la fonction f par la fonction affine représentée
par la tangente T :c’est- à-dire remplacer f(a+h) par f’(a)h+f(a) pour h proche de
0 : f’(a)h+f(a) est l’approximation affine de f(a+h) pour h proche de 0.
Exercice 27 p 76 (dérivabilité et existence tangentes, remarques 1 et 2)
29 p 76 (valeur absolue, existence de fonctions continues et non dérivables en un
nombre).
Dérivée et dérivabilité des fonctions usuelles : voir tableau page 64 (rajouter l’exp)+ opérations
(même page)
Exemple : dérivabilité de la fonction tangente sur ]-p/2 ;p/2[
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1. Dérivabilité et continuité.
On a vu à l’exercice précédent que ce n’est pas parce qu’une fonction est continue qu’elle est
dérivable. La réciproque est-elle vraie ?
Propriété .
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Démonstration :
f’(a)=
0
lim
®h
f(a+h)-f(a)
h . Posons ݃(ℎ) =
௙(௔ା௛)ି௙(௔)
௛
. On a
0
lim
®h
g(h)-f’(a)=0.
Ou encore, pour tout h, g(h)-f’(a)=ε(h) où εest une fonction de h dont on ne sait rien, mais
qui tend vers 0 quand h tend vers 0.
Ainsi, pour tout h assez petit:
f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h ε(h) et
0
lim
®h
f(a+h)= f(a) donc f est continue en a !
Remarque :
Si f est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
Exercice d’application : étudier les variations de la fonction définie sur IR par f(x)=e
x
-2. En
déduire que l’équation e
x
= 2 admet une solution unique.
2. Dérivation de fonction composée.
Le théorème suivant permet de calculer la dérivée d’une fonction x
½ ¾¾®
g(u(x)) lorsqu’on sait
calculer les dérivées de g et de u.
Théorème .
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle J et u une fonction dérivable sur un
intervalle I telle que pour tout x
Î
I, u(x)
Î
J,
Alors la fonction f définie par f(x)=g(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I :
f’(x)=g’(u(x))´u’(x).
Démonstration :
Pour tout h assez petit,
݂ሺݔ+ ℎሻ−݂(ݔ)
ℎ=݃൫ݑሺݔ+ ℎሻ൯−݃(ݑሺݔሻ) ݑሺݔ+ ℎሻ−ݑ(ݔ)×ݑሺݔ+ ℎሻ−ݑ(ݔ) ℎ
On calcule la limite du premier facteur lorsque h tend vers 0 en faisant le changement de
variable H=u(x+h)-u(x).
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De par la continuité de u ( u est dérivable), on a :
0
lim
®h
H=0 et
0
lim
®h
௚൫௨ሺ௫ା௛ሻ൯ି௚(௨ሺ௫ሻ)
௨ሺ௫ା௛ሻି௨(௫)
=lim
ு→଴௚ሺ௨ሺ௫ሻାுሻି௚(௨ሺ௫ሻ)
௎
=݃
ᇱ
(ݑሺݔሻ)
On a aussi:
0
lim
®h
௨ሺ௫ା௛ሻି௨(௫)
௛
=u’(x) donc:
f’(x)=
0
lim
®h
௙ሺ௫ା௛ሻି௙(௫)
௛
=݃
ᇱ
(ݑሺݔሻ)×u’(x) . CQFD.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur [0 ;+
¥
[ par f(x)=sin ( x). On pose g(x)=sin x et u(x)= x ; g est
dérivable sur IR de dérivée g’(y) = cos y et u sur ]0 ;+
¥
[ de dérivée u’(x) = 1
2 x donc f est
dérivable sur ]0 ;+
¥
[ et pour tout x dans ]0 ;+
¥
[ f’(x) = cos( x)´1
2 x.
Le théorème ne permet pas de savoir si f est dérivable en 0 : on revient à la définition en
calculant la limite en 0 de t(x)= f(x) – f(0)
x-0 = sin x x = 1
x´sin x xdont la limite en 0 est +
¥
,
donc f n’est pas dérivable en 0.
Remarques :
§Si g est la fonction exp, on retrouve un résultat connu.
§Si u est une fonction affine on retrouve un résultat connu.
Exercice : dérivabilité et dérivée des fonctions définies par : f
1
(x) = cos(1/x), f
2
(x) = 1-x²,
f
3
(x)=(x²-2x+14)
12
.
Il existe quelques cas particuliers importants :
Propriété .
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul alors la fonction f
définie par f(x) = [u(x)]
n
est dérivable sur I et f’(x) = n[u(x) ]
n-1
´u’(x).
Ou encore (u
n
)’ = nu
n-1
´u’
Démonstration :
On pose g(x)= x
n
, g est dérivable sur IR et g’(x) = n x
n-1
d’où le résultat d’après le théorème
précédent.
Corollaire : on a la même formule si n<0 à condition d’avoir u(x)
¹
0 sur I.(car g ne serait pas
dérivable en zéro).
Propriété .
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I, la fonction u est dérivable sur I et
( u)’= u’
2 u .
Dem : évidente.
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Exercices : 84,85,87 88 p 81, 90p11.
Petit problème : 90p109 (avec exp).
3. La fonction tangente.
Activité :
1. Que signifie tan(x) ? En déduire le domaine de définition D de la fonction f :x
½ ¾¾®
tan(x).
2. Montrer que f est périodique de période p.
3. Montrer que la fonction tangente est impaire.Pourquoi suffit-il d’étudier f sur l’intervalle
[0 ; p/2[ ?
4. Justifier que f est dérivable sur D et que f’(x) = 1+tan ² x = 1
cos²x .
5. Déterminer la
2/
2/
lim
p
p
<
®
x
x
f(x). Qu’en déduit-on graphiquement ?
6. Etablir le tableau de variations de f sur [0 ;p/2[.
7. Déterminer une équation de la tangente T au point de la courbe d’abscisse 0. Etudier la
position relative de T et C (courbe de la fonction tangente dans un repère
orthonormal)pour x
Î
[0 ;p/2[.
8. Tracer T er C dans un repère orthonormal
( )
j,i;O
rr
pour x
Î
]-3 p/2 ; p/2[.
Synthèse :
Définition : la fonction tangente est définie pour tout x
¹
p/2 + k p( k
ÎZZ
) par tan x = sin x
cos x .
On note D l’ensemble de définition de cette fonction.
Propriété :
Pour tout x de D, tan(x+p) =tan x et tan(-x) = -tan x.
On dit que la fonction tangente est périodique de période pet qu’elle est impaire.
Dem : si x
Î
D, x+pet –x sont aussi dans D et …
Conséquence : puisque elle est périodique de période p, il suffit de l’étudier sur ]-p/2 ;
p/2[, le reste de la courbe se déduisant par translation. Puisqu’elle est impaire, il suffit
de l’étudier pour x
³
0, le reste de la courbe se déduisant par symétrie de centre 0.
Il suffit donc de l’ étudier sur [0 ; p/2[ .
Prop : tableau de variation.
Prop : la tangente en 0 admet pour équation y=x.
Exercice 79 p 80.
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