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Chapitre 1 LES LIMITES Terminale S I – Les fonctions 1) Limite d’une fonction en l’infini a) Limites réelles en l’infini. Définition : Soient f une fonction réelle et l un nombre réel. On dit que f a pour limite l en ∞, si tout intervalle ………………………………. l contient toutes les valeurs de pour …………………………. On note alors ……………………………. Remarques : • Graphiquement, cette propriété se traduit par le fait que la courbe représentative de f se « rapproche » de ………………… …………………………………………………………………. On dit que la droite d’équation ………………….. est ………………………………………………………………….. • Les définitions de cette section sont analogues pour les limites en ∞, en remplaçant « pour assez grand » par « …………... ………………………… » Exemples : Citer ter des fonctions admettant des limites réelles en l’infini. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Théorème : Si une fonction a pour limite L en ∞, alors L est………………………….. Pour une démonstration analogue, voir le II – 1). b) Limites infinies en l’infini Définition : Soit f une fonction réelle. On dit que f a pour limite ∞ (resp ∞) en ∞ si tout intervalle ouvert de la forme ; ∞ (resp ………………….) contient toutes les valeurs de …………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………. Définition : Si une fonction f admet une limite infinie en l’infini, elle peut éventuellement admettre une asymptote ………………………. en l’infini. La courbe d’une fonction f admet une asymptote …………………. d’équation ………………….. en ………… si…………………………………………………………. Exemples : a) Citer des fonctions admettant des limites infinies en l’infini. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. b) Montrer que la courbe de la fonction f : 2 1 définie sur 0; ∞ admet une asymptote en ∞. ……………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque importante : L’étude du signe de la différence indique la position relative de la courbe C par rapport à la droite d’équation y = ………. La courbe C est au- …………….………de La courbe C est au- ……………..…….. de l’asymptote l’asymptote 2 x 2 − 3x + 5 Exemple) : On considère la fonction f définie sur 2 par : f(x) = x−2 a) Démontrez que la droite (d) d’équation y = 22x + 1 est asymptote oblique à la courbe C représentative de f dans un repère choisi. b) Etudiez la position de C par rapport à (d). 2) Limite d’une fonction en un nombre réel Définition : Dire que a pour limite ∞ (ou ∞) au voisinage de a signifie que tout intervalle ouvert de la forme ; ∞ (resp ……………….) contient toutes les valeurs de …………………………………………………… ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………….................................................. Propriété : Si lim ∞ (ou …………), alors la droite d’équation ……………….. est ……………………………………………………………. ………………………………………………….................................................. ………………………………………………….................................................. Exemples : Citer des fonctions admettant des limites infinies en un nombre réel. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Définition : Soit l un réel. Dire que admet l pour limite au voisinage de a signifie que tout intervalle ouvert centré en l contient aussi ………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………. Exemple : Soit f la fonction définie sur 1; ∞ par . Déterminer la limite de f lorsque tend vers 0. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque : Il existe des cas importants où les limites à gauche et à droite d’un réel a sont différentes. Exemples : ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3) Règles opératoires et théorèmes sur les limites Dans ce qui suit f et g sont deux fonctions réelles, l et l’ sont deux réels et a désigne un nombre réel ou !∞. a) Somme de deux fonctions Si lim f(x) = x →α L et lim g(x) = x →α L’ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ -∞ L L +∞ -∞ +∞ alors lim (f + g)(x) = x →α b) Produit de deux fonctions f(x) = Si lim x →α L L≠0 0 + ∞ ou - ∞ et lim g(x) = x →α L’ + ∞ ou - ∞ + ∞ ou - ∞ + ∞ ou - ∞ alors lim (f × g)(x) = x →α c) Quotient de deux fonctions f(x) = Si lim x →α L L≠0 et lim g(x) = x →α L‘≠0 0 Alors lim x →α L ±∞ ± ∞ L’ 0 ±∞ 0 ±∞ f (x ) = g (x ) Exemple : Déterminez la limite de la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = 1 1+ x x ( ) a) en 0 b) en + ∞ ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4) Composition de deux fonctions Soit " # $ la composée de f et de g, en supposant qu’elle existe bien. Dans la propriété qui suit, a, b et l désignent des nombres réels ou !∞. Propriété : Si lim et lim% # &, alors …………………………………. Exemples : Soit f la fonction définie pour tout réel par '1 . Déterminer la limite de f en ∞. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 5) Limites et ordre Théorème (des gendarmes) : f, g et h sont 3 fonctions définies sur J ; ∞ et l est un réel. Si pour tout de J, ( # ( " et si et " ont la même limite l en ∞, alors………………………… Démonstration du théorème des gendarmes. Soit I un intervalle ouvert centré en l. On doit montrer que I contient tous les réels # pour assez grand. Par hypothèse, lim) &, donc I contient ……………………………………………………………. Plus précisément, il existe un réel A tel que ………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque : Le théorème des gendarmes est encore valable si l’on remplace * ; ∞ par * ∞; et la limite & en ∞ par la limite & en ∞. Il est également valable si l’on remplace * ; ∞ par * ; et la limite & en ∞ par la limite & en + (où + , *). Exemple : Soit f la fonction définie sur - par sin 01. Déterminer la limite de f en 0 par valeurs positives. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Théorème : f et g sont deux fonctions définies sur J ; ∞ et l est un réel. Si pour tout de J, | &| ( # et si lim) # 0, alors………………………………………… Théorème : f et g sont deux fonctions définies sur J ; ∞. 1) Si pour tout de J, 3 # et si lim) # ∞, alors…………………………………………… 2) Si pour tout de J, ( # et si………………………., alors…………………………………………… Exemple : Déterminer la limite en ∞ de la fonction définie par cos en utilisant l’une de ces règles. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 6) Méthodes de calculs de limites indéterminées a) Factorisation forcée Dans le cas du calcul d’une limite en l’infini, on peut avoir recours à une factorisation forcée. On factorise de manière artificielle le terme présentant une indétermination, ou bien le numérateur et le dénominateur dans le cas d’une fraction, par son terme …………………………… On fait ainsi apparaître des termes dont la limite sera nulle, ce qui simplifiera le calcul et permettra de lever l’indétermination. Exemples : Déterminer lim 6 78 ) 97 et lim 8 4 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque : Cette méthode est particulière utile dans le cas des fonctions polynômes ou rationnelles. On en tire la propriété suivante : Propriété : La limite en ∞ (ou …………) d’une fonction polynôme (ou ……………………..) est la même que la limite de son terme ……………………………………… (ou du ……………………………………… ……………………………………………………………………………. ? @ 7 Exemple : Utiliser cette propriété pour déterminer lim) 6 . A 78 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. b)) Utilisation de la quantité conjuguée Il arrive parfois d’obtenir une forme indéterminée lors de la recherche d’une limite en un réel a. On peut alors, dans certains cas, utiliser la méthode de la quantité conjuguée. √?7 2 par Exemple : Déterminer la limite lorsque tend vers 2 de la fonction définie sur \2 . 78 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. c) Utilisation du nombre dérivé Rappel : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si la quantité On note …………… cette limite. = 7= = On a également < lim = C7= C admet une limite lorsque …………………… 7 DEF Exemple : Déterminer la limite en 0 de la fonction f définie sur - par . ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. II – Les suites 1) Suites convergentes Définition : Dire qu’un réel L est limite d’une suite >G signifie que tout intervalle ouvert de centre L contient …………………………………………………………………………………………………………... Remarque : On dit aussi que la suite >G ………………………………….. Cette définition traduit l’accumulation des termes >G autour de l. On écrit ……………………. et on dit que >G est ……………….de limite l. Exemples : Citer des exemples de suites convergentes dont vous connaissez la limite. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Propriétés : • La suite >G converge vers 0 ssi la suite |>G |……………………………………….. • La suite >G converge vers L ssi la suite >G I…………………………………………………… Exemples : Pour tout J , K- , on définit LG 2 G √ ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Théorème (opérations et limites) : Soit >G et LG deux suites définies sur K de limites respectives L et L’. Alors, • la suite >G LG …………………………………………………. • pour tout réel M, la suite M>G …………………………………….. • la suite >G N LG …………………………………………………… Q • si IO P 0, la suite 0 R1…………………………………………………. SR Théorème : Soit >G une suite de réels. Si >G converge vers L, alors L est UNIQUE. Démonstration : Théorème : Si >G est une suite de réels positifs à partir d’un certain rang et de limite