Feuille d`activités

Trigonométrie
Chapitre 7
Repérage
Exercice no 1
Warm up
Exercice no 4
Préciser la mesure de l’angle géométrique
correspondant en degré.
π
π
2π
4π
4π
x (rad)
π
5
3
5
5
3
Le cercle ci-contre, de centre
O et de rayon 1, est appelé
cercle trigonométrique.
x (degré)
Exercice no 5
Donner une mesure en radian des angles
géométriques suivants.
⌢
1. Donner la longueur de l’arc I J. Que vaut la
d en degrés ?
mesure de IOJ
2. Une mesure en radians d’un angle géomé⌢
d est la longueur de l’arc I M.
trique IOM
x (degré)
Compléter le tableau suivant donnant la correspondance entre la mesure en degré de
⌢
d et la longeur de l’arc I M.
l’angle IOM
mesure en degré
longueur de l’arc
60
90
1
45
75
90
135
150
x (rad)
Exercice no 6
Compléter le tableau.
π
π
x en radian
...
−
3
4
1
cos x
...
−
...
0
√2
3
sin x
... −
...
−1
2
180
5π
6
30
π
Exercice no 2
On considère les nombres suivants :
7π
6
...
...
...
√
2
−
√2
2
2
Exercice no 7
Placer sur le cercle trigonométrique les pointsimages des nombres réels suivants :
2π 3π 2π
π 4π 3π
π
π
,− ,
,
,− ,
,
et − .
4
5 4 3
6 3 2
2
1. Ranger ces nombres dans l’ordre croissant.
π
π 11π
5π
17π
− ,− ,
,−
et
.
3
2 4
4
6
2. Quels nombres appartiennent à ] − π ; π ] ?
3. Quels nombres appartiennent à [0 ; 2π [ ?
Exercice no 8
Angles associés
Placer sur le cercle
un angle x
i πtrigonométrique
h
quelconque dans 0;
puis les angles associés :
2
Exercice no 3
1. Quelle est la nature du triangle OAI ?
π
π
En déduire cos et sin .
3
3
−x ; x + π ; π − x ; x +
π π
;
−x
2 2
Exercice no 9
Intervalles
Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique,
orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspondant aux points-images des nombres réels compris
dans
i
h :π
7π
π 5π
∪
3.
;
; 2π
1. − ; 0
4
2
4
4
h
2π
π
πi
π 3π
;
4. −
; −
∪ 0;
2.
2
4
3
6
2
2. Quelle est la nature du triangle OAB ?
π
π
En déduire cos et sin .
4
4
1
Trigonométrie
Chapitre 7
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel x tel que :
i π
h
1. sin x = −0, 8 et x ∈ − ; 0
2
i
πh
2. sin x = 1, 2 et x ∈ 0 ;
2
Exercice no 10
Donner des formules pour cosinus et sinus des
angles associés vus dans l’exercice 8 en fonction de
cos x et sin x.
Exercice no 11
Donner les coordonnées des points A, B et C pointsπ 13π
5π
images des nombres réels ,
et −
sur le
4
6
3
cercle trigonométrique.
Calculette
Exercice no 15
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel x tel que :
i
πh
1. cos x = 2, 1 et x ∈ 0 ;
2
√
i
πh
3
et x ∈ −π ; −
2. cos x = −
3
2
Exercice no 12
1
Soit x un nombre réel tel que sin x = et
5
h
iπ
; π . Calculer cos x.
x∈
2
Exercice no 16
Calculer quel que soit x réel, l’expression :
(cos x + sin x )2 + (cos x − sin x )2 .
Exercice no 13
Soit x un nombre réel tel que cos x =
x ∈ ]−π ; 0[. Calculer sin x.
Exercice
no
14
4
et
5
Exercice no 17
Déterminer cos et sin de :
Calculette
3π
π 13π
2π
;− ;
;− .
4
6
4
3
Mesures d’un angle orienté
Exercice no 21
Exercice no 18
On considère les points A , B, C, D et E, respectivement point-images des nombres suivants :
3π
π
π 2π 5π
,
,
,−
et − .
