MAT561 – Equation de Schrödinger non linéaire : des condensats de Bose Einstein aux supersolides Feuille d’exercices Janvier 2014. 2 On rappelle certaines identités permettant d’intégrer par parties sur un domaine Ω régulier : Z Z divu = u·n Ω ∂Ω Z Z divuv = − Ω Z u · ∇v + Ω vu · n ∂Ω Cela s’obtient à partir de la précédente en considérant div(uv). De plus si u = ∇w, on a Z Z Z ∆wv = − ∇w · ∇v + v∇w · n Ω Ω ∂Ω 1. Vérifier les calcul des exemples 3.2.7 et 3.2.8 du poly. 2. Montrer que l’application f = k.k2 est dérivable sur Rn \0 et que f 0 (a)·h = PN i=1 ai hi . kak2 Monter que l’application f = k.k∞ est dérivable en a si et seulement si il existe un indice i0 tel que |ai0 | > |ai | pour tout i différent de i0 . 3. Trouver les extrema relatifs de la fonction J(x1 , x2 ) = x22 sur l’ensemble x21 + x22 = 1, et de la fonction J(x1 , x2 ) = x1 + (x2 − 1)2 sur l’ensemble x21 = 1. 4. Convergence faible (i) Soit u une fonction C ∞ (R) à support compact. Montrer que un (x) = u(x−n) converge vers 0 faiblement mais pas fortement. ∞ √ (ii) Soit u une fonction C (R) à support compact. Montrer que un (x) = nu(nx) converge vers 0 faiblement mais pas fortement. (iii) Soit u une fonction 1 périodiqueR non constante et un (x) = u(nx). 1 Montrer que u converge faiblement vers 0 u(s) ds, mais pas fortement. 5. Théorème du viriel et identité de Pohozaev— Soit u un minimiseur de Z 1 1 E(u) = |∇u|2 + V (x)|u|2 + F (u) 2 2 1 sous R |u|2 = 1 et µ le multiplicateur de Lagrange, c’est à dire −∆u + V (x)u + F 0 (u) = µu. (1) On suppose que le problème est posé sur RN , soit sur l’espace tout entier, soit sur un domaine borné avec u = 0 sur le bord. On suppose que F (0) = 0. On veut montrer que Z 1 N (N − 2) |∇u|2 + (x · ∇V (x) + N V (x))|u|2 − µ |u|2 + N F (u) = 0 (2) 2 2 2 1 Pour cela, on considere u(x) = λN/2 uλ ( λx ) et g(λ) = E(u). Calculer g 0 (λ) et 0 déduire (2) de g (1) = 0 et de l’équation. De manière rigoureuse, il n’est pas forcément facile de prouver que g est dérivable, c’est à dire que uλ décrit une courbe C 1 dans H 1 . On peut prouver ce théorème d’une autre manière. (i) On considère l’équation (1) vérifiée par u, on la multiplie par x · ∇u et on intègre les termes par partie. Montrer que Z Z Nµ 2 |u|2 +N F (u)− |u| (V (x)u+f (u)−µu)x·∇u = − (N V (x)+x·∇V ) 2 2 Ω Ω où F est une primitive de f . Montrer ensuite que Z Z Z − ∆ux · ∇u = ∇u · ∇(x · ∇u) − Ω Ω |∇u|2 x · n ∂Ω et enfin que Z Z Z (N − 2) 1 2 ∇u · ∇(x · ∇u) = − |∇u| + x · n|∇u|2 2 2 Ω Ω ∂Ω Ceci permet de déduire (2), appelée aussi identité de Pohozaev (avec un terme de bord dans un domaine borné). (ii) Ecrire cette identité dans le cas V = 0 sur RN et utiliser (1) multipliée par u pour en déduire que Z Z 1 2 − |∇u| + N (F (u) − uF 0 (u)) = 0 2 retrouver que pour F (u) = u4 , il n’y a pas d’autre solution que la solution nulle. (iii) Si µ = 0, on voit que en dimension N , seul l’exposant p = (2N )/(N − 2) permet d’avoir des solutions de l’équation avec F (u) = up . 2