Espaces vectoriels et applications linéaires

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Feuille d’exercices : espaces vectoriels et applications linéaires
Savoir tester si un ensemble est un sous-espace vectoriel
Exercice 1 Préciser si les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels.
1. F = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + 3z = 0}
3. F = {f : R → R | f (1) = 0}
2. F = {(x, y) ∈ R2 | x − y = 2}
4. F = {f : R → R | f (1) = 1}
5. F = {P ∈ R[X] |
6. F = {f ∈ ∆1 (R, R) |
deg P > 3}
Rb
7. F = {f ∈ C([a, b], R) |
f (t) dt = 0}
a
f ′ + 2f = 0}
8. F = {suites réelles de limite nulle}
Exercice 2 Préciser si les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels.
1. l’ensemble des fonctions de R dans R bornées
2. l’ensemble des fonctions de R dans R croissantes
3. l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y (3) (x) − x4 y(x) = 0.
4. F = {(x, y, z) ∈ R3 |
(x + y + z)(x − y + z) = 0}
savoir manipuler la notation Vect
Exercice 3 (Notion de combinaison linéaire)
1. Le vecteur u = (5, 3, 2) est-il combinaison linéaire des vecteurs (3, 1, 5) et (4, −3, 2) ? Et le vecteur v =
(6, −11, −4) ?
2. La fonction f : x 7→ sin(2x) est-elle une combinaison linéaire de sin et cos ? Et la fonction g : x 7→
sin(x + 2) ?
3. Le polynôme 16X 3 − 7X 2 − 4 + 21X est-il une combinaison linéaire de 8X 3 − 5X 2 + 1 et de X 2 + 7X − 2 ?
Exercice 4 Démontrer par double inclusion les égalités suivantes :
1. Vect {u, v} = Vect {u, v, 2u − 3v} où u et v sont deux vecteurs d’un K-espace vectoriel E.
2. K3 = Vect (1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1)
3. K1 [X] = Vect (X − 1, X + 1).
Exercice 5 Soient A et B deux sev d’un K-espace vectoriel E.
1. Montrer que la réunion de A et B n’est pas forcément un sev de E (prendre E = R2 ).
2. Montrer que A ∪ B est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si A ⊂ B ou B ⊂ A.
3. Démontrer que Vect A ∪ B = A + B où A + B = {a + b |
(a, b) ∈ A × B}.
Exercice 6 Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel .
1. À quelle condition a-t-on A = VectA ?
2. Montrer que A ⊂ B ⇒ Vect A ⊂ Vect B.
3. Montrer que Vect (A ∩ B) ⊂ Vect A ∩ Vect B, l’inclusion étant stricte (prendre A = {x} et B = {−x}).
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savoir tester la liberté d’une famille
Exercice 7 Les familles de R3 suivantes sont-elles libres ou liées ?
1. ((1, 0, 1); (0, 1, 0))
2. ((7, −4, 3))
4. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (−1, −1, 1))
5. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (−1, −1, 1); (2, −6, −1))
3. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (1, −1, 1))
Exercice 8 Montrer que les suites (1)n , (n2 )n et (2n )n forment une famille libre de RN .
Exercice 9 Soit (P0 , . . . , Pn ) une famille de polynômes de K[X] tels que deg P0 = 0, deg P1 = 1, . . . , deg Pn = n.
Démontrer que cette famille est libre.
Exercice 10 Pour n ∈ N, on pose fn : x 7→ |x − n|. Montrer en utilisant un argument de dérivabilité que la
famille (f0 , f1 , . . . , fn ) est une famille libre de F(R, R).
Exercice 11 (une famille de fonctions) Pour n ∈ N, on pose fn : x 7→ enx . Montrer que la famille
(f0 , f1 , ..., fn ) est une famille libre de F(R, R).
Exercice 12 (une famille de fonctions) Pour n ∈ N, on pose fn : x 7→ cos(nx). Montrer par récurrence
Pn+1
que (f0 , f1 , ..., fn ) est une famille libre de F(R, R) (indication : si ∀x ∈ R,
p=0 ap cos px = 0, montrer que
Pn+1 2
Pn
2
2
p
a
cos
px
=
0
puis
que
((n
+
1)
−
p
)a
cos
px
=
0).
p
p
p=0
p=0
savoir obtenir une base d’un espace vectoriel
Exercice 13 (Comment obtenir des familles génératrices) Démontrer que les ensemble suivants sont des
sous-espaces vectoriels et déterminer une famille génératrice puis une base de chacun d’eux.
1. {(x, y, z) ∈ R3 |
2. {P ∈ K[X] |
x + 2y + z = 0 et
2x + y + 3z = 0}
P (X 2 ) = (X 3 + 1)P }.
