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Chapitre 1
I – Les fonctions
1) Limite d’une fonction en l’infini
a) Limites réelles en l’infini.
Définition : Soient f
une fonction réelle et
intervalle ……………………………….
On note alors …………………………….
Remarques :
• Graphiquement, cette propriété se traduit par le fait que la
courbe représentative de f se «
rapproche
………………………………………………………………….
On dit que la droite d’équation ………………….. est
…………………………………………………………………..
• Les définitions de cette section sont analogues pour les limites
en , en remplaçant « pour 
assez grand
………………………… »
Exemples : Ci
ter des fonctions admettant des limites réelles en l’infini.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Théorème : Si une fonction 
a pour limite L en
Pour une démonstration analogue, voir le II
b) Limites infinies en l’infini
Définition : Soit f
une fonction réelle. On dit que
de la forme 
(resp ………………….)
…………………………………………………………………………………………………………………….
Définition : Si une fonction f
admet une limite infinie en l’infini, elle peut
asymptote ………………………. en l’infini.
La courbe d’une fonction f
admet une asymptote …………………. d’équation ………………….. en …………
si………………………………………………………….
LES LIMITES
une fonction réelle et
l un nombre réel. On dit que f
a pour limite
intervalle ……………………………….
l contient toutes les valeurs de  pour
On note alors …………………………….
• Graphiquement, cette propriété se traduit par le fait que la
rapproche
» de …………………
………………………………………………………………….
On dit que la droite d’équation ………………….. est
…………………………………………………………………..
• Les définitions de cette section sont analogues pour les limites
assez grand
» par « …………...
ter des fonctions admettant des limites réelles en l’infini.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
a pour limite L en
,
alors L est…………………………..
Pour une démonstration analogue, voir le II
– 1).
une fonction réelle. On dit que
f a pour limite  (resp ) en
(resp ………………….)
contient toutes les valeurs de ……………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
admet une limite infinie en l’infini, elle peut
éventuellement
asymptote ………………………. en l’infini.
admet une asymptote …………………. d’équation ………………….. en …………
si………………………………………………………….
Terminale S
a pour limite
l en , si tout
………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
alors L est…………………………..
 si tout intervalle ouvert
contient toutes les valeurs de ……………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
éventuellement
admettre une
admet une asymptote …………………. d’équation ………………….. en …………

Exemples :
a) Citer des fonctions admettant des limites infinies en l’infini.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
b) Montrer que la courbe de la fonction
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
Remarque importante : L’étude du
signe de la différence
courbe C
par rapport à la droite d’équation y = ……….
La courbe C est au-
…………….………de
l’asymptote
Exemple) : On considère la fonction f
définie sur
a) Démontrez que la droite (d) d’équation y = 2
dans un repère choisi.
b) Etudiez la position de C
par rapport à (d).
a) Citer des fonctions admettant des limites infinies en l’infini.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
b) Montrer que la courbe de la fonction
f :     définie sur 
admet une asymptote en
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
signe de la différence
indique la
par rapport à la droite d’équation y = ……….
…………….………de
La courbe C est au-
……………..…….. de
l’asymptote
définie sur
 par : f(x) =
2
532
2
−
+−
x
xx
a) Démontrez que la droite (d) d’équation y = 2
x
+ 1 est asymptote oblique à la courbe
par rapport à (d).
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
admet une asymptote en
.
…………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
indique la
position relative de la
……………..…….. de
l’asymptote
+ 1 est asymptote oblique à la courbe
C représentative de f

2) Limite d’une fonction en un nombre réel
Définition : Dire que  a pour limite  (ou ) au voisinage de a
signifie que tout intervalle ouvert de la forme  (resp ……………….)
contient toutes les valeurs de ……………………………………………………
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………..................................................
Propriété : Si    (ou …………), alors la droite d’équation
……………….. est …………………………………………………………….
…………………………………………………..................................................
…………………………………………………..................................................
Exemples : Citer des fonctions admettant des limites infinies en un nombre réel.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Définition : Soit l un réel. Dire que  admet l pour limite au voisinage de a signifie que tout intervalle
ouvert centré en l contient aussi …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par   
 .
Déterminer la limite de f lorsque  tend vers 0.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Remarque : Il existe des cas importants où les limites à gauche et à droite d’un réel a sont différentes.
Exemples : ………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

3) Règles opératoires et théorèmes sur les limites
Dans ce qui suit f et g sont deux fonctions réelles, l et l’ sont deux réels et a désigne un nombre réel ou .
a) Somme de deux fonctions
Si
α →x
lim f(x) = L L L + ∞
- ∞ + ∞
et
α →x
lim g(x) = L’
+ ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞
alors
α →x
lim (f + g)(x) =
b) Produit de deux fonctions
Si
α →x
lim f(x) = L L ≠ 0 0 + ∞ ou - ∞
et
α →x
lim g(x) = L’ + ∞ ou - ∞ + ∞ ou - ∞ + ∞ ou - ∞
alors
α →x
lim (f × g)(x) =
c) Quotient de deux fonctions
Si
α →x
lim f(x) = L L ≠ 0
L ± ∞ 0 ± ∞
et
α →x
lim g(x) = L ‘ ≠ 0
0 ± ∞ L’ 0 ± ∞
Alors
α →x
lim
(
)
( ) xg
xf =
Exemple :
Déterminez la limite de la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) =
(
)
x
x
+1
1
a) en 0 b) en + ∞
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
4) Composition de deux fonctions
Soit    la composée de f et de g, en supposant qu’elle existe bien.
Dans la propriété qui suit, a, b et l désignent des nombres réels ou .
Propriété : Si    et   , alors ………………………………….
Exemples : Soit f la fonction définie pour tout réel par   .
Déterminer la limite de f en .
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

5) Limites et ordre
Théorème (des gendarmes) : f, g et h sont 3 fonctions définies sur J et l est un réel.
Si pour tout  de J,      et si  et  ont la même limite l en , alors…………………………
Démonstration du théorème des gendarmes.
Soit I un intervalle ouvert centré en l.
On doit montrer que I contient tous les réels  pour  assez grand.
Par hypothèse,   , donc I contient …………………………………………………………….
Plus précisément, il existe un réel A tel que ……………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Remarque : Le théorème des gendarmes est encore valable si l’on remplace   par   et la
limite  en  par la limite  en .
Il est également valable si l’on remplace   par   et la limite  en  par la limite  en  (où
 ).
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par   
.
Déterminer la limite de f en 0 par valeurs positives.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Théorème : f et g sont deux fonctions définies sur J et l est un réel.
Si pour tout  de J,   et si  , alors…………………………………………
Théorème : f et g sont deux fonctions définies sur J.
1) Si pour tout  de J,    et si   , alors……………………………………………
2) Si pour tout  de J,    et si………………………., alors……………………………………………
Exemple : Déterminer la limite en  de la fonction définie par   en utilisant l’une de ces
règles.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
6) Méthodes de calculs de limites indéterminées
a) Factorisation forcée
Dans le cas du calcul d’une limite en l’infini, on peut avoir recours à une factorisation forcée.
On factorise de manière artificielle le terme présentant une indétermination, ou bien le numérateur et le
dénominateur dans le cas d’une fraction, par son terme ……………………………
On fait ainsi apparaître des termes dont la limite sera nulle, ce qui simplifiera le calcul et permettra de lever
l’indétermination.
Exemples : Déterminer 
 et 
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….