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INFORMATIQUE PSI - TD N˚11 - LA DERNI` ERE S´ EANCE
Le but de ce TD est d’employer Maple ... une derni`ere fois...
Exercice 1 (ENSAM 1999 PSI).
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Etant donn´e un entier naturel a, on appelle diviseur propre de atout diviseur
de adiff´erent de a. Deux entiers naturels diff´erents de z´ero sont dit amiables si
chacun d’eux est ´egal `a la somme des diviseurs propres de l’autre.
´
Ecrire un algorithme qui d´eterminer tous les couples d’entiers amiables inf´e-
rieurs ou ´egaux `a 1500.
On pourra se servir de la fonction Maple irem.
Exercice 2 (ENSAM 1998 PSI).
Dans un rep`ere orthonorm´e, on consid`ere les 4 points :
A1,2,3B2,4,5C0,1,6D1,0,7
Trouver le centre et le rayon de la sph`ere passant par ces 4 points.
Exercice 3 (Mines PSI).
D´eterminer les polynˆomes Pde degr´e 5 au plus, tels que X13divise P X 1
et X13divise P X 1.
Exercice 4. On consid`ere l’ensemble εndes matrices MMnRsans valeurs
propres r´eelles v´erifiant :
tM M2
1. (a) Lorsque n2, d´eterminer l’aide du logiciel de calcul formel l’ensemble
ε2, v´erifier qu’il est constitu´e de deux matrices m1et M2.
(b) Retrouver ce r´esultat par le calcul.
(c) Montrer qu’il existe une matrice PO2Rtelle que
tP M1P M2
2. Montrer que l’ensemble ε3est vide.
3. Montrer `a l’aide du logiciel de calcul formel que la matrice :
A1
2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
appartient `a ε4.
4. (a) Montrer que tout endomorphisme ud’un R-espace vectoriel de dimen-
sion finie n2 sans valeurs propres r´eelles, admet au moins un plan
stable.
(b) Soient Eun espace vectoriel euclidien et Fun sous-espace vectoriel
stable par un endomorphisme udont l’adjoint v´erifie u u2. Montrer
que l’orthogonal de Fest aussi stable par u.
(c) Montrer, lorsque n4, que pour toute matrice M ε4, il existe
PO4Rtelle que :
tP M1P
1 2 3 2 0 0
3 2 1 2 0 0
0 0 1 2 3 2
0 0 3 2 1 2
(d) Exprimer une telle matrice Ppour la matrice Ade la question 3. et
v´erifier avec le logiciel.
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 1 2013-2014