Feuille d`activités

Chapitre 7 Trigonométrie
Repérage
Exercice no1 Warm up
Le cercle ci-contre, de centre
Oet de rayon 1, est appelé
cercle trigonométrique.
1. Donner la longueur de l’arc
⌢
IJ. Que vaut la
mesure de d IOJ en degrés ?
2. Une mesure en radians d’un angle géomé-
trique d IOM est la longueur de l’arc
⌢
IM.
Compléter le tableau suivant donnant la cor-
respondance entre la mesure en degré de
l’angle d IOM et la longeur de l’arc
⌢
IM.
mesure en degré 60 90 180
longueur de l’arc 15π
6π
Exercice no2
On considère les nombres suivants :
π
4,−2π 5,3π 4,2π 3,−π 6,4π 3,3π 2et −π 2.
1. Ranger ces nombres dans l’ordre croissant.
2. Quels nombres appartiennent à ]−π;π]?
3. Quels nombres appartiennent à [0 ; 2π[?
Exercice no3
1. Quelle est la nature du tri-
angle OAI ?
En déduire cos π
3et sin π 3.
2. Quelle est la nature du tri-
angle OAB ?
En déduire cos π
4et sin π 4.
Exercice no4
Préciser la mesure de l’angle géométrique
correspondant en degré.
x(rad) π
5
π
3
2π
5
4π
5π4π 3
x(degré)
Exercice no5
Donner une mesure en radian des angles
géométriques suivants.
x(degré) 30 45 75 90 135 150
x(rad)
Exercice no6
Compléter le tableau.
xen radian π
3... −π 4
7π
6...
cos x... −1
2... 0 ... −√2 2
sin x... −√3
2... −1 ... √2 2
Exercice no7
Placer sur le cercle trigonométrique les points-
images des nombres réels suivants :
−π
3,−π 2,11π 4,−5π 4et 17π 6.
Exercice no8Angles associés
Placer sur le cercle trigonométrique un angle x
quelconque dans i0; π
2hpuis les angles associés :
−x;x+π;π−x;x+π
2;π 2−x
Exercice no9Intervalles
Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique,
orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspon-
dant aux points-images des nombres réels compris
dans :
1. h−π
4; 0i3. π 2;5π 4∪7π 4; 2π
2. π
2;3π 44. −2π 3;−π 6∪h0 ; π 2i
1

Chapitre 7 Trigonométrie
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Exercice no10
Donner des formules pour cosinus et sinus des
angles associés vus dans l’exercice 8 en fonction de
cos xet sin x.
Exercice no11
Donner les coordonnées des points A,Bet Cpoints-
images des nombres réels π
4,13π 6et −5π 3sur le
cercle trigonométrique.
Exercice no12
Soit xun nombre réel tel que sin x=1
5et
x∈iπ
2;πh. Calculer cos x.
Exercice no13
Soit xun nombre réel tel que cos x=4
5et
x∈]−π; 0[. Calculer sin x.
Exercice no14 Calculette
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel xtel que :
1. sin x=−0, 8 et x∈i−π
2; 0h
2. sin x=1, 2 et x∈i0 ; π
2h
Exercice no15 Calculette
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel xtel que :
1. cos x=2, 1 et x∈i0 ; π
2h
2. cos x=−√3
3et x∈i−π;−π 2h
Exercice no16
Calculer quel que soit xréel, l’expression :
(cos x+sin x)2+(cos x−sin x)2.
Exercice no17
Déterminer cos et sin de : 3π
4;−π 6;13π 4;−2π 3.
Mesures d’un angle orienté
Exercice no18
On considère les points A,B,C,Det E, respective-
ment point-images des nombres suivants :
π
4,2π 3,5π 6,−3π 4et −π 4.
Donner une mesure des angles orientés :
1. −→
OI,−→ OA
2. −→
OA,−→ OB
3. −→
OC,−→ OA
4. −→
OD,−→ OB
5. −→
OC,−→ OE
6. −→
OE,−→ OD
Exercice no19
ABCD (en tournant dans le sens direct) est un carré
de centre O.
Donner une mesure des angles orientés :
1. −→
OA,−→ OB
2. −→
OA,−→ OC
3. −→
OB,−→ OA
4. −→
AO,−→ AD
5. −→
CB,−→ CD
6. −→
CA,−→ CB
Exercice no20
Déterminer la mesure principale des angles orien-
tés suivants :
−21π
4;37π 7;−2π 3;23π 10 ;74π 13 ;47π 6
Exercice no21
Soit ~uet ~vdeux vecteurs tels que : (~u,~v)=π
6.
Donner la mesure principale des angles orientés :
1. (−~u,−~v)
2. (~v,~u)
3. (−~v,−~v)
4. (−~v,~u)
Exercice no22
Soit A,Bet Ctrois points tels que :
−→
AB,−→ AC=−π
5.
Donner la mesure principale des angles orientés :
−→
BA,−→ AC;−→
AC,−→ BA;−→
AC,−→ AB;−→
AB,−→ CA
Exercice no23
ABCDE est la ligne brisée ci-dessous.
A B
C
D E
− π
2
π
4
− 3π
4
Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
2

