énoncé

Devoir sur feuille 3 : premier concours blanc
le jeudi 8 janvier 2015
Question : On d´esigne par nun nombre entier strictement sup´erieur `a 1.
Un sac contient des boules rouges et des boules blanches, indiscernables si ce n’est par la couleur. La proportion
de boules rouges est p, o`u 0 < p < 1 ; celle des boules blanches est q= 1 −p. On effectue une suite de tirages
d’une boule, avec remise de la boule tir´ee apr`es chaque tirage, selon la r`egle suivante :
– d`es qu’une boule rouge est tir´ee, on arrˆete les tirages ;
– si les npremi`eres boules tir´ees sont blanches, on arrˆete les tirages.
1. D´eterminer le nombre maximal de tirages que l’on effectue lors de cette exp´erience.
2. On introduit pour tout k∈[[1, n]] l’´ev´enement Ak”l’exp´erience s’ach`eve au bout de ktirages”.
a) Introduire des ´ev´enements qui permettent de d´ecrire l’exp´erience.
b) D´ecrire les ´ev´enements Ak`a l’aide de ces ´ev´enements (on pensera `a distinguer le cas k=n).
c) en d´eduire pour tout k∈[[1, n]], P(Ak), puis v´erifier que
n
P
k=1
P(Ak) = 1.
Exercice 1: inspir´e de Eslsca 95
On consid`ere la matrice D=
000
030
003
et l’ensemble E={M∈ M3(R)/ MD =DM}.
1. Montrer que Eainsi ´ecrit est un sous-espace vectoriel de M3(R)
2. D´eterminer les matrices de E.
3. Trouver alors une base de E.
4. On consid`ere l’´equation M2−M+D= 0 d’inconnue M∈ M3(R).
(a) Montrer qu’il n’existe pas de solutions Mtelles que Msoit diagonale.
(b) Montrer que si Mest solution, alors M∈E.
(c) Montrer qu’il existe une infinit´e de solutions `a cette ´equation.
Exercice 2: inspir´e d’hec E 2003 et d’eml S 99
Soit fla fonction d´efinie par f(x) = −ln(1−x)
xsi x6= 0
1 si x= 0
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f, que l’on notera D.
2. fse prolonge-t-elle par continuit´e en 1 ?
3. Etudier la limite de fen −∞. Interpr´eter.
4. Montrer que fest continue sur D.
5. Montrer que fest d´erivable sur D. On pourra admettre la limite suivante : ln(1+x)−x
x2−→
x→0−1
2.
6. Calculer f0(x) pour tout x6= 0.
7. On pose pour tout t∈]− ∞,1[, g(t) = t
1−t+ ln(1 −t). D´eterminer le signe de g.
8. Dresser le tableau de variations de f.
9. Dessiner la courbe de f, en pr´ecisant les asymptotes et la tangente `a l’origine.
Exercice 3: Esclsca 90
On consid`ere l’ensemble Sdes matrices de la forme P=a b
1−a1−bavec (a, b)∈]0,1[×]0,1[.
Partie I :
1. L’ensemble Sest-il un sous-espace vectoriel de M2(R) ?
2. Soit a, b ∈]0,1[ et P=a b
1−a1−b∈S.
Montrer que P2= (1 + d)P−dI2o`u d=a−bet I2est la matrice identit´e de M2(R).

3. Montrer alors que : ∀n>1, P n=1
1−d(1 −dn)P−d(1 −dn−1)I2
4. D´efinition : Soit (Qn) une suite de matrice, o`u pour tout n∈N,Qn=unvn
wnxnet soit L=u v w x.
On dit que la suite de matrices (Qn) converge vers la matrice Lsi et seulement si les quatre suites (un),
(vn),(wn) et (xn) convergent et ont pour limites respectives u, v, w, x lorsque ntend vers l’infini.
Montrer que la suite (Pn) converge vers une matrice Lque l’on explicitera. Lappartient-elle `a S?
5. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une matrice Pde Sne soit pas inversible.
Montrer qu’elle v´erifie alors : ∀n>1, P n=P
Partie II :
Un point mobile Mse d´eplace dans le plan sur deux points A(1,0) et B(−1,0).
A l’instant 0, il est en Aou en B, avec ´equiprobabilit´e. Puis si `a l’instant nil est en A, alors `a l’instant n+ 1,
il y reste avec probabilit´e p∈]0,1[, et si `a l’instant nil est en B, il y reste `a l’instant n+ 1 avec probabilit´e
q∈]0,1[. On note an(resp. bn) la probabilit´e que le mobile soit en A(resp. en B) `a l’instant n.
1. Montrer qu’il existe une matrice P∈Stelle que : ∀n>1,an+1
bn+1 =Pan bn
2. En d´eduire alors une expression de an
bnen fonction de Pn.
3. A l’aide de la partie I, expliciter anet bnen fonction de n. Calculer lim
n→+∞an.
Exercice 4: tout d´ebut Essec E 2002
Partie I R´esolution de l’´equation x2+x−1=0(0<x<1)
On consid`ere dans cette question la fonction fd´efinie pour x≥0 par : f(x) = 1
x+1
1. Montrer que l’´equation x2+x−1 = 0 a une seule racine r´eelle appartenant `a [1/2,1] et pr´eciser la valeur
de r2.En d´eduire que r2est l’unique solution de l’´equation f(x) = xsur [1/2,1]
2. Montrer, si xd´esigne un nombre r´eel appartenant `a [1/2,1] ,que f(x) appartient `a [1/2,1]
3. Prouver l’in´egalit´e suivante pour 1/2≤x≤1 :|f0(x)| ≤ 4
9
4. On consid`ere la suite d´efinie par u0= 1 et un+1 =f(un)
a) Montrer que pour tout entier n, un∈[1/2,1]
b) Prouver alors :∀n∈N,|un+1 −r2| ≤ 4
9|un−r2|puis ∀n∈N,|un−r2| ≤ 4 9n.
c) en d´eduire la convergence de la suite uvers r2.
Partie II R´esolution num´erique de l’´equation x3+x2+x−1=0(0<x<1)
1. Montrer que l’´equation x3+x2+x−1 = 0 poss`ede une unique solution sur ]0,1[ que l’on notera r3.
2. On introduit alors la fonction f(x) = 1
x2+x+1 ainsi que la suite (un) d´efinie par u0= 1 et pour tout n∈N,
un+1 =f(un). On admet que par un proc´ed´e analogue `a la partie I, on a le r´esultat suivant :
∀n∈N,|un−r3| ≤ kno`u k=135
169 .
Ecrire un programme en scilab qui fournit une valeur approch´ee `a 10−3pr`es de r3.
Partie III
On d´esigne par Nun nombre entier sup´erieur `a 1 et par aun nombre r´eel strictement positif. On note fNla
fonction polynˆome d´efinie par fN(x) = xN+xN−1+· · · +x2+x−a.
1. Montrer que l’´equation fN(x) = 0 poss`ede une racine strictement positive xNet une seule, puis montrer
que celle-ci appartient `a ]0,1[ lorsque N > a
2. Montrer la relation (∗):(x−1) fN(x) = xN+1 −(a+ 1) x+a
3. D´eterminer le signe de fN+1(x)−fN(x) pour x∈]0,1[. En d´eduire la monotonie de la suite (xN).
4. Montrer que la suite (xN) converge vers un nombre x∗appartenant `a [0,1[
5. Montrer que 0 < xN≤xA, puis que 0 <(xN)N≤(xA)Nlorsque N≥Ao`u Aest un entier non nul.
En choisissant A≥a, en d´eduire la limite de la suite xNNlorsque Ntend vers +∞,puis, `a l’aide de la
relation (∗) , exprimer la limite x∗en fonction de a.