L, alors L est ……………………………………………………………………………………………………………… Idée de la démonstration : démonstration par l’absurde Corollaires : • Si >G est une suite de réels négatifs à partir d’un certain rang et de limite L, alors L est …………………………………………………………………………………………………………… • Si >G est une suite de réels convergeant vers L et majorée à partir d’un certain rang par M, alors…………… • Si >G est une suite de réels convergeant vers L et minorée à partir d’un certain rang par m, alors…………… • Si >G et LG sont deux suites convergeant respectivement vers L et L’ et vérifiant à partir d’un certain rang >G ( LG , alors…………………………………………………………… Démonstration d’un point : Exemples : • Pour tout J T 0, on pose >G G G • Pour tout J , K, on définit >G G et LG G 8G Théorème des gendarmes : On considère 3 suites (un) , (vn) et (wn) telles que un ≤ ……. ≤ wn à partir d’un certain rang. rang SI les suites (…….) et (………) convergent toutes les deux vers le même réel L,, alors la suite (…….) est convergente et converge vers ……….. Exemple : On considère la suite définie par un = sin n pour n ≥ 1. n Montrer que (un) est convergente vers 0 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Théorème : l est un réel. Si, pour tout n supérieur à un certain rang m, |>G &| ( LG et si limG) LG 0,, alors……………………… 2) Suites divergentes a) Définition Définition : Dire qu’une suite >G a pour limite ∞ signifie que ……………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. On dit également que la suite >G diverge diverge………………………………. Cette définition traduit l’idée que les termes >G finissent par dépasser…………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. On écrit ……………………. Exemples : Citer des suites qui ont pour limite ∞. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Remarque : lim >G ∞ signifie que ……………………………………………………………………... G) ……………………………………………………………………………………………………………………... b) Rappel : suite arithmétique, suite géométrique XY ZY Théorème : Soit >G une suite arithmétique de raison [. • Si ……………………………………………………………………………… • Si ……………………………………………………………………………… • Si ……………………………………………………………………………… Exemple : Citer un exemple de suite arithmétique dans chaque cas. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... Théorème : q est un réel. • Si – 1 < q < 1, alors lim U G …………………………….. …………………………….. G) • Si q > 1, alors lim U G …………………………….. …………………………….. G) • Si U ( 1,, alors la suite n’a ………………………………………………….. 9 G Exemples : • La suite géométrique définie par >G 01 a pour limite ……….., car …………………………. G • La suite géométrique définie par >G 091 a pour limite ……….., car …………………………. • la suite géométrique 2G ………………………………………………………………………… c) Opérations et théorèmes de comparaison. Rappels On admettra que : Théorème : • Si pour tout J 3 V, >G 3 LG et limG) LG ∞,, alors ……………………………………… • Si, pour tout J 3 V, >G ( LG et ………………………………………………………………………………. d) Suites monotones Définition : • Dire qu’une >G est majorée signifie qu’il existe ………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. • Dire qu’une LG est minorée signifie qu’il existe …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. • Une suite à la fois minorée et majorée ée est dite ………………. Interprétation graphique : Remarque : Par négation, « la suite >G est non majorée » signifie …………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. Exemples : • >G cos J, la suite >G est ………………………………………………………………………. ………………………………………………………………… 8 • >G J , la suite >G est ………………………………………………………………………………………. Exercice : >G G8 W 8G. G Montrer que, pour tout entier n > 0, 8 ( >G ( 1. Théorème : 1) Toute suite croissante non majorée …………………………………………………………… 2) Toute suite décroissante non minorée……………………………………………………………………….. Démonstration : Remarque : Il suffit qu’une suite soit croissante et non majorée pour qu’elle …………………………………., mais il n’est pas nécessaire qu’une suite soit croissante pour avoir comme limite ………….. 3) Lien suites/fonctions a) Suites du type XY \ Y. Rappels Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle ; ∞et >G est la suite définie par >G J. La lettre l désigne soit un réel, soit ∞, soit ∞. Si lim) &, alors …………………………. b) Suites du type XY \ ]Y . Compléments Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle I ; LG est une suite dont tous les termes appartiennent à I. Les lettres b et c désignent soit un réel, soit ∞, soit ∞. Si limG) LG et si lim% ^, alors …………………………………………………………….. Exemple : Déterminer la limite de la suite >G définie par >G ' G8 G . ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………...
