Chapitre 13-espaces vectoriels

13 Espaces vectoriels
13.1 Espaces vectoriels
13.1.1 Sous-espaces vectoriels
Théorème1 : L’intersection d’une famille quelconque de s.e.v. d’un K-espace vectoriel est un
espace vectoriel.
Définition1 : Soit X une partie quelconque d’un espace vectoriel E. On appelle sous-espace
vectoriel engendré par X l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E qui contiennent X.
On le note Vect(X).
Une famille finie X d’éléments de E est une famille génératrice de E si E = Vect(X).
Théorème 2 : Vect(X) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X.
Exemple ; F = {(x, y, z) ∈, x + y + z = 0 } = Vect{(1, 0, -1), (0, 1, -1)}.
13.1.2 Somme, somme directe de deux s.e.v.
Définition 2 : Soit E un K-espace vectoriel. On appelle somme de deux sous-espaces vectoriels F
et G de E le sous-espace vectoriel engendré par leur réunion :
F + G = Vect(F∪G).
Théorème 3 : F + G = {u∈E, ∃ (x, y)∈F×G, u = x+ y}.
Définition 17 : La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E est directe si tout vecteur de
F + G se décompose de façon unique comme somme d’un élément de F et d’un élément de G. On
note alors la somme F ⊕ G .
Théorème 4 : Soit E un K-espace vectoriel. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E
est directe si et seulement si : F ∩ G = {0 E } .
Définition 3 : Deux sous-espaces vectoriels F et G du K-espace vectoriel E sont supplémentaires
Théorème 1 : L’intersection de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est un sousespace vectoriel de E.
si E est somme directe de F et G, c’est-à-dire si F + G = E et F ∩ G = {0 E } .
13.2 Applications linéaires
13.2.1 Applications linéaires
Définition 13 : Soient E et F deux K-ev. Une application f de E dans F est une application linéaire
de E dans F si :
1) ∀(x, y)∈E2, f(x + y) = f(x) + f(y) ;
2) ∀a∈K, ∀x∈E, f(ax) = af(x).
On note £(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
On retrouve bien sûr les notions d’endomorphisme, d’isomorphisme et d’automorphisme.
Proposition 6 : Soient E et F deux K-ev. Une application f de E dans F est une application linéaire
de E dans F si et seulement si :
∀(x, y)∈E 2, ∀(a, b)∈K2, f(ax + by) = af(x) + bf(y).
On note £(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F. On note £(E,E)=£(E) l’ensemble
des endomorphismes de E et GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
On appelle forme linéaire toute application linéaire de E dans K.
13.2.2 Noyau et image
Définition 14 : Etant donné une application linéaire de E dans F, on appelle noyau de f, et on note
Kerf l’ensemble des éléments de E qui ont pour image 0 : Kerf = f –1{0}. On note Imf et on appelle
image de f l’ensemble f(A).
Proposition 7 :
1) Soit f∈£(E,F). Alors Kerf et Imf sont des sous-espaces vectoriels, resoectivement de E et F.
2) Soit f∈£(E,F). f est injective si et seulement si Kerf = {0E}.
Théorème 2 : soit f∈£(E,F). f est injective si et seulement si Kerf = {0E}.
13.2.3 Projecteurs et symétries
Définition 19 : On suppose que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E. Pour tout
u∈E, il existe x∈F et y∈G uniques tels que u = x + y.
L’application linéaire p qui à tout u associe x est appelée projection sur F parallèlement à G.
l’application linéaire s qui à tout u associe x – y est appelée symétrie par rapport à f parallèlement à
G.
Propriétés : Pour toute projection p, pop = p.
Pour toute symétrie s, sos = IdE.
Définition 20 : Soit E un espace vectoriel su K. On appelle projecteur de E tout endomorphisme de
E qui vérifie pop = p. On appelle symétrie de E tout endomorphisme involutif de E.
Exemples :
1) Dans le plan vectoriel muni d’une base (i , j ) , les projections «sur les axes ».
2) Dans n, les applications (x1, x2, …, xn) ֏ xi (projections canoniques).
3) Dans 2, les applications p : (x, y) ֏ x− 1 y,0 et s : (x, y) ֏(x− y,−y )
2
Théorème 5 : Tout projecteur est une projection sur Imp parallèlement à Kerp.
(
)
Toute symétrie au sens de la définition 25 est une symétrie par rapport à Ker(s – IdE) parallèlement
à Ker(s + IdE).
Remarque : Ker(s – IdE) est l’ensemble des vecteurs invariants par s ; Ker(s + IdE) est l’ensemble
des vecteurs u de E tels que s(u) = -u.
13.2.4 Equations linéaires
Définition 21 : Une équation linéaire est une équation de la forme
(1)
(2)
Exemples :
f(u) = v, où f∈£(E,F), v∈F, l’inconnue étant u. v est le second membre de l’équation,
l’équation
f(u) = 0F est l’équation homogène associée à (1).
1) Les équations différentielles linéaires ;
2) Dans le plan, les équations de droites, dans lespace les équations de plans.
3) Tous les systèmes linéaires de n équations à p inconnues.
Théorème 6 : L’ensemble des solutions de l’équation (1) est soit vide, soit l’ensemble décrit par la
somme d’une solution particulière x0 et d’une solution quelconque de l’équation homogène
associée, c’est à dire un élément de Kerf : S = x0 + Kerf.