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DEVOIR MAISON n˚12 Pour Lundi 2 Mai 2016
PROBL` EME
D’apr`es Concours des ´ Ecoles des Mines d’Albi, Al`es, Douai, Nantes
Partie I - ´ Etude d’une ´equation fonctionnelle
On travaille dans un C-espace vectoriel Esuppos´e non r´eduit au vecteur nul. LEd´esigne l’ensemble
des endomorphismes de E,IdEest l’application identit´e de Eet θd´esigne l’application nulle.
Par convention : fLE , f0IdE.
On ´etudie sur quelques cas particuliers, l’´equation : f IdE2nIdEθo`u fLEest l’inconnue.
1. D´eterminer les homoth´eties vectorielles qui sont solutions de l’´equation propos´ee.
2. En d´eveloppant 1 1 2net 1 1 2nmontrer que S
n
k0
2n
2ket S
n1
k0
2n
2k1sont toutes les deux
´egales `a 22n1. (la notation n
kd´esigne le coefficient binomial : n!
k!n k !.)
3. Si sest une sym´etrie de E, exprimer s IdE2nIdEen fonction de set IdE.
En d´eduire les sym´etries de Esolutions de l’´equation propos´ee.
Partie II - ´ Etude d’une ´equation matricielle
On travaille dans M3Censemble des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients dans C.
Id´esigne la matrice identit´e et Ola matrice nulle.
On pose G Ma,b M3Ca, b C2o`u Ma,b d´esigne la matrice
a b b
bab
b b a
.
4. Montrer que Gest un sous-espace vectoriel de M3Cdont on pr´ecisera la dimension et une base.
5. V´erifier que Gest stable pour le produit matriciel.
6. (a) Prouver que si a b ou a2balors M a, b n’est pas inversible.
(b) Si a b ou a2b, prouver que Ma,b est inversible, que son inverse appartient `a Get le calculer.
On cherche `a r´esoudre l’´equation matricielle M I 2nI O, avec M, matrice inconnue de G.
On note Ele C-espace vectoriel C3et Be1, e2, e3la base canonique de E.
Soient M Ma,b un ´el´ement de Gtel que b0, ul’endomorphisme de Ecanoniquement associ´e `a Met
IdE, l’application identit´e de E.
7. On pose e11,1,1 . Calculer u e1.
8. D´eterminer une base e2, e3de Fker u a b .IdE.
9. Montrer que e1, e2, e3est une base de E; on la note B.
10. D´eterminer la matrice Dde udans la base B.
11. On note Pla matrice de passage de B`a B.
´
Ecrire Pet d´eterminer P1en pr´ecisant la m´ethode utilis´ee et en d´etaillant les calculs.
12. Exprimer Men fonction de P,Det P1.
En d´eduire une m´ethode de calcul de Mn(nN).
13. Montrer que : Mest solution de l’´equation si et seulement si Dest solution de l’´equation .
14. D´eterminer toutes les matrices Dsolutions de l’´equation .
15. En d´eduire toutes les solutions de l’´equation dans G.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI

DEVOIR MAISON n˚12 Pour Lundi 2 Mai 2016
EXERCICE 1 - Calcul des puissances d’une matrice An
Soit la matrice A
011
101
110
.
1. V´erifier que A33A2I3O3.
2. En d´eduire que Aest inversible et calculer A1.
3. D´eterminer les racines de X33X2 ainsi que leur multiplicit´e.
4. Pour nN, donner le reste de la division euclidienne de Xnpar X33X2.
5. En d´eduire l’expression de la matrice An.
EXERCICE 2 - Travail sur les projecteurs
Soit Eun K-e.v. et p,qdeux projecteurs de E.
1. Montrer que : p q projecteur p q q p 0p q q p 0.
2. Si p q est un projecteur, montrer que :
Im pIm qIm p q et Ker pKer qKer p q
Pour ceux qui ont des difficult´es avec ce genre de questions, vous pourrez traiter l’exercice en supposant
Ede dimension finie (et les autres avec Ede dimension quelconque).
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI