Espaces vectoriels et applications linéaires

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Feuille d’exercices : espaces vectoriels et applications linéaires
Savoir tester si un ensemble est un sous-espace vectoriel
Exercice 1 Préciser si les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels.
1. F={(x, y, z)∈R3|x+ 2y+ 3z= 0}2. F={(x, y)∈R2|x−y= 2}
3. F={f:R→R|f(1) = 0}4. F={f:R→R|f(1) = 1}
5. F={P∈R[X]|deg P>3}6. F={f∈∆1(R,R)|f′+ 2f= 0}
7. F={f∈C([a, b],R)|Rb
af(t) dt= 0}8. F={suites réelles de limite nulle}
Exercice 2 Préciser si les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels.
1. l’ensemble des fonctions de Rdans Rbornées
2. l’ensemble des fonctions de Rdans Rcroissantes
3. l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y(3)(x)−x4y(x) = 0.
4. F={(x, y, z)∈R3|(x+y+z)(x−y+z) = 0}
savoir manipuler la notation Vect
Exercice 3 (Notion de combinaison linéaire)
1. Le vecteur u= (5,3,2) est-il combinaison linéaire des vecteurs (3,1,5) et (4,−3,2) ? Et le vecteur v=
(6,−11,−4) ?
2. La fonction f:x7→ sin(2x) est-elle une combinaison linéaire de sin et cos ? Et la fonction g:x7→
sin(x+ 2) ?
3. Le polynôme 16X3−7X2−4 + 21Xest-il une combinaison linéaire de 8X3−5X2+ 1 et de X2+ 7X−2 ?
Exercice 4 Démontrer par double inclusion les égalités suivantes :
1. Vect {u, v}= Vect {u, v, 2u−3v}où uet vsont deux vecteurs d’un K-espace vectoriel E.
2. K3= Vect (1,0,0); (1,1,0); (1,1,1)
3. K1[X] = Vect (X−1, X + 1).
Exercice 5 Soient Aet Bdeux sev d’un K-espace vectoriel E.
1. Montrer que la réunion de Aet Bn’est pas forcément un sev de E(prendre E=R2).
2. Montrer que A∪Best un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si A⊂Bou B⊂A.
3. Démontrer que Vect A∪B=A+Boù A+B={a+b|(a, b)∈A×B}.
Exercice 6 Soient Aet Bdeux parties d’un espace vectoriel .
1. À quelle condition a-t-on A= VectA?
2. Montrer que A⊂B⇒Vect A⊂Vect B.
3. Montrer que Vect (A∩B)⊂Vect A∩Vect B, l’inclusion étant stricte (prendre A={x}et B={−x}).

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savoir tester la liberté d’une famille
Exercice 7 Les familles de R3suivantes sont-elles libres ou liées ?
1. ((1,0,1); (0,1,0)) 2. ((7,−4,3)) 3. ((1,0,1); (0,1,0); (1,−1,1))
4. ((1,0,1); (0,1,0); (−1,−1,1)) 5. ((1,0,1); (0,1,0); (−1,−1,1); (2,−6,−1))
Exercice 8 Montrer que les suites (1)n, (n2)net (2n)nforment une famille libre de RN.
Exercice 9 Soit (P0,...,Pn) une famille de polynômes de K[X] tels que deg P0= 0,deg P1= 1,...,deg Pn=n.
Démontrer que cette famille est libre.
Exercice 10 Pour n∈N, on pose fn:x7→ |x−n|. Montrer en utilisant un argument de dérivabilité que la
famille (f0, f1,...,fn) est une famille libre de F(R,R).
Exercice 11 (une famille de fonctions) Pour n∈N, on pose fn:x7→ enx. Montrer que la famille
(f0, f1, ..., fn) est une famille libre de F(R,R).
Exercice 12 (une famille de fonctions) Pour n∈N, on pose fn:x7→ cos(nx). Montrer par récurrence
que (f0, f1, ..., fn) est une famille libre de F(R,R) (indication : si ∀x∈R,Pn+1
p=0 apcos px = 0, montrer que
Pn+1
p=0 p2apcos px = 0 puis que Pn
p=0((n+ 1)2−p2)apcos px = 0).
savoir obtenir une base d’un espace vectoriel
Exercice 13 (Comment obtenir des familles génératrices) Démontrer que les ensemble suivants sont des
sous-espaces vectoriels et déterminer une famille génératrice puis une base de chacun d’eux.
1. {(x, y, z)∈R3|x+ 2y+z= 0 et 2x+y+ 3z= 0}
2. {P∈K[X]|P(X2) = (X3+ 1)P}.
Exercice 14 On se place dans E=R3. On pose u= (1,1,−1), v= (−1,1,1) et w= (1,−1,1). Les calculs
montrent que la famille (u, v, w) est une base de R3. Déterminer les coordonnées du vecteur (2,1,3) dans cette
nouvelle base.
Exercice 15 (Base de Taylor) Pour a∈Ret n∈N, on pose Pn= (X−a)n.
1. Justifier que la famille (P0, P1, ..., Pn) est une base de Rn[X]. On l’appellera base de Taylor.
2. Déterminer les coordonnées de Xpuis de X2dans cette base.
3. Soit P∈Rn[X]. Déterminer les coordonnées de Pdans la base de Taylor.
applications linéaires
Exercice 16 Montrer que les applications suivantes sont linéaires :
1. f:R2→R2définie par f(x, y) = (2x+ 3y, x + 2y).
2. u:C([a, b],R)→Rdéfinie par u(f) = Rb
af(t) dt.
3. f:R[X]→Rdéfinie par f(P) = P(0).
Exercice 17 On considère f:R[X]→R[X] défini par f(P) = P−XP ′.
1. Démontrer que fest un endomorphisme de R[X].
2. Déterminer son noyau et en donner une famille génératrice.