4 3 6
4
4
Donner
une mesure
des angles orientés
: −
−→ −
→ −→
→
1. OI, OA
4. OD, OB
−→ −→
−→ −→
2. OA, OB
5. OC, OE
−→ −→
−→ −→
3. OC, OA
6. OE, OD
π
.
6
Donner la mesure principale des angles orientés :
1. (−~u, −~v )
3. (−~v, −~v )
Soit ~u et ~v deux vecteurs tels que : (~u, ~v ) =
2. (~v, ~u )
4. (−~v, ~u )
Exercice no 22
SoitA, B et Ctrois points tels que :
−→ −→
π
AB, AC = − .
5
Donner
principale
desangles
orientés :
−→ −→la
mesure
−→ −→
−→ −
→ −→ −→
BA, AC ; AC, BA ; AC, AB ; AB, CA
Exercice no 19
ABCD (en tournant dans le sens direct) est un carré
de centre O.
Donner
mesure des angles orientés
: −une
−→ −
→ −→
→
1. OA, OB
4. AO, AD
−→ −→
−
→ −→
2. OA, OC
5. CB, CD
−→ −→
−→ −
→
3. OB, OA
6. CA, CB
Exercice no 23
ABCDE est la ligne brisée ci-dessous.
C
− 3π
4
A
π
4
−π
2
B
D
no
Exercice 20
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
37π
2π
23π
74π
47π
21π
;
; −
;
;
;
−
4
7
3
10
13
6
E
Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
2
Trigonométrie
Chapitre 7
−→ −→
OA, OF =
−→ −→
DE, OB =
−→ −→
AF, DC =
−→ −
→
DC, EF =
−
→ −→
EC, FD =
−→ −→
EA, CA =
−
→ −
→
CE, EF =
Exercice no 24
Soit
B, C et D des points du plan tels que
−→ A,
−→ π −→ −→ π
AB, AC = et AC, AD = .
6
3
Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A.
Exercice no 25
Donnez les mesures principales des angles orientés
ci-dessous sachant que ABCDEF est un hexagone
régulier de centre O.
×
E
×
F
D×
×A
O
×
×
C
B
Équations trigonométriques
Exercice no 26
√
2
cos x = −
2
On considère l’équation :
Exercice no 29
3
.
2
1. Représenter sur le cercle trigonométrique les
solutions de cette inéquation dans ]−π ; π ].
On considère l’inéquation sin x < −
( E ).
1. Résoudre cette équation dans ]−π ; π ] et placer sur le cercle trigonométrique les points
correspondants.
2. Résoudre cette inéquation dans ]−π ; π ].
2. En déduire l’ensemble des solutions dans R.
Exercice no 30
On souhaite résoudre l’équation suivante dans R :
√
√
4 cos2 x − 2(1 + 3) cos x + 3 = 0
(1)
Exercice no 27
π
On considère l’équation : sin x = sin −
8
( E ′ ).
1. On effectue un changement de variable.
On pose X = cos x avec x ∈ [−1 ; 1].
1. Résoudre l’équation ( E′ ) dans R.
2. Résoudre l’équation
( E′ )
√
a. Quelle équation du second degré est équivalente à (1) ?
dans ]0 ; 4π ]
b. Montrer que √son discriminant
s’écrire : 4(1 − 3)2 .
Exercice no 28
peut
c. Déterminer les solutions de cette équation
du second degré.
1
a quatre solu2
tions dans ]−π ; π ] puis placer sur le cercle trigonométrique les quatre points correspondants.
Montrer que l’équation cos 2x =
2. En déduire les solutions de l’équation (1)
dans ] − π ; π ] puis dans R.
Rappels de cours
Soit (C) le cercle trigonométrique (de centre O, de rayon 1 muni de son sens de rotation) et x un réel.
−−→
• Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de l’angle (~ı , OM ).
• On définit alors cos( x ) et sin( x ) comme les coordonnées du point M. cf figure. M(cos x; sin x ).
