Chapitre 13-espaces vectoriels

13 Espaces vectoriels
13.1 Espaces vectoriels
13.1.1 Sous-espaces vectoriels
Théorème1 : L’intersection d’une famille quelconque de s.e.v. d’un K-espace vectoriel est un
espace vectoriel.
Définition1 : Soit X une partie quelconque d’un espace vectoriel E. On appelle sous-espace
vectoriel engendré par X l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E qui contiennent X.
On le note Vect(X).
Une famille finie X d’éléments de E est une famille génératrice de E si E = Vect(X).
Théorème 2 : Vect(X) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X.
Exemple ; F = {(x, y, z) ∈ , x + y + z = 0 } = Vect{(1, 0, -1), (0, 1, -1)}.
13.1.2 Somme, somme directe de deux s.e.v.
Définition 2 : Soit E un K-espace vectoriel. On appelle somme de deux sous-espaces vectoriels F
et G de E le sous-espace vectoriel engendré par leur réunion :
F + G = Vect(F ∪ G).
Théorème 3 : F + G = {u∈E, ∃ (x, y)∈F×G, u = x+ y}.
Définition 17 : La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E est directe si tout vecteur de
F + G se décompose de façon unique comme somme d’un élément de F et d’un élément de G. On
note alors la somme F G
⊕
.
Théorème 4 : Soit E un K-espace vectoriel. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E
est directe si et seulement si :
{
}
F G
E
∩ = 0 .
Définition 3 : Deux sous-espaces vectoriels F et G du K-espace vectoriel E sont supplémentaires
Théorème 1 : L’intersection de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est un sous-
espace vectoriel de E .
si E est somme directe de F et G , c’est-à-dire si F + G = E et
{
}
F G
E
∩ = 0 .
13.2 Applications linéaires
13.2.1 Applications linéaires
Définition 13 : Soient E et F deux K -ev. Une application f de E dans F est une application linéaire
de E dans F si :
1) ∀ ( x , y ) ∈ E
2
, f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ;
2) ∀a∈K , ∀x∈E , f ( ax ) = af ( x ).
On note £(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F .

On retrouve bien sûr les notions d’endomorphisme, d’isomorphisme et d’automorphisme.
Proposition 6 : Soient E et F deux K -ev. Une application f de E dans F est une application linéaire
de E dans F si et seulement si :
∀ ( x , y ) ∈E
2
, ∀ ( a , b ) ∈K
2
, f ( ax + by ) = af ( x ) + bf ( y ).
On note £ ( E , F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F . On note £ ( E , E )= £ ( E ) l’ensemble
des endomorphismes de E et G L(E) l’ensemble des automorphismes de E.
On appelle forme linéaire toute application linéaire de E dans K.
13.2.2 Noyau et image
Définition 14 : Etant donné une application linéaire de E dans F , on appelle noyau de f , et on note
Ker f l’ensemble des éléments de E qui ont pour image 0 : Kerf = f
–1
{0}. On note Im f et on appelle
image de f l’ensemble f (A).
Proposition 7 :
1) Soit f∈£ ( E , F ). Alors Ker f et Im f sont des sous-espaces vectoriels, resoectivement de E et F .
2) Soit f∈£ ( E , F ). f est injective si et seulement si Ker f = {0
E
}.
Théorème 2 : soit f∈£ ( E , F ). f est injective si et seulement si Ker f = {0
E
}.
13.2.3 Projecteurs et symétries
Définition 19 : On suppose que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E . Pour tout
u∈E , il existe x∈F et y∈G uniques tels que u = x + y .
L’application linéaire p qui à tout u associe x est appelée projection sur F parallèlement à G .
l’application linéaire s qui à tout u associe x – y est appelée symétrie par rapport à f parallèlement à
G .
Propriétés : Pour toute projection p , p o p = p .
Pour toute symétrie s , s o s = Id
E
.
Définition 20 : Soit E un espace vectoriel su K. On appelle projecteur de E tout endomorphisme de
E qui vérifie p o p = p . On appelle symétrie de E tout endomorphisme involutif de E .
Exemples :
1) Dans le plan vectoriel muni d’une base
(
)
ji , , les projections «sur les axes ».
2) Dans 
n
, les applications ( x
1
, x
2
, …, x
n
)
֏
x
i
(projections canoniques).
3) Dans 
2
, les applications p : ( x , y )
(
)
0,
2
1yx−֏
et s : ( x , y )
(
)
yyx −− ,
֏
Théorème 5 : Tout projecteur est une projection sur Im p parallèlement à Ker p .
Toute symétrie au sens de la définition 25 est une symétrie par rapport à Ker( s – Id
E
) parallèlement
à Ker( s + Id
E
).
Remarque : Ker( s – Id
E
) est l’ensemble des vecteurs invariants par s ; Ker( s + Id
E
) est l’ensemble
des vecteurs u de E tels que s ( u ) = - u .

13.2.4 Equations linéaires
Définition 21 : Une équation linéaire est une équation de la forme
(1) f ( u ) = v , où f∈£ ( E , F ), v∈F , l’inconnue étant u . v est le second membre de l’équation,
l’équation
(2) f ( u ) = 0
F
est l’ équation homogène associée à (1).
Exemples :
1) Les équations différentielles linéaires ;
2) Dans le plan, les équations de droites, dans lespace les équations de plans.
3) Tous les systèmes linéaires de n équations à p inconnues.
Théorème 6 : L’ensemble des solutions de l’équation (1) est soit vide, soit l’ensemble décrit par la
somme d’une solution particulière x
0
et d’une solution quelconque de l’équation homogène
associée, c’est à dire un élément de Ker f : S = x
0
+ Ker f .