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DEVOIR MAISON n˚12
Pour Lundi 2 Mai 2016
PROBLÈME
D’après Concours des Écoles des Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes
Partie I - Étude d’une équation fonctionnelle
On travaille dans un C-espace vectoriel E supposé non réduit au vecteur nul. LpE q désigne l’ensemble
des endomorphismes de E, IdE est l’application identité de E et θ désigne l’application nulle.
Par convention : @f P LpE q, f 0 IdE .
On étudie sur quelques cas particuliers, l’équation : pf IdE q2n IdE θ où f P LpE q est l’inconnue.
1. Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l’équation proposée.
2. En développant p1
1q2n et p1 1q2n montrer que S
égales à 22n1 . (la notation
n
k
n
°
k 0
2n
2k
désigne le coefficient binomial :
et S 1
n°1
k 0
2n
2k 1
sont toutes les deux
n!
k! n k ! .)
pq
3. Si s est une symétrie de E, exprimer ps IdE q IdE en fonction de s et IdE .
En déduire les symétries de E solutions de l’équation proposée.
2n
Partie II - Étude d’une équation matricielle
On travaille dans M3 pCq ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients dans C.
I désigne la matrice identité et O la matrice nulle.
a b b
(
On pose G Ma,b P M3 pCq | pa, bq P C2 où Ma,b désigne la matrice b a b .
b b a
4. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de M3 pCq dont on précisera la dimension et une base.
5. Vérifier que G est stable pour le produit matriciel.
6. (a) Prouver que si a b ou a 2b alors M pa, bq n’est pas inversible.
(b) Si a b ou a 2b, prouver que Ma,b est inversible, que son inverse appartient à G et le calculer.
On cherche à résoudre l’équation matricielle
pq pM
I q2n I
O, avec M , matrice inconnue de G.
pe1, e2, e3q la base canonique de E.
Soient M Ma,b un élément de G tel que b 0, u l’endomorphisme de E canoniquement associé à M
On note E le C-espace vectoriel C3 et B
et
IdE , l’application identité de E.
7. On pose e11
8.
9.
p1, 1, 1q. Calculer upe11q.
Déterminer une base pe12 , e13 q de F kerpu pa bq.IdE q.
Montrer que pe11 , e12 , e13 q est une base de E ; on la note B 1 .
10. Déterminer la matrice D de u dans la base B 1 .
11. On note P la matrice de passage de B à B 1 .
Écrire P et déterminer P 1 en précisant la méthode utilisée et en détaillant les calculs.
12. Exprimer M en fonction de P , D et P 1 .
En déduire une méthode de calcul de M n (n P N ).
pq si et seulement si D est solution de l’équation pq.
Déterminer toutes les matrices D solutions de l’équation pq.
En déduire toutes les solutions de l’équation pq dans G.
13. Montrer que : M est solution de l’équation
14.
15.
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
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PCSI
DEVOIR MAISON n˚12
Pour Lundi 2 Mai 2016
EXERCICE 1 - Calcul des puissances d’une matrice An
0 1 1
1 0 1 .
Soit la matrice A 1 1 0
1. Vérifier que A3 3A 2I3
O3.
2. En déduire que A est inversible et calculer A1 .
3. Déterminer les racines de X 3 3X
2 ainsi que leur multiplicité.
4. Pour n P N, donner le reste de la division euclidienne de X n par X 3 3X
2.
5. En déduire l’expression de la matrice An .
EXERCICE 2 - Travail sur les projecteurs
Soit E un K-e.v. et p , q deux projecteurs de E.
1. Montrer que :
2. Si p
p
q projecteur
ôpq
qp0ôpq
q p 0.
q est un projecteur, montrer que :
Im p ` Im q
Impp
q q et Ker p X Ker q
Kerpp
qq
Pour ceux qui ont des difficultés avec ce genre de questions, vous pourrez traiter l’exercice en supposant
E de dimension finie (et les autres avec E de dimension quelconque).
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