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PSI DEVOIR SURVEILL´ E N˚4 Samedi 12 Janvier 2012
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e
et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’ap-
pr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne
seront pas pris en compte.
Si un candidat est amener `a rep´erer ce qui peut lui sembler comme une erreur
d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Exercice 1 (Questions de cours - Dur´ee conseill´ee : 15 min).
Soit (E, k k) un espace vectoriel norm´e.
1. Rappeler la d´efinition d’une norme.
2. Rappeler la d´efinition d’une suite de Cauchy.
3. Que peut-on dire en dimension finie de deux normes ? d’une application lin´eaire ?
bilin´eaire ? d’une suite de Cauchy ?
4. (a) D´efinir la boule ferm´ee de centre aet de rayon r, not´ee BF(a, r).
(b) D´emontrer que l’application norme x7→ kxkest continue sur (E, k k).
(c) En d´eduire que la boule BF(a, r) est ferm´ee.
Exercice 2 (´ Equation diff´erentielle - Dur´ee conseill´ee : 25 min).
On note (E) l’´equation diff´erentielle d´efinie sur Rpar :
xy00 −(1 + x)y0+y=x2
et (H) l’´equation homog`ene associ´ee :
xy00 −(1 + x)y0+y= 0
1. D´eterminer une solution particuli`ere de (E) de la forme monomiale (x7→ axα).
2. V´erifier que x7→ exest solution de (H).
3. R´esoudre alors (H).
4. Donner l’ensemble des solutions de (E).
5. Existe-t-il des solutions d´efinies sur R?
Lyc´ee de l’Essouriau 1

PSI DEVOIR SURVEILL´ E N˚4 Samedi 12 Janvier 2012
Probl`eme 1 (E3A - 2004 - Dur´ee conseill´ee : 1h30).
Notations.
Dans tout le probl`eme, Rd´esigne le corps des r´eels, El’espace vectoriel des fonctions
continues, d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dans R,Fl’espace vectoriel des fonctions de
classe C1, d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dans R.
Pour tout f∈E, on note kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|et on rappelle que l’on d´efinit ainsi une
norme sur E.
Si gest une application kfois d´erivable sur [0,1], g(k)d´esigne la d´eriv´ee k-i`eme de g.
Pr´eliminaires.
Soit n∈N∗et uune fonction de classe Cnsur [0,1].
On suppose que : ∀k∈ {0, . . ., n −1}, u(k)(0) = 0.
Prouver que : ∀x∈[0,1] , u(x) = Zx
0
(x−t)n−1
(n−1)! u(n)(t) d t.
Partie I : Pour g∈Fdonn´ee, recherche de f∈Fv´erifiant la relation :
(S) : ∀x∈[0,1] , f(x)−Zx
0
f(t) d t=g(x).
Question 1.
1. Montrer l’´equivalence :
f∈Fest solution de (S)⇔(∀x∈[0,1] , f0(x)−f(x) = g0(x) et f(0) = g(0))
On note (*) l’´equation diff´erentielle y0−y=g0(x).
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle (*).
Question 2. Prouver que (S) poss`ede dans Fune unique solution fd´efinie par :
∀x∈[0,1] , f(x) = g(x) + Zx
0
ex−tg(t) d t.
Question 3 : Application.
D´eterminer la solution fde (S) lorsque gest la fonction x∈[0,1] 7→ cos (x).
Partie II : Quelques propri´et´es de la fonction T:f∈E7→ T(f)d´efinie par :
∀x∈[0,1] , T (f)(x) = Zx
0
f(t) d t.
On d´efinit l’application Tqui `a f∈Eassocie l’application T(f), d´efinie sur [0,1] par :
∀x∈[0,1] , T (f)(x) = Zx
0
f(t) d t.
Pour tout n∈N∗, on note Tn=T◦Tn−1, sachant que T0=IE(application identit´e de
E). Lorsque Uest un endomorphisme continu de E, on d´esigne par |kUk| le r´eel positif :
|kUk| = sup
kfk∞61
kU(f)k∞.
Question 1.
1. Montrer que Test un endomorphisme de E.
2. Pr´eciser Ker(T) et Im(T).
3. Quel est l’ensemble des valeurs propres de T?
Question 2.
1. Montrer que ∀x∈[0,1] ,|T(f)(x)|6kfk∞.
En d´eduire que Test une application continue de (E, k k∞) dans (E, k k∞).
2. Prouver que |kTk| 61.
3. On consid`ere f0:x∈[0,1] 7→ f0(x) = 1. Que vaut kT(f0)k∞?
4. Calculer |kTk|.
Question 3. Soit n∈N∗.