Exercice 14 On se place dans E = R3 . On pose u = (1, 1, −1), v = (−1, 1, 1) et w = (1, −1, 1). Les calculs
montrent que la famille (u, v, w) est une base de R3 . Déterminer les coordonnées du vecteur (2, 1, 3) dans cette
nouvelle base.
Exercice 15 (Base de Taylor) Pour a ∈ R et n ∈ N, on pose Pn = (X − a)n .
1. Justifier que la famille (P0 , P1 , ..., Pn ) est une base de Rn [X]. On l’appellera base de Taylor.
2. Déterminer les coordonnées de X puis de X 2 dans cette base.
3. Soit P ∈ Rn [X]. Déterminer les coordonnées de P dans la base de Taylor.
applications linéaires
Exercice 16 Montrer que les applications suivantes sont linéaires :
1. f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (2x + 3y, x + 2y).
Rb
2. u : C([a, b], R) → R définie par u(f ) = a f (t) dt.
3. f : R[X] → R définie par f (P ) = P (0).
Exercice 17 On considère f : R[X] → R[X] défini par f (P ) = P − XP ′ .
1. Démontrer que f est un endomorphisme de R[X].
2. Déterminer son noyau et en donner une famille génératrice.
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Exercice 18 On note E l’ensemble des suites à coefficients réels et f l’application de E dans E qui à une suite
u associe la suite v de terme général vn = un+1 − 2un .
1. Démontrer que f est un endomorphisme de E.
2. Déterminer le noyau de f .
Exercice 19 Déterminer le noyau des applications linéaires suivantes et en donner une famille génératrice :
1. f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (x + y, 2x + 2y).
2. f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (x + y + z, y − 2z).
3. f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (2x, x − z, x + y + z)
4. f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (−2x − y + z, 2x + y − z, 4x + 2y − 2z).
5. u : R[X] → R[X] définie par u(P ) = P ′′
6. u : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) définie par u(f ) = x 7→ f ′ (x) − 2xf (x) .
Exercice 20 On considère l’application linéaire f : R3 → R2 définie par
f (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y + 2z).
1. Déterminer Ker f . L’application f est-elle injective ?
2. Démontrer que Im f = Vect {(1, 2); (−1, 1)}. L’application f est-elle surjective ?
Exercice 21 On considère l’application où f : R4 → R3 est définie par
f (x, y, z, t) = (4x + 2t, 3x + z + t, 2x + y + 2t).
1. Déterminer une famille génératrice de Im f
2. Cette famille est-elle une base ? Déterminer une base de Im f .
plus abstrait
Exercice 22 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). On pose f 2 = f ◦ f .
1. Montrer que Ker f ⊂ Ker f 2 et que Im f 2 ⊂ Im f .
2. Montrer que l’inclusion réciproque des noyaux est fausse à l’aide de f : (x, y, z) 7→ (0, x, y).
3. Soit g un autre endomorphisme de E. Montrer que g ◦ f = 0 ssi Im f ⊂ Ker g.
Exercice 23 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer que
1. Ker f 2 = Ker f ⇔ Im f ∩ Ker f = {0}.
2. Im f 2 = Im f ⇔ Im f + Ker f = E.
Exercice 24 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 3 = 0 et f 2 6= 0 et soit x un vecteur de E tel
que f 2 (x) 6= 0. Montrer que (x, f (x), f 2 (x)) est une famille libre.
Exercice 25 Soit f et g deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E qui commutent. Montrer que f laisse
stable Ker g et Im g (un espace F est dit stable par f si f (F ) ⊂ F ).
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savoir dire si deux espaces sont supplémentaires
Exercice 26 On pose E = {P ∈ R[X] |
F = {P ∈ R[X] |
tous les termes de P sont de degré pair} ∪ {0},
tous les termes de P sont de degré impair} ∪ {0}, et G = {P ∈ R[X] |
P (0) = 0}.
1. Montrer que E, F, G sont des espaces vectoriels.
2. Montrer que R[X] = E + F , cette somme est-elle directe ?
3. Montrer que R[X] = E + G, cette somme est-elle directe ?
Exercice 27 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 2 − 3f + 2 id = 0.
1. Montrer que E = Ker(f − id) ⊕ Ker(f − 2 id).
2. Montrer que f est un automorphisme de E, déterminer son inverse.
savoir reconnaître une symétrie ou un projecteur et donner ses éléments caractéristiques
Exercice 28 On considère f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (x + 2y, −y).
1. Montrer que f est une symétrie vectorielle. Préciser ses éléments caractéristiques.
2. On considère p : R2 → R2 définie par p(x, y) = (x + y, 0). Déterminer la nature géométrique de p ainsi
que ses éléments caractéristiques.