• On utilise le quart de cercle trigonométrique pour mémoriser les valeurs remarquables de cos et sin.
• On utilise les angles associés pour trouver ceux de multiples des angles remarquables (3e figure).
−−→
• Pour un point donné M du cercle (C) il existe une infinité de mesures d’angles (~ı , OM ) qui correspondent
à ce point. On appelle mesure principale celle qui est dans l’intervalle ] − π; π ].
3
Trigonométrie
Chapitre 7
π
2
M
√
sin x
x
O
π
3
3
2√
2
2
1
2
~
cos x ~ı
π
2
π
4
π−x
π
6
x
0
π
−x
π+x
O
√ √
2 3
2 2
1
2
0
Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle.
pπ
−43π
. (Exemples : 23π
4 et
6 .)
q
p
① On calcule le quotient q et on l’arrondit au nombre PAIR le plus proche. On trouve disons 2k.
② On calcule 2k × q puis le reste r = p − 2k × q (qui peut être négatif). Alors :
p = 2k × q + r
pπ
rπ
p
= 2kπ +
③ On divise par q puis multiplie par π : q = 2k + qr et donc :
q
q
rπ
④ La mesure principale est alors :
.
q
−43π
Exemples : 23π
4 et
6 .
① −43/6 ≃ −7, 17. On arrondit à −8.
① 23/4 = 5, 75. On arrondit à 6.
② −8 × 6 = −48. Donc −43 = −8 × 6 + 5.
② 6 × 4 = 24. Donc 23 = 6 × 4 − 1.
1
23π
π
23
= −8π + 5π
③ −643 = −8 + 65 donc −43π
③ 4 = 6 − 4 donc 4 = 6π − 4 .
6
6 .
23π
π
5π
−
④ La mesure principale de 4 est − 4 .
est
.
④ La mesure principale de 43π
6
6
Énoncé : Déterminer la mesure principale d’un angle de la forme
Énoncés d’exercices typiques.
−43π
1. On considère les angles de mesures 23π
4 et 6 . Placerles points correspondants sur le cercle trigo.
23π
et cos −43π
, sin −43π
.
En déduire cos 23π
4 , sin
4
6
6
2. Résoudre les équations suivantes :
a. cos( x ) = − 21 dans ] − π; π ]
b. cos( x ) = − 12 dans [0; 2π [
c. sin( x ) =
√
2
2
dans [0; 2π [
Solutions et méthodes.
1. On détermine la mesure principale de ces angles (cf méthode). On place l’angle remarquable associé
(ici π/4 et π/6) puis par symétrie on place notre angle. On en déduit que :
π
π
cos( 23π
4 ) = cos(− 4 ) = cos( 4 ) =
De même pour
−43π
6 ,
√
2
2
π
π
et sin( 23π
4 ) = sin(− 4 ) = − sin( 4 ) = −
en remarquant que
5π
6√
π
π
cos( −43π
6 ) = cos( π − 6 ) = − cos( 6 ) = −
3
2
=
6π − π
6
= π − π6 , donc :
√
2
2 .
π
π
et sin( −43π
6 ) = sin( π − 6 ) = sin( 6 ) =
1
2
2. Méthode : On place d’abord l’angle remarquable qui a le même cosinus (ou sinus) en valeur absolue
puis par symétrie on détermine à quels angles associés correspondent ceux dont le cosinus (ou sinus)
est celui cherché. On fait alors attention à l’ensemble dans lequel on demande de résoudre.
2π
a. S = {− 2π
π
2π
3 ; 3 }
π
π 3π
3
3π
2π
3
b. S = { 4π
4 c. S = { 4 ; 4 }
4
3 ; 3 }
−0.5
− 2π
3
0.5
En effet comme − 2π
3 n’est
pas dans [0; 2π [ il faut pas
prendre la mesure principale
ici mais π + π3 = 4π
3 .
L’angle dans [0; 2π [ qui a le
même sinus que π4 est :
π
3π
π − π4 = 4π
4 − 4 = 4
4