Chapitre 7 Trigonométrie
Exercice no24
Soit A,B,Cet Ddes points du plan tels que
−→
AB,−→ AC=π
6et −→
AC,−→ AD=π
3.
Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A.
Exercice no25
Donnez les mesures principales des angles orientés
ci-dessous sachant que ABCDEF est un hexagone
régulier de centre O.
−→
OA,−→ OF=
−→
DE,−→ OB=
−→
AF,−→ DC=
−→
DC,−→ EF=
−→
EC,−→ FD=
−→
EA,−→ CA=
−→
CE,−→ EF=
×A
×
D
×
B
×F
×
C
×E
O
Équations trigonométriques
Exercice no26
On considère l’équation : cos x=−√2
2(E).
1. Résoudre cette équation dans ]−π;π]et pla-
cer sur le cercle trigonométrique les points
correspondants.
2. En déduire l’ensemble des solutions dans R.
Exercice no27
On considère l’équation : sin x=sin −π
8(E′).
1. Résoudre l’équation (E′)dans R.
2. Résoudre l’équation (E′)dans ]0 ; 4π]
Exercice no28
Montrer que l’équation cos 2x=1
2a quatre solu-
tions dans ]−π;π]puis placer sur le cercle trigo-
nométrique les quatre points correspondants.
Exercice no29
On considère l’inéquation sin x<−√3
2.
1. Représenter sur le cercle trigonométrique les
solutions de cette inéquation dans ]−π;π].
2. Résoudre cette inéquation dans ]−π;π].
Exercice no30
On souhaite résoudre l’équation suivante dans R:
4 cos2x−2(1+√3)cos x+√3=0 (1)
1. On effectue un changement de variable.
On pose X=cos xavec x∈[−1 ; 1].
a. Quelle équation du second degré est équi-
valente à (1) ?
b. Montrer que son discriminant peut
s’écrire : 4(1−√3)2.
c. Déterminer les solutions de cette équation
du second degré.
2. En déduire les solutions de l’équation (1)
dans ]−π;π]puis dans R.
Rappels de cours
Soit (C)le cercle trigonométrique (de centre O, de rayon 1 muni de son sens de rotation) et xun réel.
•Il lui correspond un unique point Mde (C)tel que xsoit une mesure en radians de l’angle (~ı,−−→ OM).
•On définit alors cos(x)et sin(x)comme les coordonnées du point M. cf figure. M(cos x; sin x).
•On utilise le quart de cercle trigonométrique pour mémoriser les valeurs remarquables de cos et sin.
•On utilise les angles associés pour trouver ceux de multiples des angles remarquables (3efigure).
•Pour un point donné Mdu cercle (C)il existe une infinité de mesures d’angles (~ı,−−→ OM)qui correspondent
à ce point. On appelle mesure principale celle qui est dans l’intervalle ]−π;π].
3

Chapitre 7 Trigonométrie
M
x
cos x
sin x
O
~
~ı
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
2
√2
2
√3
2
O
1
2
√2
2
√3
2
0
x
π
2
π−x
π
π+x−x
Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle.
Énoncé : Déterminer la mesure principale d’un angle de la forme pπ
q. (Exemples : 23π
4et −43π 6.)
①On calcule le quotient p
qet on l’arrondit au nombre PAIR le plus proche. On trouve disons 2k.
②On calcule 2k×qpuis le reste r=p−2k×q(qui peut être négatif). Alors : p=2k×q+r
③On divise par qpuis multiplie par π:p
q=2k+r qet donc : pπ
q=2kπ+rπ q
④La mesure principale est alors : rπ
q.
Exemples : 23π
4et −43π 6.
①23/4 =5, 75. On arrondit à 6.
②6×4=24. Donc 23 =6×4−1.
③23
4=6−1 4donc 23π 4=6π−π 4.
④La mesure principale de 23π
4est −π 4.
①−43/6 ≃ −7, 17. On arrondit à −8.
②−8×6=−48. Donc −43 =−8×6+5.
③−43
6=−8+5 6donc −43π 6=−8π+5π 6.
④La mesure principale de −43π
6est 5π 6.
Énoncés d’exercices typiques.
1. On considère les angles de mesures 23π
4et −43π 6. Placer les points correspondants sur le cercle trigo.
En déduire cos 23π
4, sin 23π 4et cos −43π 6, sin −43π 6.
2. Résoudre les équations suivantes :
a. cos(x) = −1
2dans ]−π;π]b. cos(x) = −1 2dans [0; 2π[c. sin(x) = √2
2dans [0; 2π[
Solutions et méthodes.
1. On détermine la mesure principale de ces angles (cf méthode). On place l’angle remarquable associé
(ici π/4 et π/6) puis par symétrie on place notre angle. On en déduit que :
cos(23π
4) = cos(−π 4) = cos(π 4) = √2 2et sin(23π 4) = sin(−π 4) = −sin(π 4) = −√2 2.
De même pour −43π
6, en remarquant que 5π 6=6π−π 6=π−π 6, donc :
cos(−43π
6) = cos(π−π 6) = −cos(π 6) = −√3 2et sin(−43π 6) = sin(π−π 6) = sin(π 6) = 1 2
2. Méthode : On place d’abord l’angle remarquable qui a le même cosinus (ou sinus) en valeur absolue
puis par symétrie on détermine à quels angles associés correspondent ceux dont le cosinus (ou sinus)
est celui cherché. On fait alors attention à l’ensemble dans lequel on demande de résoudre.
0.5−0.5
π
3
2π
3
−2π
3
a. S={−2π
3;2π 3}
b. S={4π
3;2π 3}
En effet comme −2π
3n’est
pas dans [0; 2π[il faut pas
prendre la mesure principale
ici mais π+π
3=4π 3.
π
4
3π
4
c. S={π
4;3π 4}
L’angle dans [0; 2π[qui a le
même sinus que π
4est :
π−π
4=4π 4−π 4=3π 4
4