3. En déduire que l’endomorphisme id +f est la composée de 2 endomorphismes (de nature géométrique)
que l’on précisera.
Exercice 29 (Coordonnées du projeté) On considère les espaces
F = {(x, y, z) ∈ R3 |
x + 2y + z = 0 et
2x + y − z = 0}
et
G = {(x, y, z) ∈ R3 |
x + y + 2z = 0}.
1. Démontrer que F et G sont supplémentaires dans R3 .
2. Soit p la projection sur G parallèlement à F et u = (x, y, z) ∈ R3 . Déterminer les coordonnées de p(u).
Même question avec q la projection sur F parallèlement à G.
Exercice 30 (La composée de deux projecteurs est-elle un projecteur ?) Soit p et q deux projecteurs
de E un K-espace vectoriel.
1. Démontrer que si E = R2 , la composée de p et q n’est pas forcément un projecteur de R2 . Un dessin
pourra suffir.
On suppose désormais jusqu’à la fin de l’exercice que les projecteurs p et q commutent, c’est-à-dire p ◦ q =
q ◦ p.
2. Démontrer que p ◦ q est un projecteur de E.
3. Démontrer que Im(p ◦ q) = Im p ∩ Im q et que Ker(p ◦ q) = Ker p + Ker q. Que peut-on en déduire ?
Exercice 31 (Une symétrie) Soit f l’application qui à un polynôme P de Kn [X] associe le polynôme
f (P ) = X n P (
1
).
X
1. Démontrer que pour tout P ∈ Kn [X], l’image f (P ) est bien un polynôme de Kn [X].
2. Démontrer que f est une symétrie de Kn [X].
3. Déterminer une base de ses espaces caractéristiques lorsque n = 4.
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qualités géométriques des endormorphismes de Rn
Exercice 32 (Un peu de zoologie dans R2 ) Pour chaque transformation de R2 suivante :
• déterminer leur expression analytique (on pourra parfois s’aider des nombres complexes)
• indiquer celles qui sont linéaires et donner leur matrice dans la base canonique de R2 .
On note ∆ la droite d’équation y = x.
1. homothétie de centre (0, 0) de rapport 2
3. homothétie de centre (1, 3) de rapport 2
5. translation de vecteur (2, 1)
7. la rotation de centre 0 et d’angle π3 .
9. symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆.
2. symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses
4. symétrie centrale de centre (0, 0)
6. la projection orthogonale sur l’axe des abscisses.
8. la dilatation verticale de rapport 3
10. la projection orthogonale sur la droite ∆.
Exercice 33 (Image d’une droite par un endomorphisme) Soit v un vecteur non nul de Rn et p un point
de Rn . On considère ∆ la droite de Rn dirigée par v et passant par p.
1. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.
2. En déduire qu’un endomorphisme de Rn transforme une droite de Rn en une droite ou un point.
3. Démontrer qu’un endomorphisme de Rn transforme un segment en un segment ou un point (si q est un
autre point de Rn , le segment [pq] se paramètre par {(1 − t)p + tq | t ∈ [0, 1]}).
Exercice 34 (Image d’un plan par un endomorphisme) Soit f : E → F une application linéaire.
1. Soit A une partie de E. Démontrer que f (Vect (A)) = Vect (f (A)). Que vaut donc f (Vect {u, v}) pour u
et v dans E ?
2. Que peut-on dire de l’image d’un plan vectoriel (resp. affine) par une application linéaire ?
3. En déduire l’image du plan P d’équation 2x−y−z = 0 (resp. d’équation 2x−y+z = 2) par l’endomorphisme
f de R3 définie par :
f (x, y, z) = (3y, 2x + y − z, 4x + 5y − 2z).
reconnaître un sous-espaces affines
Exercice 35 Montrer dans chaque cas que l’ensemble F est un sous-espaces affine d’un espace vectoriel E. On
précisera à chaque fois l’espace vectoriel E, un point de F et sa direction.
1. F = {(x, y, z) ∈ R3 |
2x − 5y + 3z − 5 = 0}.
2. F est l’ensemble des solutions du système

 2x − 3y
x + 2y

5x + 8y
−
+
+
z
5z
3z
= −2
= 5
= 1
3. F = {P ∈ R[X] | P (1) = 2}.
4. F est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y ′ + xy = x.
Exercice 36 L’ensemble F = {P ∈ R[X] | P 2 (0) = 1} est-il un sous-espace affine de R[X] ?
Exercice 37 Soient F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G.
1. Montrer que si E = F + G, alors F et G sont sécants.
2. Montrer que si E = F ⊕ G, alors F ∩ G est un singleton.