1. Montrer que Tn(f) est de classe Cnsur [0,1].
2. Prouver que pour tout entier naturel k∈ {0, . . ., n −1}, (Tn(f))(k)=Tn−k(f).
3. Que vaut (Tn(f))(n)? (Tn(f))(k)(0) pour k∈ {0, . . ., n −1}?
4. Montrer alors que : ∀x∈[0,1] ,(Tn(f)) (x) = Zx
0
(x−t)n−1
(n−1)! f(t) d t.
5. Pr´eciser Ker(Tn) et Im(Tn).
6. Prouver que Tnest un endomorphisme continu de (E, k k∞).
7. En utilisant la fonction f0d´efinie `a la question 2., prouver que : |kTnk| =1
n!.
8. En d´eduire que : ∀f∈E, ∀x∈[0,1] ,lim
n→+∞Tn(f)(x) = 0. Pr´eciser lim n→+∞Tn.
Lyc´ee de l’Essouriau 2

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Probl`eme 2 (CCP - 2012 - Dur´ee conseill´ee : 1h45).
Notations.
On d´esigne par Rl’ensemble des nombres r´eels et par Ccelui des nombres complexes.
Dans tout le probl`eme, on note nun entier naturel non nul et on d´esigne par Kl’un
des ensembles Rou C.
On note Mn(K) (resp. Mn,1(K)) le K-espace vectoriel des matrices carr´ees `a nlignes
(respectivement des matices colonnes `a nlignes) `a coefficients dans K. La notation
A= (ai,j ) signifie que ai,j est le coefficient de la ligne iet de la colonne jde la matrice
A. Lorsque A∈ Mn(K) est inversible, on note A−1sa matrice inverse.
Soient Iun intervalle de Ret Fun espace vectoriel de matrices `a coefficients dans
K. Une application A:I→Fest continue (respectivement d´erivable), lorsque
pour td´ecrivant I, les coefficients de la matrice A(t) sont des fonctions continues
(respectivement d´erivables) de Idans K. On dira en abr´eg´e que Aest une matrice
continue (respectivement d´erivable) sur Iet on notera A(t)=(ai,j (t)) pour tout tdans
I. Lorsque cette matrice est d´erivable, on note A0(t)=(a0
i,j (t)) la matrice d´eriv´ee.
Pour deux matrices d´erivables M(t) et N(t) dont le produit existe, on admettra la
formule (M N)0(t) = M0(t)N(t) + M(t)N0(t).
Equations diff´erentielles matricielles.
Soit Iun intervalle de R, soient Aune matrice carr´ees d’ordre ncontinue sur Iet B
une matrice colonne `a nlignes continues sur I, les coefficients des matrices Aet B
´etant des fonctions `a valeurs dans K.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) : X0(t) = A(t)X(t) + B(t) o`u les solutions
X(t) sont des matrices colonnes `a nlignes d´erivables sur I, dont les coefficients sont
des fonctions `a valeurs dans K.
On note (E0) : X0(t) = A(t)X(t) l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee.
On dira que (E) et (E0) sont des ´equations diff´erentielles matricielles. On note S0
l’ensemble des solutions de (E0). On rappelle que :
-S0est un K-espace vectoriel de dimension n;
- les solutions de (E) s’obtiennent en ajoutant `a l’ensemble S0une solution parti-
culi`ere de (E) ;
- pour tout t0de Iet pour toute matrice Vde Mn,1(K), il existe une solution et
une seule Xde (E) sur Iv´erifiant X(t0) = V(existence et unicit´e de la solution
sur Idu probl`eme de Cauchy).
On appelle syst`eme fondamental de solutions de (E0), toute base (X1, . . . , Xn) de S0.
On note W(t) = (X1(t), . . . , Xn(t)) la matrice carr´ee d’ordre ndont les Xj(t) sont les
colonnes et on dit que W(t) est la matrice wronskienne de ce syst`eme fondamental de
solutions de (E0).
Objectifs.
Dans la premi`ere partie, il faut r´esoudre un exemple d’´equation diff´erentielle matricielle
`a coefficients constants.
Dans la deuxi`eme partie, on traite le cas g´en´eral de l’´equation diff´erentielle matricielle
(E) en d´efinissant la matrice r´esolvante de (E0).
Cas d’une matrice `a coefficients constants.
On consid`ere les ´equations diff´erentielles :
(E) : X0(t) = AX(t) + B(t) et (E0) : X0(t) = AX(t)
o`u Ad´esigne une matrice `a coefficients constants appartenant `a Mn(K). On suppose
que I=R.
