M2 Parcours de Physique Quantique / Physique Macroscopique et Complexit´e

M2 Parcours de Physique Quantique / Physique Macroscopique et Complexit´e
Physique Statistique hors de l’´equilibre
TD no2
´
Equation de Kramers dans la limite des grandes frictions
Sur une ´echelle de temps grande devant la friction inverse 1/γ apparaissant dans l’´equation
de Langevin, la position d’une particule Brownienne d´efinit un processus de Markov auquel est
associ´ee l’´equation de diffusion. En d’autres termes, la limite des grandes frictions (γ→ ∞) de
l’´equation de Kramers doit co¨ıncider avec l’´equation de Schmoluchowski. C’est ce que nous nous
proposons de montrer ici.
A/ D´eveloppement perturbatif standard (approche de Hilbert)
1) Pour un fluide de particules Browniennes sans interactions dans un champ de force ext´erieur
F(~r), rappeler l’´equation de Kramers v´erifi´ee par la fonction de distribution f(~r, ~v, t). On
se restreindra dans ce qui suit au cas uni-dimensionnel et on introduit les quantit´es adi-
mensionn´ees τ=tvT/ℓ,V=v/vT,X=x/ℓ,F=Fℓ/(M v2
T) o`u vT=pkBT/M est la
vitesse thermique tandis que Md´esigne la masse du collo¨ıde et ℓune ´echelle de longueur car-
act´eristique du syst`eme, par exemple le rayon des particules lorsque celles-ci sont suppos´ees
sph´eriques. V´erifier que l’´equation de Kramers devient :
∂
∂V V f +∂f ∂V !=1 eγ"∂ ∂τ +V∂ ∂X +F(X)∂ ∂V #f(X, V, τ) (1)
o`u eγ=γℓ/vTd´esigne le coefficient de friction adimensionn´e.
2) Sous cette forme, et dans la limite 1/eγ→0, cette ´equation est bien adapt´ee `a un d´eveloppe-
ment perturbatif que nous ´ecrivons
f(X, V, τ ) = f(0)(X, V, τ ) + 1
eγf(1)(X, V, τ) + 1 eγ2f(2)(X, V, τ) + ... (2)
Ecrire les ´equations v´erifi´ees par f(0),f(1) et f(2). Montrer que f(0) est de la forme :
f(0) =φ(X, τ)e−V2/2
o`u φ(X, τ) est a priori une fonction arbitraire. D´eduire de l’´equation v´erifi´ee par f(1) que :
∂φ
∂τ = 0.
3) Montrer que : f(1) =ψ(X, τ)e−V2/2+ (φ(X)F(X)−∂Xφ)Ve−V2/2o`u ψ(X, τ ) est ici aussi
une fonction arbitraire. De mˆeme, utiliser l’´equation v´erifi´ee par f(2) pour montrer que :
∂ψ
∂τ +∂ ∂X φ(X)F(X)−∂φ ∂X != 0.
Donner alors l’expression de la fonction f(X, V, τ ) au premier ordre en 1/eγ.

4) Nous nous int´eressons davantage `a la densit´e ρ(X, τ ) = R+∞
−∞ f(X, V, τ )dV . Exprimer ρ(X, τ)
en fonction de φet ψ, et montrer qu’au premier ordre en 1/eγcette fonction v´erifie –en
revenant aux variables initiales–l’´equation de Smoluchowski :
∂ρ(x, t)
∂t =−1 γM
∂
∂xρ(x, t)F(x)+D∂2 ∂x2ρ(x, t) o`u D=kBT γM .
5) Ce d´eveloppement perturbatif, que l’on trouve par exemple dans la monographie de N.G.
van Kampen1, est incoh´erent. Quel est le probl`eme ?
B/ Echelles multiples
Pour obtenir un d´eveloppement pertinent de l’´equation de Kramers (1), nous allons utiliser la
m´ethode dite des ´echelles multiples. L’id´ee est d’associer `a l’´equation d’´evolution (1) une nouvelle
´equation
∂
∂V VM+∂M ∂V !=1 eγ"∂ ∂τ0
+eγ−1∂
∂τ1
+eγ−2∂
∂τ2
+···+eγ−n∂
∂τn
+V∂
∂X +F(X)∂ ∂V #M(3)
o`u la distribution M(X, V, τ0, τ1,...,τn) est d´efinie sur un espace `a n-dimensions de variables
temporelles ind´ependantes. Le point cl´e est ensuite de remarquer que la solution de (3) restreinte
`a la ligne (dite ligne physique)
τ0=τ;τ1=eγ−1τ;τ2=eγ−2τ;...
est une solution du probl`eme (1). En dehors de la ligne physique, la solution M(X, V, τ0, τ1,...,τn)
n’a pas de sens physique, d’o`u la possibilit´e d’imposer des conditions aux limites appropri´ees
pour r´egulariser les probl`emes apparaissant avec le d´eveloppement perturbatif na¨ıf (partie A).
Finalement, la fonction auxiliaire Mest d´evelopp´ee en puissances du petit param`etre 1/eγ, comme
dans l’´equation (2). On peut noter que la d´ependence en τide la fonction de distribution caract´erise
l’´evolution du syst`eme sur l’´echelle de temps τ∼eγi(i= 0,1,2,...).
1) Ecrire les ´equations v´erifi´ees par M(0),M(1) et M(2).
2) Montrer que M(0) est ind´ependante de τ0, et de la forme :
M(0) =φ(X, τ1, τ2,...)e−V2/2.
3) En d´eduire que M(1) a la mˆeme structure que f(1) ci-dessus. Pr´eciser l’´equation v´erifi´ee par
ψet φ. Montrer que ψest ind´ependante de τ0.
4) En se ramenant finalement `a l’axe physique, montrer que la densit´e v´erifie l’´equation de
Smoluchowski.
5) Qu’aurait-on obtenu si on avait tenu compte de l’´echelle de temps la plus rapide τ∼eγ−1via
l’introduction de τ−1=eγτ dans le membre de droite de (3) ?
R´ef´erences :
Cet ´enonc´e est inspir´e de l’article suivant : L. Bocquet, American Journal of Physics 65, 140
(1997). Sur le probl`eme du gaz de Lorentz, trait´e ´egalement par la m´ethode des ´echelles multiples,
on peut consulter J. Piasecki, American Journal of Physics 61, 718 (1993).
1Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland Personal Library (1997)