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Samedi 23 Novembre 2013
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚3
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Vous traiterez chacun des probl`emes sur des copies s´epar´ees.
Tournez la page S.V.P.

PSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 1 : Extrait E3A PC 2008
Le probl`eme comporte deux parties qui peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con largement ind´ependante.
Notation : nest un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
Rn[X] est l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a ncoefficients r´eels.
R∗
+est l’ensemble des r´eels strictement positifs.
aest un param`etre r´eel.
Objectif : ´ Etude d’une famille d’applications lin´eaires.
PARTIE I : ´ Etude de l’application :
Aa:R3[X]→R3[X]
P7→ X(X+ 1)P00(X)+(aX −1)P0(X)
1. Montrer que Aaest un endomorphisme de R3[X].
2. ´ Ecrire la matrice Made Aadans la base canonique de R3[X], (Xk,06k63).
3. ´ Etude du cas particulier a=−4.
(a) La matrice M−4=
0−1 0 0
0−4 0 0
0 0 −6 3
0 0 0 −6
est-elle diagonalisable ?
(b) D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A−4.
4. (a) D´eterminer en fonction du r´eel ales valeurs propres de Aa.
(b) Pour quelles valeurs du r´eel al’endomorphisme Aaadmet-il des valeurs propres doubles ?
(c) Existe-t-il une valeur du r´eel apour laquelle Aaadmet une valeur propres triple ?
5. Pour quelles valeurs de a,Aaest-il diagonalisable ?
6. Pour quelles valeurs du r´eel ale degr´e du polynˆome Aa(P) est-il ´egal au degr´e de P, pour tout polynˆome
Pnon constant de R3[X] ?
7. On suppose dans cette question que an’appartient pas `a {−2,−1,0}.
(a) D´eterminer Ker(Aa) par la donn´ee d’une de ses bases.
(b) Montrer que (−1 + aX, X2, X3) est une base de Im(Aa).
(c) Discuter selon p∈N, 0 6p63, l’ensemble des polynˆomes de R3[X] solutions de l’´equation :
X(X+ 1)P00(X)+(aX −1)P0(X) = Xp
PARTIE II : QUELQUES PROPRI´ ET´ ES DE L’APPLICATION :
A(a,n):Rn[X]→Rn[X]
P7→ X(X+ 1)P00(X)+(aX −1)P0(X)
1. Justifier rapidement que A(a,n)est un endomorphisme de Rn[X].
2. ´ Ecrire la matrice Made A(a,n)dans la base canonique de Rn[X], (Xk,06k6n).
3. Soit λ∈R. Montrer que λest une valeur propre de A(a,n)si et seulement si il existe k∈N,06k6n
tel que λ=k(a+k−1).
4. Montrer que si a∈R∗
+, l’endomorphisme A(a,n)est diagonalisable.
Dans le cas particulier o`u a= 0, A(a,n)est-elle diagonalisable ?
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PSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 2 : Extrait CCP PC 2002
Notations
Soit net pdes entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. Kd´esignant le corps des r´eels ou celui des complexes, on
note Mn,p(K) le K-espace vectoriel des matrices `a coefficients dans Kayant nlignes et pcolonnes. Lorsque
p=n,Mn,n(K) est not´e plus simplement Mn(K) et est muni de sa structure d’alg`ebre, Inrepr´esentant la
matrice identit´e.
0n,p d´esigne la matrice nulle de Mn,p(K) et 0nla matrice nulle de Mn(K).
GLn(K) d´esigne l’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) et Tn(K) l’ensemble des matrices carr´ees
d’ordre ntriangulaires sup´erieures `a ´el´ements dans K.
Tout vecteur x= (xi)1≤i≤nde Knest identifi´e `a un ´el´ement Xde Mn,1(K) tel que l’´el´ement de la i`eme
ligne de Xsoit xi. Dans toute la suite, nous noterons indiff´eremment X= (xi)1≤i≤nun ´el´ement de Mn,1(K)
aussi bien que le vecteur de Knqui lui est associ´e.
Pour A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
dans Mn,p(K) et X= (xi)1≤i≤pdans Kp, on note (AX)ile coefficient de la i`eme
ligne de AX.
Pour toute matrice Ade Mn(K), on note Sp (A) l’ensemble des valeurs propres complexes de Aet on
appelle rayon spectral de Ale r´eel ρ(A) d´efini par :
ρ(A) = max
λ∈Sp(A)|λ|.
Conform´ement `a l’usage, on note N∞la norme d´efinie sur Cnpar :
∀X= (xi)1≤i≤n∈Cn, N∞(X) = max
1≤i≤n|xi|.
On qualifie de norme matricielle toute norme ϕd´efinie sur Mn(K) v´erifiant la propri´et´e :
∀(A, B)∈(Mn(K))2, ϕ(AB)≤ϕ(A)·ϕ(B).
Mn(K) ´etant de dimension finie, on rappelle qu’une suite de matrices (Ak)k∈Nde Mn(K) converge vers
une matrice Ade Mn(K) si et seulement si la convergence a lieu dans Mn(K) muni d’une norme quelconque.
PARTIE I
1. Soit la matrice G=
110
1−1 1
2−5 3
.
