correction CPX . .a calcul expression conj , CPX . .b


correction
CPX
..a calcul expression conj
,
CPX
..b reconnaître i̂

CPX
..c formules conj. Correctes

CAL
. calculs corrects

CPX
. identifier Re et Im

CPX
..a calculer j̂
CAL
..b calculer somme

total

,
CAL
..a calculer P()
,
RAI
..b identifier coeffs : méthode
CAL
identifier coeffs : calculs
CPX
..c résoudre eq. Deg  dans C
CPX
..a placer points
CPX
..b calculer modules
ANT
nature triangle

,

,

,
total

CAL
. Calculs à l’aide de la calculatrice

CHR
. conjecture

SUI
Dem récurrence : identifier étapes

SUI
Dem récurrence : rédaction
,
CAL
Dem récurrence : calculs
,

total
F. Leon (--) c
LATEX document
/
note sur 
C
NOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - Mois de naissance . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice  —
Quelques calculs
 points
Dans cet exercice, vous détaillerez raisonnablement les calculs.
. Donner la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants (m est le no de votre mois de naissance) :
b) zb = i 2 016
c) zc = (m + 2)i × 2 + 3i
a) za = 3 + i
m − 2i
(3 + i)(m + 2i)
a) za = 3 + i =
m − 2i
m2 + 4
2
3m
+
6i
+
im
+
2i
=
m2 + 4
3m
−
2
= 2
+ 6+m i
m + 4 m2 + 4
− 2 et =(z ) = 6 + m i
donc <(za ) = 3m
a
m2 + 4
m2 + 4
504
b) zb = i 2 016 = i 4×504 = i 4
= 1504 = 1
donc <(zb ) = 1 et =(zb ) = 0
c) zc = (m + 2)i × 2 + 3i
= (m + 2)i × 2 + 3i
= −(m + 2)i × (2 + 3i)
= −2(m + 2)i − 3(m + 2)i 2
= −2(m + 2)i + 3(m + 2)
donc <(zc ) = 3(m + 2) et =(zc ) = −2(m + 2)
√
3
. Soit j = − 1 +
i.
2
2
a) Calculer j 2 .
√ !2
√
√
√
3
3
3
3
1
2
j = − +
i = 1 −2× 1 ×
i − 3 = −2 −
i = −1 −
i
2
2
4
2
2
4
4
2
2
2
2
b) Calculer S = 1√+ j +
!j .
√ !
3
3
1
1
S = 1+ − +
i + − −
i =0
2
2
2
2
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2016_17/lycee/TS3/eval/c04
/
Exercice  —
Polynôme et géométrie
 points
Pour tout nombre complexe z, on pose : P(z) = z 3 − 3z 2 + 3z + 7
. a) Calculer P(−1).
P(−1) = (−1)3 − 3 × (−1)2 + 3 × (−1) + 7 = −1 − 3 − 3 + 7 = 0
b) Déterminer les réels a et b tels que P(z) = (z + 1)(z 2 + az + b)
P(z) = (z +1)(z 2 +az +b) = z 3 +az 2 +bz +z 2 +az +b = z 3 +(a+1)z 2 +(b+a)z +b
en identifiant les coefficients : a = −4 et b = 7
donc P(z) = (z + 1)(z 2 − 4z + 7)
c) En déduire les solutions de l’équation P(z) = 0 dans C.
P(z) = 0 ⇔ (z + 1)(z 2 − 4z + 7) = 0
donc z = −1 ou z 2 − 4z + 7 = 0
∆ = (−4)2 − 4 × 1 × 7 = 16 − 28 = −12
l’équation admet
√ deux racines complexes conjuguées :
√
√
−(−4) + i 12
α=
= 2 + 3i et β = 2 − 3i
2
. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O ; u
~ ; v~ . Soient les
points A, B et C d’affixes respectives zA = α, zB = α et zC = γ où α, β et γ sont
les racines du polynôme P.
a) Placer les points A, B et C dans un repère (unité  grand carreau ou  cm).
b) Calculer les distances AB, BC et CA. En déduire la nature du triangle
ABC.
q
√
√
√ 2
√
AB = |zB − zA | = |2 + 3i − (−1)| = |3 + 3i| = 32 + 3 = 2 3
q √
√
√
√
√
BC = |zC − zB | = |2 − 3i − (2 + 3i)| = | − 2 3i| = (−2 3)2 = 2 3
√
√
√
CA = |zA − zC | = | − 1 − (2 − 3i)| = | − 3 + 3i| = 2 3
le triangle ABC est équilatéral.
F. Leon (--) c
LATEX document
/
Exercice  —
 points
Complexes et suites
Dans le plan complexe, on définit la suite suivante :



 z0 = 1


 z = (−1 + √3i)z
n
n+1
. À l’aide de la calculatrice, donner la forme algébrique de z1 , z2 , z3 et z4 ; puis,
toujours à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant.
z0
forme alg.
z1
z2
z3
z4
1
module
z0
forme alg.
1
z1
√
−1 + 3i
module
1
2
z2
√
−2 − 2 3i
4
z3
z4
8
√
−8 + 8 3i
8
16
. Émettre une conjecture permettant d’obtenir |zn | en fonction de n, puis la
démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence en précisant les propriétés utilisées sur les modules des nombres complexes.
Conjecture : on a l’impression que pour tout n ∈ N, |zn | = 2n
Initialisation : |z0 | = |1| = 1 et 20 = 1, donc la propriété « |zn | = 2n » est vraie
pour n = 0
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier p tel que la propriété « |zp | = 2p »
soit vraie, montrons qu’alors au rang (p + 1), la propriété « |zp+1 | = 2p+1 » est
vraie.
√
Démonstration : On sait que zp+1 = (−1 + 3i)zn , donc
√
√
|zp+1 | = |(−1 + 3i)zp | = | − 1 + 3i| × |zp |, car |zz 0 | = |z| × |z 0 |
q
√
√
√
or | − 1 + 3i| = (−1)2 + ( 3)2 = 4 = 2
et par hypothèse de récurrence |zp | = 2p
donc |zp+1 | = 2 × 2p = 2p+1
Conclusion : pour tout n ∈ N, |zn | = 2n .
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2016_17/lycee/TS3/eval/c04
/