1.1 Soient Vun vecteur non nul de Mn,1(K) et λun ´el´ement de K. Montrer que
la matrice X(t) = eλtVest une solution de (E0) si et seulement si Vest vecteur
propre de Aassoci´e `a la valeur propre λ.
1.2 Un exemple.
On suppose n= 4, A=
0−1 1 −1
0200
0110
1−1 1 0
et B(t) = 
tet
et
0
−tet
.
1.2.1 On suppose K=Cet on consid`ere l’´equation diff´erentielle (E0). D´eterminer
les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice A. En d´eduire un
syst`eme fondamental de solutions, puis la solution g´en´erale complexe de (E0)
sur l’intervalle I=R.
1.2.2 On suppose K=Ret on consid`ere l’´equation diff´erentielle :
(E) : X0(t) = AX(t) + B(t).
On note X(t) = 
x1(t)
x2(t)
x3(t)
x4(t)
.
Ecrire le syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires scalaires v´erifi´e par les
quatre fonctions xk(t).
D´eterminer la solution g´en´erale r´eelle de (E) sur l’intervalle I=R(on pourra
d´eterminer successivement x2(t) puis x3(t) puis x1(t) puis x4(t)).
Pr´eciser la solution Xde (E) telle que X(0) = 
−1
−1
−1
0
.
Lyc´ee de l’Essouriau 3

PSI DEVOIR SURVEILL´ E N˚4 Samedi 12 Janvier 2012
Matrice r´esolvante.
On reprend le cas g´en´eral d’une ´equation diff´erentielle (E) : X0(t) = A(t)X(t) + B(t)
d´efinie dans la partie notations. On prendra Iun intervalle de R,t∈Iet K=Rou C.
On note S0l’espace vectoriel de dimension ndes solutions de l’´equation diff´erentielle
lin´eaire homog`ene (E0) associ´ee.
Pour t0∈Idonn´e, on note Φt0l’application de S0dans Mn,1(K) d´efinie par :
∀X∈S0,Φt0(X) = X(t0)
D’apr`es le rappel sur le probl`eme de Cauchy, l’aplication Φt0est un isomorphisme de
S0sur Mn,1(K).
Soit X1, . . . , Xnun syst`eme fondamental de solutions de (E0).
2.1 Soient t0et tdans I. Soit V∈ Mn,1(K) et soit X∈S0la solution de (E0) telle
que X(t0) = V. Justifier l’´egalit´e Φt◦Φ−1
t0(V) = X(t).
2.2 On rapporte l’espace vectoriel S0`a la base (X1, . . . , Xn) et l’espace vectoriel
Mn,1(K) `a sa base canonique (C1, . . . , Cn).
2.2.1 Soit t0∈I. Prouver que la matrice, dans ce couple de bases, de l’application
lin´eaire Φt0de S0dans Mn,1(K) est la matrice wronskienne
W(t0)=(X1(t0), . . . , Xn(t0))
2.2.2 Soient t0et tdans I. On note R(t, t0) = W(t)W(t0)−1. Prouver que la ma-
trice R(t, t0) ne d´epend pas du syst`eme fondamental (X1, . . . , Xn) de solutions
choisi.
La matrice R(t, t0)s’appelle la r´esolvante de l’´equation diff´erentielle li-
n´eaire (E0).
2.3 Propri´et´es de la r´esolvante.
Soient t, t0, t1et t2dans I.
2.3.1 Pour simplifier, on note R0(t, t0) la d´eriv´ee par rapport `a tde la matrice
R(t, t0). Montrer que R0(t, t0) = A(t)R(t, t0).
En d´eduire que, pour tout V∈ Mn,1(K), la matrice X(t) = R(t, t0)Vest la
solution de (E0) telle que X(t0) = V.
2.3.2 Montrer que R(t2, t1)R(t1, t0) = R(t2, t0).
En d´eduire que R(t, t0)−1=R(t0, t).
2.4 Application de la r´esolvante : recherche d’une solution particuli`ere de
(E).
Soient tet t0dans I. On cherche une solution particuli`ere de (E) sous la forme
X(t) = R(t, t0)V(t)
o`u V:I→ Mn,1(K) est une application d´erivable `a d´eterminer.
2.4.1 On suppose dans cette question et la suivante que X(t) = R(t, t0)V(t) est
une solution de (E). Montrer que
R(t, t0)V0(t) = B(t)
2.4.2 En d´eduire que V(t) = X(t0) + Rt
t0R(t0, u)B(u)du.
2.4.3 Montrer que Y(t) = Rt
t0R(t, u)B(u)du est une solution particuli`ere de (E).
Lyc´ee de l’Essouriau 4