AIDE Terminale S : Calculs de primitives

AIDE Terminale S : Calculs de primitives
Exercice n°1
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que f (0) = –
1
2
et f ’ = – f sur [ 0 ; 1 ].
2
a. Démontrer que f ne s’annule pas sur [ 0 ; 1 ].
1
b. Démontrer que ( )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].
f
c. En déduire la fonction f.
Exercice n°2
Déterminer une primitive de f sur l’intervalle I.
3
2
a. f (x) = x – 4x + 3x – 5
cos x
2
(sin x + 2)
4x – 2
e. f (x) =
2
x –x+1
c. f (x) =
I= Y
b. f (x) = 3x +
I= Y
d. f (x) =
1
1
– 2
2
x
I= ]0;+∞[
x
2
4
(x + 1)
I=]0;+∞[
I= Y
Exercice n°3
Déterminer la primitive F de la fonctions f sur l’intervalle I, vérifiant la condition indiquée.
2
a. f (x) = 3x ( x + 1)
4
2
x
b. f (x) = x e
x
e
c. f (x) =
x
2
( 3e + 1 )
avec F ( 2) = 1
I= Y
avec F ( – 1 ) = 0
I= Y
avec F ( 0 ) = 0
I= Y
Exercice n°4
Soit f la fonction définie sur Y \ {1} par : f (x) =
2x + 3
3
(x – 1)
1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x ≠ 1 : f (x) =
a
b
2 +
3 .
(x – 1)
(x – 1)
2. En déduire une primitive de f sur ] – ∞ ; 1 [.
Exercice n°5
2
2
En utilisant la relation fondamentale cos x + sin x = 1 vraie pour tout réel x, déterminer une primitive sur Y de la
3
fonction f : x ï cos x .
Exercice n°6
2
2x
Soit la fonction définie sur Y par : f (x) = ( x – 4 ) e .
a. Déterminer des réels α, β, γ pour que la fonction F, définie sur Y par : F (x) = ( α x + β x + γ ) e ,
2
soit une primitive de f sur Y.
b. Déterminer la primitive de f sur Y qui s’annule en 0.
2x
CORRECTION AIDE Terminale S : Calculs de primitives
Exercice n°1
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que
1
f (0) = – et f ’ = – f 2 sur [ 0 ; 1 ].
2
a. f’ = – f 2 donc f’(x) < 0 sur [ 0 ; 1 ].
On en déduit donc que f est décroissante sur [ 0 ; 1 ].
f décroissante et f(0) < 0 donc f ne s’annule pas en 0.
b. (
1
f’ f2
) ’ = – 2 = 2 = 1.
f
f
f
1
On en déduit donc que ( )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].
f
1
1
)’ est constante alors est de la forme :
f
f
1
=x+k
f(x)
1
.
On en déduit donc que f(x) =
x+k
1
f( x ) = x + k

1
f(0) = – 2
1
1
=–
2
k
k=–2
c. Si (
f(x) =
1
.
x–2
2
b. f (x) = x ex
avec F ( – 1 ) = 0
1
u
f est de la forme × u’ × e avec u(x) = x2
2
1 x2
F(x) = e + k
2
1
F( – 1) = e1 + k = 0
2
1
D’où e + k = 0
2
1 2 1
1
k= – e
F(x) = ex – e
2
2
2
I= Y
ex
avec F ( 0 ) = 0
( 3ex + 1 )2
1 u’
f est de la forme × n avec u(x) = 3ex + 1 et n = 2
3 u
–1
1
+k
F(x) = ×
3 (3ex + 1)
1
F(0) = –
+k=0
3 × ( 3 + 1)
1
+k=0
D’où –
12
–1
1
1
k=
F(x) =
+
12
3(3ex + 1) 12
Exercice n°4
Soit f la fonction définie sur Y \ {1} par : f (x) =
Exercice n°2
a. f (x) = x3 – 4x2 + 3x – 5
I= Y
1 4 4 3 3 2
F(x) = x – x + x – 5x + k k ∈ Y
3
2
4
1
1
– 2
I= ]0;+∞[
2
x
1
1
3
F(x) = x2 + x + + k
2
x
2
cos x
c. f (x) =
I= Y
(sin x + 2)2
u’
f est de la forme n avec u(x) = sin x + 2 et n = 2
u
1
F=– +k
u
1
F(x) = –
+k
sin x + 2
x
d. f (x) = 2
I=]0;+∞[
(x + 1)4
1u’
f est de la forme
avec u(x) = x2 + 1 et n = 4
2 un
1
1
F = × (– 3 ) + k
2
3u
1
F(x) = –
+k
6(x2 + 1)3
4x – 2
e. f (x) =
I= Y
x2 – x + 1
u’
f est de la forme 2 ×
avec u(x) = x2 – x + 1
u
F=2×2 u+k
F(x) = 4 x2 – x + 1 + k
b. f (x) = 3x +
Exercice n°3
a. f (x) = 3x ( x2 + 1)4
avec F ( 2) = 1
I= Y
3
f est de la forme × u’ × u4 avec u(x) = x2 + 1
2
3 1
F(x) = × (x2 + 1)5 + k
2 5
3 1
F( 2) = × ( 22 + 1)5 + k = 1
2 5
3 1
D’où × (2 + 1)5 + k = 1
2 5
3 1
719
3
– 719
k=1–
× 35
k=
F(x) = × (x2 + 1)5 –
10
10
2 5
10
I= Y
c. f (x) =
a(x – 1) + b
(x – 1)3
ax – a + b
=
(x – 1)3
Par identification avec l’expression de f(x), on obtient :
a=2
–a+b=3
d’où
b=5
2
5
f (x) =
2 +
3
(x – 1)
(x – 1)
5
2
2. F(x) = –
–
+k
x – 1 2(x – 1)2
1.
a
b
+
(x – 1)2
(x – 1)3
2x + 3
(x – 1)3
=
Exercice n°5
f(x) = cos3x
f(x) = cos x cos2x
f(x) = cos x ( 1 – sin2x )
f(x) = cos x – cos x sin2x
Si on pose u(x) = sin x alors u’(x) = cos x
f(x) = u’(x) – u’(x) × (u(x))2
On en déduit donc qu’une primitive de cette fonction est :
1
F(x) = u(x) – u(x)3 + k
3
1
F(x) = sin x –
+k
3 sin3x
Exercice n°6
f (x) = ( x2 – 4 ) e2x
a. F (x) = ( α x2 + β x + γ ) e2x
F est de la forme u × v
F est une primitive de f sur Y si F’(x) = f(x)
F’(x) = (2α x + β)e2x + 2( α x2 + β x + γ ) e2x
F’(x) = [ 2α x2 + (2α + 2β) x + (β + 2γ) ] e2x
F’ = u’v + uv’
F’(x) = f(x)
⇔
2α = 1
2α + 2β = 0
α=
1
2
β=–
1
2
–4+
β + 2γ = – 4
F(x) = (
γ=
2
1
2
=–
7 1
7
× =–
2 2
4
1 2 1
7
x – x – ) e2x est une primitive de f sur Y.
2
2
4
Fk(x) = (
1 2 1
7
x – x – ) e2x + k telle que Fk(0) = 0
2
2
4
1
1
7
× 0 – × 0 – ) e2×0 + k
2
2
4
7
Fk(0)= – + k et Fk(0) = 0
4
7
On en déduit donc que k =
4
Fk(0)= (
F7(x) = (
4
1 2 1
7
7
x – x – ) e2x + est la primitive de f qui s’annule en 0.
2
2
4
4