(a) La matrice Gest-elle diagonalisable ?
(b) Montrer qu’il existe des scalaires (α, β, γ) tels que Gsoit semblable `a T=
α1 0
0β1
0 0 γ
, et
d´eterminer une matrice Ptelle que G=PTP−1.
(c) En ´ecrivant T= diag(α, β, γ) + N, calculer Gn,n∈N.
(d) ´ Etudier si la suite Gnconverge.
2. Expliquer pourquoi toute matrice Ade Mn(C) est trigonalisable. Si Test une matrice triangulaire
sup´erieure semblable `a A, que repr´esentent les ´el´ements diagonaux de T?
3. Soit S= (si,j ) et T= (ti,j ) deux matrices triangulaires sup´erieures de Mn(C).
(a) Montrer que ST est une matrice triangulaire sup´erieure dont les coefficients diagonaux sont
s1,1t1,1,s2,2t2,2, . . ., sn,ntn,n.
(b) Pour k∈N∗, quels sont les ´el´ements diagonaux de Tk?
4. Montrer que pour toute matrice Ade Mn(C), ρAk= [ρ(A)]k.
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PSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
5. Montrer que l’application ψ:Mn(C)→R, A = (ai,j )7→ max
1≤i,j≤n|ai,j |est une norme sur Mn(C), mais
n’est pas en g´en´eral une norme matricielle sur Mn(C).
6. En admettant l’existence de normes matricielles sur Mn(C) (la suite du probl`eme montrera effective-
ment cette existence), montrer que pour toute norme Nd´efinie sur Mn(C), il existe une constante C
r´eelle positive telle que :
∀(A, B)∈(Mn(C))2, N (AB)≤CN(A)N(B).
7. Soit (Ak)k∈Nune suite de matrices de Mn(C), A∈ Mn(C) et P∈GLn(C). Montrer que la suite
(Ak)k∈Nconverge vers Asi et seulement si la suite P−1AP k∈Nconverge vers P−1AP .
8. (a) Soit T=λ µ
0λun ´el´ement de M2(C). Pour tout k∈N∗, calculer Tket en d´eduire que la suite
Tkk∈N∗converge si et seulement si (|λ|<1) ou (λ= 1 et µ= 0).
(b) Soit A∈ M2(C) diagonalisable. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les valeurs
propres de Apour que la suite (Ak)k∈Nsoit convergente.
(c) Soit A∈ M2(C) non diagonalisable. Montrer que la suite (Ak)k∈Nest convergente si et seulement
si ρ(A)<1. Dans ce cas, pr´eciser lim
k→+∞Ak.
(d) Soit A∈ M2(C). Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur ρ(A) pour que la suite (Ak)k∈N
converge vers la matrice nulle.
PARTIE II
Soit A= (ai,j ) une matrice de Mn(C) et Nune norme quelconque sur Cn. On pose MA= max
1≤i≤n
n
P
j=1
|ai,j |.
1. (a) Montrer que pour tout X∈Cn:N∞(AX)≤MAN∞(X).
(b) Montrer qu’il existe une constante r´eelle CAtelle que ∀X∈Cn, N(AX)≤CAN(X).
(c) Montrer que l’ensemble N(AX)
N(X)|X∈Cn\ {0}poss`ede une borne sup´erieure dans R.
On notera dans la suite ˜ N(A) = sup
X∈Cn\{0}
N(AX)
N(X).
(d) Montrer que : g N∞(A)≤MA.
(e) On reprend dans cette question la matrice Gintroduite en I.3. D´eterminer un vecteur X0de C3
tel que N∞(X0) = 1 et N∞(GX0) = 10. En d´eduire la valeur de g N∞(G).
2. Soit i0un entier compris entre 1 et ntel que
n
P
j=1
|ai0,j |=MA. En consid´erant le vecteur Yde Cnde
composantes yjd´efinies par :
yj=ai0,j
|ai0,j |si ai0,j 6=0 et yj= 1 si ai0,j = 0
montrer que MA≤g N∞(A) et en d´eduire g N∞(A) = MA.
3. Montrer :
(a) ˜ N(A)=0⇔A= 0n.
(b) ∀λ∈C,˜ N(λA)≤ |λ|˜ N(A).
(c) En d´eduire : ∀λ∈C,˜ N(λA) = |λ|˜ N(A).
(d) ∀B∈ Mn(C),˜ N(A+B)≤˜ N(A) + ˜ N(B).
(e) ∀X∈Cn, N(AX)≤˜ N(A)N(X).
(f) D´eduire de ces r´esultats que ˜ Nest une norme matricielle sur Mn(C). On lui donne le nom de
norme matricielle subordonn´ee `a la norme N.
4. (a) En consid´erant une valeur propre λde Atelle que |λ|=ρ(A), montrer que ρ(A)≤˜ N(A).
(b) Donner un exemple simple de matrice Anon nulle v´erifiant ρ(A) = g N∞(A).
(c) Montrer que si Aest nilpotente non nulle, on a l’in´egalit´e stricte : ρ(A)<˜ N(A).
5. Montrer que si lim
k→+∞Ak= 0n, alors ρ(A)<1.
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