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Exercice 18 On note El’ensemble des suites à coefficients réels et fl’application de Edans Equi à une suite
uassocie la suite vde terme général vn=un+1 −2un.
1. Démontrer que fest un endomorphisme de E.
2. Déterminer le noyau de f.
Exercice 19 Déterminer le noyau des applications linéaires suivantes et en donner une famille génératrice :
1. f:R2→R2définie par f(x, y) = (x+y, 2x+ 2y).
2. f:R3→R2définie par f(x, y, z) = (x+y+z, y −2z).
3. f:R3→R3définie par f(x, y, z) = (2x, x −z, x +y+z)
4. f:R3→R3définie par f(x, y, z) = (−2x−y+z, 2x+y−z, 4x+ 2y−2z).
5. u:R[X]→R[X] définie par u(P) = P′′
6. u:C∞(R,R)→C∞(R,R) définie par u(f) = x7→ f′(x)−2xf(x).
Exercice 20 On considère l’application linéaire f:R3→R2définie par
f(x, y, z) = (x−y+z, 2x+y+ 2z).
1. Déterminer Ker f. L’application fest-elle injective ?
2. Démontrer que Im f= Vect {(1,2); (−1,1)}. L’application fest-elle surjective ?
Exercice 21 On considère l’application où f:R4→R3est définie par
f(x, y, z, t) = (4x+ 2t, 3x+z+t, 2x+y+ 2t).
1. Déterminer une famille génératrice de Im f
2. Cette famille est-elle une base ? Déterminer une base de Im f.
plus abstrait
Exercice 22 Soit Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E). On pose f2=f◦f.
1. Montrer que Ker f⊂Ker f2et que Im f2⊂Im f.
2. Montrer que l’inclusion réciproque des noyaux est fausse à l’aide de f: (x, y, z)7→ (0, x, y).
3. Soit gun autre endomorphisme de E. Montrer que g◦f= 0 ssi Im f⊂Ker g.
Exercice 23 Soit Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E). Montrer que
1. Ker f2= Ker f⇔Im f∩Ker f={0}.
2. Im f2= Im f⇔Im f+ Ker f=E.
Exercice 24 Soit Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E) tel que f3= 0 et f26= 0 et soit xun vecteur de Etel
que f2(x)6= 0. Montrer que (x, f(x), f2(x)) est une famille libre.
Exercice 25 Soit fet gdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel Equi commutent. Montrer que flaisse
stable Ker get Im g(un espace Fest dit stable par fsi f(F)⊂F).

