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EXERCICES COMPLEMENTAIRES
EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
1. Calculer la dérivée de la fonctions fdéfinie, pour x > 0, par f(x) = (1 + x)x2.
2. Calculer les limites des fonctions fdéfinies ci-dessous aux points indiqués :
a) f(x) = tan x−1
x−π/4(x→π/4) b) f(x) = e3x−e3 x3−1(x→1)
c) f(x) = x1−cos 1
x(x→+∞) d) f(x) = x+ ln(1 −e2−x)−ln(x−2) (x→2)
3. Soient fet gles fonctions définies par
f(x) = arcsin(3x−4x3) et g(x) = arcsin x .
a) Montrer que fet gont le même domaine de définition I.
b) Déterminer les points de Ioù gest dérivable, et montrer que fest dérivable sur l’ensemble
J= ] −1,−1/2 [ ∪]−1/2,1/2 [ ∪] 1/2,1 [ .
c) Trouver, suivant les valeurs de x, une relation simple entre f′(x)et g′(x)lorsque xappartient
àJet exprimer pour tout xde I, le nombre f(x)en fonction de g(x).
4. Soit fune fonction numérique définie sur R. Que peut-on dire de f′si fest paire, si fest
impaire, si fest périodique ?
Examiner les réciproques.
5. Calculer la dérivée n−ième de la fonction fdéfinie par
f(x) = 1
√x
6. a) Soit nun entier positif. On définit sur Rla fonction fnen posant fn(x) = xn. Calculer les
dérivées successives de fn.
b) Calculer la dérivée d’ordre nde f2ndirectement, puis en écrivant f2n=fn·fnet en utilisant
la formule de Leibniz. En déduire la relation
n
X
k=0 n
k2
=2n
n.
1

7. Déterminer l’ensemble des points de Roù la fonction fdéfinie par
f(x) = |x−1| − 2
est dérivable.
8. Déterminer si la fonction fsuivante possède une dérivée à droite en 0, et calculer f′(0) si
c’est le cas.
Calculer f′(x)pour tout x > 0. Si fest dérivable sur [ 0,+∞[est-elle de classe C1sur cet
intervalle ?
f(x) = xxxsi x > 0
0 si x= 0
9. a) Soient nun entier naturel, et αun nombre réel. On définit la fonction fn,α sur Rpar
fn,α(x) = xnsin 1
x−αsi x6= 0
0 si x= 0
a) Montrer que fn,α est de classe C1sur R∗, et exprimer f′
n,α à l’aide des fonctions fp,β.
b) Déterminer, pour quelles valeurs de nla fonction fn,α
b1) admet une limite en 0
b2) est continue en 0
b3) est dérivable en 0
b4) est de classe C1sur R
b5) est deux fois dérivable en 0.
10. Trouver un majorant de l’erreur commise en remplaçant 4
√10001 par 10.
(On appliquera le théorème des accroissements finis à la fonction f:t7→ 4
√tdans l’intervalle
fermé I= [ 10000,10001 ] , pour majorer 4
√10001 −4
√10000).
11. a) Etablir que l’équation e−x2=xadmet une solution et une seule notée adans R, et que
0< a < 1.
b) Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = e−x2. Démontrer que pour tout xréel
|f(x)−f(y)| ≤ r2
e|x−y|.
c) On définit la suite (un)n≥0à partir de u0= 0 par la relation de récurrence
un+1 =f(un).
Montrer que pour tout entier n positif,
|un−a| ≤ (0,9)n.
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En déduire un entier ntel que unsoit une valeur approchée de aà10−5près.
12. Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x) = ch √xsi x≥0
cos √−xsi x < 0
Montrer, de deux façons différentes, que fest dérivable en 0. Cette fonction est-elle deux fois
dérivable en zéro ?
13. Soient fune fonction numérique définie sur R,aun nombre réel, et θla fonction définie
sur R∗par
θ(h) = f(a+h)−f(a−h)
2h.
a) Montrer que si fest dérivable à gauche et à droite en a, la fonction θadmet une limite en 0,
que l’on donnera en fonction de f′
g(a)et f′
d(a)(cette limite est appelée dérivée centrée de fen a).
b) Etudier la réciproque. (Remarquer que si fest une fonction paire et si a= 0, alors θadmet
une limite en zéro).
14. a) Soit fla fonction définie sur R+par f(x) = x2sin √x.
La fonction fest-elle dérivable en 0 ? deux fois dérivable en 0 ?
b) Mêmes questions avec les fonctions get hdéfinies sur R+par
g(x) = (sin √x)2et h(x) = (sin √x)3.
15. Soit fla fonction définie par
f(x) = e−1/x2si x6= 0
0 si x= 0
a) Montrer que fest continue sur R.
b) Montrer que pour tout entier n≥1, il existe un polynôme pair Pnde degré 2(n−1), dont le
coefficient du terme de plus haut degré vaut an= (−1)n+1(n+ 1)!, tel que Pn(0) = 2n, et qui
vérifie, pour tout xnon nul
f(n)(x) = f(x)Pn(x)
x3n.
c) Calculer la limite de f(n)(x)lorsque xtend vers zéro, et en déduire que fest de classe C∞
sur R, ainsi que la valeur de f(n)(0).
