AIDE Terminale S : Calculs de primitives

AIDE Terminale S : Calculs de primitives
Exercice n°1
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que f (0) = – 1
2 et f ’ = – f
2
sur [ 0 ; 1 ].
a. Démontrer que f ne s’annule pas sur [ 0 ; 1 ].
b. Démontrer que ( 1
f )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].
c. En déduire la fonction f.
Exercice n°2
Déterminer une primitive de f sur l’intervalle I.
a. f (x) = x
3
– 4x
2
+ 3x – 5 I = Y b. f (x) = 3x + 1
2 – 1 x
2
I = ] 0 ; + ∞ [
c. f (x) = cos x
(sin x + 2)
2
I = Y d. f (x) = x
(x
2
+ 1)
4
I = ] 0 ; + ∞ [
e. f (x) = 4x – 2
x
2
– x + 1 I = Y
Exercice n°3
Déterminer la primitive F de la fonctions f sur l’intervalle I, vérifiant la condition indiquée.
a. f (x) = 3x ( x
2
+ 1)
4
avec F ( 2) = 1 I = Y
b. f (x) = x e
x2
avec F ( – 1 ) = 0 I = Y
c. f (x) = e
x
( 3e
x
+ 1 )
2
avec F ( 0 ) = 0 I = Y
Exercice n°4
Soit f la fonction définie sur Y \ {1} par : f (x) = 2x + 3
(x – 1)
3
1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x ≠ 1 : f (x) = a
(x – 1)
2
+ b
(x – 1)
3
.
2. En déduire une primitive de f sur ] – ∞ ; 1 [.
Exercice n°5
En utilisant la relation fondamentale cos
2
x + sin
2
x = 1 vraie pour tout réel x, déterminer une primitive sur Y de la
fonction f : x ï cos
3
x .
Exercice n°6
Soit la fonction définie sur Y par : f (x) = ( x
2
– 4 ) e
2x
.
a. Déterminer des réels α, β, γ pour que la fonction F, définie sur Y par : F (x) = ( α x
2
+ β x + γ ) e
2x
,
soit une primitive de f sur Y.
b. Déterminer la primitive de f sur Y qui s’annule en 0.

