Chapitre 1.5 – Les fonctions trigonométriques inverses et le MHS

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.5 – Les fonctions trigonométriques
inverses et le MHS
La constante de phase quelconque
Lorsqu’on doit évaluer la constante de phase du mouvement harmonique simple ( tAx sin ),
il faut manipuler la fonction arcsinus (sin-1). Cette fonction évalue l’arc de cercle requis pour
positionner une coordonnée y sur un cercle trigonométrique. La difficulté est qu’il y a une infinité
d’arcs de cercle menant à une même coordonnée y sur un cercle trigonométrique.
Exemple : ...,6/11,6/7,6/,6/5,...2/1sin)2/1arcsin( 1
x
y
0 7π / 6
7π / 6
0,10 P
2/3
2/1
2/3
-π / 6
 2
1
,
2
3
6/
P
 2
1
,
2
3
6/7
P
-π / 6
Deux angles pour sinus et cosinus
Dans un cercle trigonométrique, on peut visualiser qu’il y a toujours plusieurs solutions au calcul de la
fonction arcsinus et arccosinus. Pour une position en y sur le cercle, il y a deux positions en x
admissibles et vice versa.
x
y
sin
Les angles et ont le même sinus
x
y
cos
2
Les angles et 2 ont le même cosinus
P.S.
...,,,...tanarctan 11   xx

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1 : La constante de phase d’un MHS. La position en
fonction du temps d’un mobile est donnée par
x  A sin( t  )
avec A  0,4 m et  2 rad/s. À t  0, le mobile est situé en
x  0,2 m et il se déplace dans le sens négatif de l’axe x
(schéma ci-contre). On désire déterminer la valeur de
(0  2 rad).
x
t
Simplifions notre équation de la position pour t = 0 :
 tAx sin  02sin4,02,0 (Remplacer pour t = 0)
sin5,0  (Simplification)
Nous pouvons obtenir les constantes de phase admissibles :
sin5,0   5,0sin 1
...,
6
,
6
7
,...
P.S. Calculatrice : rad6/
x
y
π / 6
2/1
-7π / 6
Évaluons la vitesse à t = 0 pour ces deux constantes de phase :
 tAvxcos  6/702cos24,0
x
v  m/s693,0
x
v
6/02cos24,0
x
v  m/s693,0
x
v
Puisque le mobile se déplace dans le sens négatif de l’axe x, nous choisissons la constante de phase
suivante :
6
7
Dans l’énoncé, on demande que
20 . Ainsi, nous allons ajouter 2π à notre constante de phase
trouvée précédemment :
6
7
2
  rad262,0
6
5

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 3
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 2 : Trois instants à la même position. La position en fonction du temps d’un
mobile est donnée par
x  0,5 sin(3t  4,5 )
où x est en mètres et t est en secondes. On désire déterminer les 3 premiers instants après
t  0 où le mobile est situé en x  –0,4 m.
Simplifions notre équation de la position :
 tAx sin  5,43sin5,04,0  t (Remplacer pour 4,0x)
5,43sin8,0  t (Simplification)
Évaluons les arcs de cercle admissibles :
5,43sin8,0  t  8,0sin5,43 1  t
...,07,4,927,0,...5,43 t
P.S. Calculatrice : rad927,05,43 
t
Nous cherchons les 3 premiers temps positifs :
Essaie 1 : 927,0 927,05,43
t  s81,1t (non valide)
Essaie 2 : 07,4 07,45,43
t  s143,0t (non valide)
Essaie 3 :
2927,0  36,55,43 t  s287,0
t
Essaie 4 :
207,4  35,105,43 t  s95,1
t
Essaie 5 :
4927,0  64,115,43 t  s38,2
t
Voici une représentation de la fonction avec l’identification des moments où le mobile occupe la
position m4,0
xà des temps positifs :
x (m)
t (s)
0,5
–
0
,
5
0,285
–
0
,
4
1,95 2,38
x
y
4,07
8,0 -0,927

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Situation 3 : L’amplitude et la constante de phase à partir de la position, de la vitesse et
de la fréquence angulaire. La position en fonction du temps d’un objet est donnée par
tAx sin
Avec rad/s3 . À s2t, la position de l’objet est m4,0x et la composante
selon x de sa vitesse est m/s6,0
x
v. On désire déterminer la valeurs de A et
. (On
veut 0A et rad20  .)
Exprimons la fonction de la position à 2 secondes :
 tAx sin   23sin4,0 A (Position à 2 s)
 6sin4,0 A (1)
Exprimons la fonction de la vitesse à 2 secondes :
 tAvxcos   23cos36,0 A (Vitesse à 2 s)
 6cos2,0 A (2)
Évaluons le carré de nos deux équations :
De (1) :
22 6sin4,0
 A 
 6sin16,0 22 A (1)2
De (2) :
22 6cos2,0
 A 
 6cos04,0 22 A (2)2
Additionnons nous deux équations (1)2 et (2)2 afin d’évaluer A :
(1)2 + (2)2   6cos6sin04,016,0 2222 AA (Additionner éq.)
(1)2 (2)2 (1)2 (2)2
 6cos6sin2,0 222 A (Factoriser A et simplification)
12,0 2 A ( 1sincos 22  )
 2,0A (Isoler A)
 m447,0
A (0A selon l’énoncé)
Simplifions notre équation de la position à 2 s (1) en utilisant la valeur de A trouvée :
 6sin4,0 A   6sin447,04,0 (Remplacer A)
 6sin895,0 (Simplification)

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Nous pouvons obtenir les constantes de phase admissibles :
 6sin895,0  895,0sin6 1 
...,25,4,11,1,...6
P.S. Calculatrice : rad11,16 
Nous avons les solutions suivantes pour la constante de phase :
...,25,4,11,1,...6  6...,25,4,11,1,...
...,75,1,11,7,...
Ce qui donne :
n 211,7  , Zn
et n
275,1  , Zn
Choisissons la bonne constante de phase
à partir de l’équation (2) de la vitesse à t = 2 s :
 6cos6,0 A 
6cos3447,06,0 (Remplacer A et
)
6cos341,16,0 (Simplifier)
Choix 1 : 11,7
11,76cos341,16,0  (Remplacer )
 6,06,0  (Contradiction)
Choix 2 : 75,1
75,16cos341,16,0  (Remplacer )
 6,06,0  (Vérification)
Ainsi, nous pouvons choisir la constante de phase suivante :
75,1
Dans l’énoncé, on demande que
20 . Ainsi, nous allons ajouter 2π à notre constante de phase
trouvée précédemment :
75,12 
 rad53,4
Voici l’équation finale :
53,43sin447,0 tx
où m447,0
A et rad53,4
x
y
4,25
895,0
-1,11