16. Soit f la fonction de Rdans Rdéfinie par f(x) = 2x+ sin x.
a) Montrer que f est bijective. Déterminer son développement limité à l’ordre 3 en 0.
b) On pose g=f−1. Justifier que l’application gest trois fois dérivable sur R, et ainsi qu’elle
admet un développement limité à l’ordre 3 en 0.
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Ecrire ce développement à l’aide des nombres a=g(0),b=g′(0),c=g′′(0) et d=g′′′(0), puis
calculer a, b, c et den identifiant le développement limité à l’ordre 3 en 0 des deux membres de
l’égalité g◦f= Id.
17. Estimation de l’erreur dans une interpolation linéaire.
Soit fdéfinie et continue sur [a, b ], deux fois dérivable sur ]a, b [. Soit cdans ]a, b [. On pose
F(x) = f(x)−f(a)−x−a
b−a(f(b)−f(a)) + K(x−a)(x−b) 2.
a) Déterminer Kpour que F(c)soit nul. On donne désormais à Kcette valeur.
b) Montrer que Fadmet au moins 3 zéros, en déduire qu’il existe ddans ]a, b [tel que F′′(d) = 0
et établir que
f(c) = f(a) + c−a
b−a(f(b)−f(a)) + f′′(d)(c−a)(c−b) 2.
c) En déduire que lorsque l’on interpole linéairement entre aet bune fonction dont la dérivée
seconde est majorée en valeur absolue par une constante M, l’erreur commise est majorée en
valeur absolue par M(b−a)2/8.
(Interpoler linéairement une fonction fsur un intervalle [u, v ]consiste à remplacer cette fonc-
tion par la fonction affine gtelle que g(u) = f(u)et g(v) = f(v)).
18. Une généralisation du théorème de Rolle.
Soit fune fonction numérique définie et dérivable sur Ret admettant la même limite en −∞ et
+∞. Montrer qu’il existe un point cdans Rtel que f′(c) = 0. (On distinguera suivant que la
limite commune est finie ou non).
19. La règle de L’HOSPITAL(1661-1704)
Soient fet gdeux fonctions continues sur [a, b ], dérivables sur ]a, b [, telles que f′et g′ne
soient nulles simultanément en aucun point de ]a, b [, et g(x)6=g(a)sur ]a, b ].
a) Soit tdans ]a, b ]. Déterminer la constante mtelle que la fonction h=f−mg vérifie
h(t) = h(a).
b) En déduire qu’il existe ctdans ]a, t [tel que
f(t)−f(a)
g(t)−g(a)=f′(ct) g′(ct).
c) Montrer que si f′(x)
g′(x)admet une limite ℓlorsque xtend vers a, alors, f(x)−f(a) g(x)−g(a)admet une
limite qui vaut encore ℓ.
d) Montrer que ce qui précède s’applique dans le cas suivant : f(x) = 3
√x−1 + √2−x,
g(x) = 3
p(x−1)(2 −x),a= 1 et b= 3/2, et calculer ℓ.
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20. Effet de la monotonie de f′.
Soit fune fonction numérique définie sur un intervalle Ide R. Supposons fcontinue sur I,
dérivable sur
◦
I, de dérivée f′croissante (resp. décroissante) sur
◦
I.
a) Montrer que la courbe représentative de fest au-dessus (resp. au-dessous) de chacune de ses
tangentes.
b) Montrer que pour tout intervalle [a, b ]inclus dans I, la courbe représentative de la restriction
de fà[a, b ]est en dessous (resp. au-dessus) de la corde [MaMb], où Maet Mbsont les points
de la courbe d’abscisses respectives aet b.
Vérifier que cela équivaut à dire que pour tout couple (a, b)de I2, et tout tde [ 0,1 ] , on a
f(ta + (1 −t)b)≤tf(a) + (1 −t)f(b),
(resp. f(ta + (1 −t)b)≥tf(a) + (1 −t)f(b)).
On dit alors que fest convexe (resp. concave) sur I.
21. Théorème des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle Ide R. Soient aet bdeux points de Itels que
a < b. On suppose que f′(a)< f′(b). Soit cun nombre réel de l’intervalle ]f′(a), f′(b) [ . Posons
pour x∈]a, b ]g(x) = f(x)−f(a)
x−a
pour x∈[a, b [h(x) = f(b)−f(x)
b−x.
a) Interpréter géométriquement les fonctions get h, et montrer qu’elles se prolongent en des
fonctions continues sur [a, b ].
b) Si cappartient à f′(a),f(b)−f(a)
b−a, montrer qu’il existe ddans ]a, b [tel que g(d) = c.
Si cappartient à f(b)−f(a)
b−a, f′(b), montrer qu’il existe ddans ]a, b [tel que h(d) = c.
c) En déduire qu’il existe sdans ]a, b [tel que f′(s) = c, et montrer que ce resultat subsiste si
f′(a)> f′(b).
d) Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique donc à la fonction f′, même si elle n’est pas
continue. Quel est l’intérêt pratique de ce résultat dans la constitution du tableau de variation
de fsur I, dans le cas ou f′admet un nombre fini de zéros sur I?
22. Soit une fonction fdéfinie et contractante de rapport ksur un intervalle I= [ a, +∞[à
valeurs dans I= [ a, +∞[.
Montrer qu’il existe un réel M, tel que, pour tout x∈I,
f(x)−x≤M+ (k−1)x .
En déduire le comportement à +∞de la fonction gdéfinie par g(x) = f(x)−x, puis montrer
que fpossède un point fixe dans I.
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