correction CPX . .a calcul expression conj , CPX . .b

correction 
CPX ..a calcul expression conj ,
CPX ..b reconnaître iˆ 
CPX ..c formules conj. Correctes 
CAL .calculs corrects 
CPX .identifier Re et Im 
CPX ..a calculer jˆ  ,
CAL ..b calculer somme 
total 
CAL ..a calculer P(),
RAI ..b identifier coeffs : méthode 
CAL identifier coeffs : calculs ,
CPX ..c résoudre eq. Deg dans C 
CPX ..a placer points ,
CPX ..b calculer modules 
ANT nature triangle ,
total 
CAL .Calculs à l’aide de la calculatrice 
CHR .conjecture 
SUI Dem récurrence : identifier étapes 
SUI Dem récurrence : rédaction ,
CAL Dem récurrence : calculs ,
total 
F. Leon (--) c L
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X document /

C note sur 
NOM .............................-Moisdenaissance ................
Exercice — Quelques calculs points
Dans cet exercice, vous détaillerez raisonnablement les calculs.
.Donner la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes sui-
vants (mest le node votre mois de naissance) :
a) za=3 + i
m−2ib) zb=i2016 c) zc= (m+ 2)i×2 + 3i
a) za=3 + i
m−2i=(3 + i)(m+ 2i)
m2+ 4
=3m+ 6i+im + 2i2
m2+ 4
=3m−2
m2+ 4 +6 + m m2+ 4i
donc <(za) = 3m−2
m2+ 4 et =(za) = 6 + m m2+ 4i
b) zb=i2016 =i4×504 =i4504 = 1504 = 1
donc <(zb) = 1 et =(zb)=0
c) zc= (m+ 2)i×2 + 3i
= (m+ 2)i×2 + 3i
=−(m+ 2)i×(2 + 3i)
=−2(m+ 2)i−3(m+ 2)i2
=−2(m+ 2)i+ 3(m+ 2)
donc <(zc) = 3(m+ 2) et =(zc) = −2(m+ 2)
.Soit j=−1
2+√3 2i.
a) Calculer j2.
j2= −1
2+√3 2i!2
=1
4−2×1 2×√3 2i−3 4=−2 4−√3 2i=−1 2−√3 2i
b) Calculer S = 1 + j+j2.
S = 1 + −1
2+√3 2i!+ −1 2−√3 2i!= 0
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2016_17/lycee/TS3/eval/c04 /

Exercice — Polynôme et géométrie points
Pour tout nombre complexe z, on pose : P(z) = z3−3z2+ 3z+ 7
. a) Calculer P(−1).
P(−1) = (−1)3−3×(−1)2+ 3 ×(−1) + 7 = −1−3−3 + 7 = 0
b) Déterminer les réels aet btels que P(z)=(z+ 1)(z2+az +b)
P(z)=(z+1)(z2+az+b) = z3+az2+bz +z2+az+b=z3+(a+1)z2+(b+a)z+b
en identifiant les coefficients : a=−4 et b= 7
donc P(z)=(z+ 1)(z2−4z+ 7)
c) En déduire les solutions de l’équation P(z) = 0 dans C.
P(z)=0⇔(z+ 1)(z2−4z+ 7) = 0
donc z=−1 ou z2−4z+ 7 = 0
∆= (−4)2−4×1×7 = 16 −28 = −12
l’équation admet deux racines complexes conjuguées :
α=−(−4) + i√12
2= 2 + √3iet β= 2 −√3i
.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O; ~u ;~v . Soient les
points A, B et C d’affixes respectives zA=α,zB=αet zC=γoù α,βet γsont
les racines du polynôme P.
a) Placer les points A, B et C dans un repère (unité grand carreau ou cm).
b) Calculer les distances AB, BC et CA. En déduire la nature du triangle
ABC.
AB = |zB−zA|=|2 + √3i−(−1)|=|3 + √3i|=q32+√32= 2√3
BC = |zC−zB|=|2−√3i−(2 + √3i)|=|−2√3i|=q(−2√3)2= 2√3
CA = |zA−zC|=|−1−(2 −√3i)|=|−3 + √3i|= 2√3
le triangle ABC est équilatéral.
F. Leon (--) c L
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X document /

Exercice — Complexes et suites points
Dans le plan complexe, on définit la suite suivante :
z0=1
zn+1 =(−1 + √3i)zn
.À l’aide de la calculatrice, donner la forme algébrique de z1,z2,z3et z4; puis,
toujours à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant.
z0z1z2z3z4
forme alg. 1
module
z0z1z2z3z4
forme alg. 1 −1 + √3i−2−2√3i8−8 + 8√3i
module 1 2 4 8 16
.Émettre une conjecture permettant d’obtenir |zn|en fonction de n, puis la
démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence en précisant les pro-
priétés utilisées sur les modules des nombres complexes.
Conjecture : on a l’impression que pour tout n∈N,|zn|= 2n
Initialisation : |z0|=|1|= 1 et 20= 1, donc la propriété « |zn|= 2n» est vraie
pour n= 0
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier ptel que la propriété « |zp|= 2p»
soit vraie, montrons qu’alors au rang (p+ 1), la propriété « |zp+1|= 2p+1 » est
vraie.
Démonstration : On sait que zp+1 = (−1 + √3i)zn, donc
|zp+1|=|(−1 + √3i)zp|=|−1 + √3i|×|zp|, car |zz0|=|z|×|z0|
or |−1 + √3i|=q(−1)2+ (√3)2=√4=2
et par hypothèse de récurrence |zp|= 2p
donc |zp+1|= 2 ×2p= 2p+1
Conclusion : pour tout n∈N,|zn|= 2n.
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2016_17/lycee/TS3/eval/c04 /