Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans

Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans les
preuves mathématiques. Il faut les reconnaître.
Par exemple :
(P↔Q)⇔((P→Q)∧(Q→P)) ;
(P→Q)⇔(¬Q→ ¬P)⇔(¬P∨Q).
(Sont déjà montrés.)
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Soient Pet Qdeux proposition logiques en mathématiques.
Supposons on veut montrer :
Théorème
P→Q.
C.-à-d., on veut montrer que cette proposition logique P→Qest
vraie (preuve directe).
À cause de l’équivalence avant, il suffit de montrer que
l’implication (¬Q→ ¬P)est vraie (preuve indirecte), ou que la
proposition (¬P∨Q)est vraie.
Donc il y a logiquement trois façons de montrer le théorème.
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Exemple.
Soit donné un nombre n∈Z.
Il faut montrer :
S’il existe un nombre m∈Ztel que n=m2alors n≥0.
Il y a trois façons !
(Ce qui a été fait au tableau noir en classe.)
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Exemple.
Soit donné un nombre n∈Z.
Il faut montrer :
Si nest premier et n>2 alors nest impair.
Il y a trois façons.
(Ce qui a été fait au tableau noir en classe.)
MAT1500 4 of 51

Preuve directe typique :
Si Pest fausse, l’implication P→Qest automatiquement vraie et
il y aura rien à faire (Cette phrase est souvent omise).
Supposons Pest vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide
des théorèmes déjà montrés), on montre que Qserait en
conséquence aussi vraie.
Ainsi on aura montré que P→Qest vraie.
En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut
montrer que la proposition logique Pest vraie."
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