CORRECTION AIDE Terminale S : Calculs de primitives
Exercice n°1
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que
f (0) = – 1
2 et f ’ = – f
2
sur [ 0 ; 1 ].
a. f’ = – f
2
donc f’(x) < 0 sur [ 0 ; 1 ].
On en déduit donc que f est décroissante sur [ 0 ; 1 ].
f décroissante et f(0) < 0 donc f ne s’annule pas en 0.
b. ( 1
f ) ’ = – f ’ f
2
= f
2
f
2
= 1.
On en déduit donc que (1
f )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].
c. Si ( 1
f )’ est constante alors 1 f est de la forme :
1
f(x) = x + k
On en déduit donc que f(x) = 1
x + k.
f( x ) = 1
x + k
f(0) = – 1
2
1
k = – 1 2
k = – 2
f(x) = 1
x – 2.
Exercice n°2
a. f (x) = x
3
– 4x
2
+ 3x – 5 I = Y
YY
Y
F(x) = 1
4 x
4
– 4
3 x
3
+ 3
2 x
2
– 5x + k k ∈ Y
b. f (x) = 3x + 1
2 – 1 x
2
I = ] 0 ; + ∞
∞∞
∞ [
F(x) = 3
2 x
2
+ 1
2 x + 1 x + k
c. f (x) = cos x
(sin x + 2)
2
I = Y
YY
Y
f est de la forme u ’
u
n
avec u(x) = sin x + 2 et n = 2
F = – 1
u + k
F(x) = – 1
sin x + 2 + k
d. f (x) = x
(x
2
+ 1)
4
I = ] 0 ; + ∞
∞∞
∞ [
f est de la forme 1
2 u ’ u
n
avec u(x) = x
2
+ 1 et n = 4
F = 1
2 × (– 1 3u
3
) + k
F(x) = – 1
6(x
2
+ 1)
3
+ k
e. f (x) = 4x – 2
x
2
– x + 1 I = Y
YY
Y
f est de la forme 2 × u’
u avec u(x) = x
2
– x + 1
F = 2 × 2 u + k
F(x) = 4 x
2
– x + 1 + k
Exercice n°3
a. f (x) = 3x ( x
2
+ 1)
4
avec F ( 2) = 1 I = Y
YY
Y
f est de la forme 3
2 × u’ × u
4
avec u(x) = x
2
+ 1
F(x) = 3
2 × 1 5 (x
2
+ 1)
5
+ k
F( 2) = 3
2 × 1 5 ( 2
2
+ 1)
5
+ k = 1
D’où 3
2 × 1 5 (2 + 1)
5
+ k = 1
k = 1 – 3
10 × 3
5
k = – 719
10 F(x) = 3
2 × 1 5 (x
2
+ 1)
5
– 719
10
b. f (x) = x e
x2
avec F ( – 1 ) = 0 I = Y
YY
Y
f est de la forme 1
2 × u’ × e
u
avec u(x) = x
2
F(x) = 1
2 e
x2
+ k
F( – 1) = 1
2 e
1
+ k = 0
D’où 1
2 e + k = 0
k = – 1
2 e F(x) = 1
2 e
x2
– 1
2 e
c. f (x) = e
x
( 3e
x
+ 1 )
2
avec F ( 0 ) = 0 I = Y
YY
Y
f est de la forme 1
3 × u’ u
n
avec u(x) = 3e
x
+ 1 et n = 2
F(x) = 1
3 × – 1 (3e
x
+ 1) + k
F(0) = – 1
3 × ( 3 + 1) + k = 0
D’où – 1
12 + k = 0
k = 1
12 F(x) = – 1
3(3e
x
+ 1) + 1 12
Exercice n°4
Soit f la fonction définie sur Y
YY
Y \ {1} par : f (x) = 2x + 3
(x – 1)
3
1. a
(x – 1)
2
+ b
(x – 1)
3
= a(x – 1) + b
(x – 1)
3
= ax – a + b
(x – 1)
3
Par identification avec l’expression de f(x), on obtient :
a = 2
– a + b = 3 d’où b = 5
f (x) = 2
(x – 1)
2
+ 5
(x – 1)
3
2. F(x) = – 2
x – 1 – 5 2(x – 1)
2
+ k
Exercice n°5
f(x) = cos
3
x
f(x) = cos x cos
2
x
f(x) = cos x ( 1 – sin
2
x )
f(x) = cos x – cos x sin
2
x
Si on pose u(x) = sin x alors u’(x) = cos x
f(x) = u’(x) – u’(x) × (u(x))
2
On en déduit donc qu’une primitive de cette fonction est :
F(x) = u(x) – 1
3 u(x)
3
+ k
F(x) = sin x – 1
3 sin
3
x + k
Exercice n°6
f (x) = ( x
2
– 4 ) e
2x
a. F (x) = ( α x
2
+ β x + γ ) e
2x
F est de la forme u × v
F est une primitive de f sur Y si F’(x) = f(x)
F’(x) = (2α x + β)e
2x
+ 2( α x
2
+ β x + γ ) e
2x
F’ = u’v + uv’
F’(x) = [ 2α x
2
+ (2α + 2β) x + (β + 2γ) ] e
2x
F’(x) = f(x)
2α = 1 ⇔ α = 1
2
2α + 2β = 0 β = – 1
2
β + 2γ = – 4 γ = – 4 + 1
2
2 = – 7 2 × 1 2 = – 7 4
F(x) = ( 1
2 x
2
– 1
2 x – 7 4) e
2x
est une primitive de f sur Y.

F
k
(x) = ( 1
2 x
2
– 1
2 x – 7 4) e
2x
+ k telle que F
k
(0) = 0
F
k
(0)= ( 1
2 × 0 – 1 2 × 0 – 7 4) e
2×0
+ k
F
k
(0)= – 7
4 + k et F
k
(0) = 0
On en déduit donc que k = 7
4
F
7
4
(x) = ( 1
2 x
2
– 1
2 x – 7 4) e
2x
+ 7
4 est la primitive de f qui s’annule en 0.