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savoir dire si deux espaces sont supplémentaires
Exercice 26 On pose E={P∈R[X]|tous les termes de Psont de degré pair} ∪ {0},
F={P∈R[X]|tous les termes de Psont de degré impair} ∪ {0}, et G={P∈R[X]|P(0) = 0}.
1. Montrer que E, F, G sont des espaces vectoriels.
2. Montrer que R[X] = E+F, cette somme est-elle directe ?
3. Montrer que R[X] = E+G, cette somme est-elle directe ?
Exercice 27 Soit Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E) tel que f2−3f+ 2 id = 0.
1. Montrer que E= Ker(f−id) ⊕Ker(f−2 id).
2. Montrer que fest un automorphisme de E, déterminer son inverse.
savoir reconnaître une symétrie ou un projecteur et donner ses éléments caracté-
ristiques
Exercice 28 On considère f:R2→R2définie par f(x, y) = (x+ 2y, −y).
1. Montrer que fest une symétrie vectorielle. Préciser ses éléments caractéristiques.
2. On considère p:R2→R2définie par p(x, y) = (x+y, 0). Déterminer la nature géométrique de painsi
que ses éléments caractéristiques.
3. En déduire que l’endomorphisme id +fest la composée de 2 endomorphismes (de nature géométrique)
que l’on précisera.
Exercice 29 (Coordonnées du projeté) On considère les espaces
F={(x, y, z)∈R3|x+ 2y+z= 0 et 2x+y−z= 0}et G={(x, y, z)∈R3|x+y+ 2z= 0}.
1. Démontrer que Fet Gsont supplémentaires dans R3.
2. Soit pla projection sur Gparallèlement à Fet u= (x, y, z)∈R3. Déterminer les coordonnées de p(u).
Même question avec qla projection sur Fparallèlement à G.
Exercice 30 (La composée de deux projecteurs est-elle un projecteur ?) Soit pet qdeux projecteurs
de Eun K-espace vectoriel.
1. Démontrer que si E=R2, la composée de pet qn’est pas forcément un projecteur de R2. Un dessin
pourra suffir.
On suppose désormais jusqu’à la fin de l’exercice que les projecteurs pet qcommutent, c’est-à-dire p◦q=
q◦p.
2. Démontrer que p◦qest un projecteur de E.
3. Démontrer que Im(p◦q) = Im p∩Im qet que Ker(p◦q) = Ker p+ Ker q. Que peut-on en déduire ?
Exercice 31 (Une symétrie) Soit fl’application qui à un polynôme Pde Kn[X] associe le polynôme
f(P) = XnP(1
X).
1. Démontrer que pour tout P∈Kn[X], l’image f(P) est bien un polynôme de Kn[X].
2. Démontrer que fest une symétrie de Kn[X].
3. Déterminer une base de ses espaces caractéristiques lorsque n= 4.

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qualités géométriques des endormorphismes de Rn
Exercice 32 (Un peu de zoologie dans R2)Pour chaque transformation de R2suivante :
• déterminer leur expression analytique (on pourra parfois s’aider des nombres complexes)
• indiquer celles qui sont linéaires et donner leur matrice dans la base canonique de R2.
On note ∆ la droite d’équation y=x.
1. homothétie de centre (0,0) de rapport 2 2. symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses
3. homothétie de centre (1,3) de rapport 2 4. symétrie centrale de centre (0,0)
5. translation de vecteur (2,1) 6. la projection orthogonale sur l’axe des abscisses.
7. la rotation de centre 0 et d’angle π
3. 8. la dilatation verticale de rapport 3
9. symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆. 10. la projection orthogonale sur la droite ∆.
Exercice 33 (Image d’une droite par un endomorphisme) Soit vun vecteur non nul de Rnet pun point
de Rn. On considère ∆ la droite de Rndirigée par vet passant par p.
1. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.
2. En déduire qu’un endomorphisme de Rntransforme une droite de Rnen une droite ou un point.
3. Démontrer qu’un endomorphisme de Rntransforme un segment en un segment ou un point (si qest un
autre point de Rn, le segment [pq] se paramètre par {(1 −t)p+tq |t∈[0,1]}).
Exercice 34 (Image d’un plan par un endomorphisme) Soit f:E→Fune application linéaire.
1. Soit Aune partie de E. Démontrer que f(Vect (A)) = Vect (f(A)). Que vaut donc f(Vect {u, v}) pour u
et vdans E?
2. Que peut-on dire de l’image d’un plan vectoriel (resp. affine) par une application linéaire ?
3. En déduire l’image du plan Pd’équation 2x−y−z= 0 (resp. d’équation 2x−y+z= 2) par l’endomorphisme
fde R3définie par :
f(x, y, z) = (3y, 2x+y−z, 4x+ 5y−2z).
reconnaître un sous-espaces affines
Exercice 35 Montrer dans chaque cas que l’ensemble Fest un sous-espaces affine d’un espace vectoriel E. On
précisera à chaque fois l’espace vectoriel E, un point de Fet sa direction.
1. F={(x, y, z)∈R3|2x−5y+ 3z−5 = 0}.
2. Fest l’ensemble des solutions du système
2x−3y−z=−2
x+ 2y+ 5z= 5
5x+ 8y+ 3z= 1
3. F={P∈R[X]|P(1) = 2}.
4. Fest l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′+xy =x.
Exercice 36 L’ensemble F={P∈R[X]|P2(0) = 1}est-il un sous-espace affine de R[X] ?
Exercice 37 Soient Fet Gdeux sous-espaces affines de Ede directions respectives Fet G.
1. Montrer que si E=F+G, alors Fet Gsont sécants.
2. Montrer que si E=F⊕G, alors F ∩ G est un singleton.