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INFORMATIQUE PSI - TD N˚11 - LA DERNIÈRE SÉANCE
Exercice 4. On considère l’ensemble εn des matrices M
Le but de ce TD est d’employer Maple ... une dernière fois...
propres réelles vérifiant :
t
M
P MnpRq sans valeurs
M2
1. (a) Lorsque n 2, déterminer l’aide du logiciel de calcul formel l’ensemble
ε2 , vérifier qu’il est constitué de deux matrices m1 et M2 .
Exercice 1 (ENSAM 1999 PSI).
Étant donné un entier naturel a, on appelle diviseur propre de a tout diviseur
de a différent de a. Deux entiers naturels différents de zéro sont dit amiables si
chacun d’eux est égal à la somme des diviseurs propres de l’autre.
Écrire un algorithme qui déterminer tous les couples d’entiers amiables inférieurs ou égaux à 1500.
On pourra se servir de la fonction Maple irem.
(b) Retrouver ce résultat par le calcul.
P O2pRq telle que
t
P M1 P M2
(c) Montrer qu’il existe une matrice P
2. Montrer que l’ensemble ε3 est vide.
3. Montrer à l’aide du logiciel de calcul formel que la matrice :
1 1 1
1 1 1 1
A 2 1 1 1
Exercice 2 (ENSAM 1998 PSI).
1
1
1
1 1 1 1
Dans un repère orthonormé, on considère les 4 points :
Ap1, 2, 3q
B p2, 4, 5q
C p0, 1, 6q
Dp1, 0, 7q
Trouver le centre et le rayon de la sphère passant par ces 4 points.
appartient à ε4 .
4. (a) Montrer que tout endomorphisme u d’un R-espace vectoriel de dimension finie n ¤ 2 sans valeurs propres réelles, admet au moins un plan
stable.
Exercice 3 (Mines PSI).
Déterminer les polynômes P de degré 5 au plus, tels que pX 1q3 divise P pX q 1
et pX 1q3 divise P pX q 1.
(b) Soient E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel
stable par un endomorphisme u dont l’adjoint vérifie u u2 . Montrer
que l’orthogonal de F est aussi stable par u.
(c) Montrer, lorsque n 4, que pour toute matrice M
P P O4 pRq telle que :
1{2 ?3{2
?
3{2 1{2
t
P M1 P 0
0
0
0
0
0
?1{2
3{2
P
0
?0
3{2
1{2
ε4 , il existe
(d) Exprimer une telle matrice P pour la matrice A de la question 3. et
vérifier avec le logiciel.
PSI - Lycée de l’Essouriau
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2013-2014