PGCD – PPCM – Théorèmes de BEZOUT et GAUSS
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PGCD – PPCM – THEOREMES DE BEZOUT ET GAUSS
I) PGCD (rappels)
1) Définition
DEFINITION
L’ensemble D existe-t-il ?
L’ensemble des diviseurs communs à et est un ensemble fini comme intersection de deux ensembles finis. De plus, 1
divise et donc l’ensemble des diviseurs communs à et est non vide. Or tout ensemble fini non vide admet un plus
grand élément donc D existe.
EXEMPLES
PROPRIETES
EXEMPLE
Le PGCD de 420 et 540 revient à chercher le PGCD de 21 et 27.
En effet : et
Or : donc
2) Nombres premiers entre eux
DEFINITION
Par exemple, 15 et 8 sont premiers entre eux puisque .
ATTENTION : il ne faut pas confondre des nombres premiers entre eux et des nombres premiers. 15 et 8 ne sont pas
premiers et pourtant ils sont premiers entre eux. Par contre, deux nombres premiers distincts sont nécessairement
premiers entre eux.
3) Algorithme d’Euclide
EXEMPLE (rappels)
Calculer le .
On effectue les divisions euclidiennes suivantes :
Soit et deux entiers relatifs non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à et admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur.
On note .
Si divise alors .
Pour tout entier naturel non nul, on a : .
On dit que et sont premiers entre eux si et seulement si .
Le est le dernier reste non nul soit
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REMARQUE : LE PETIT NOMBRE D’ETAPES MONTRE LA PERFORMANCE DE CET ALGORITHME.
THEOREME
DEMONSTRATION
Lorsque vous étiez en 3ème, vous vous êtes bien sûr tous demandés pourquoi cet algorithme fonctionnait à chaque fois…
Heureusement, maintenant, nous allons pouvoir le démontrer…
ALGORITHME
Voici un algorithme qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres.
II) PPCM : PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE
DEFINITION
Soient et deux entiers naturels non nuls tels que ne divise pas .
La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s’arrêter. Le dernier reste non nul est alors le
.
On a alors .
Soient et deux entiers relatifs non nuls.
L’ensemble des multiples strictement positifs communs à et admet un plus petit élément M, appelé plus petit
commun multiple.
On le note : .
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L’ensemble des multiples strictement positifs à et n’est pas vide : en effet le produit est un multiple positif de
et . Toute partie non vide de , admet un plus petit élément, donc M existe.
EXEMPLE
Pour additionner deux fractions, on recherche le dénominateur commun le plus petit, qui n’est autre que le
PPCM.
PROPRIETES
III) THEOREME DE BÉZOUT
1) Egalité de BÉZOUT
THEOREME
DEMONSTRATION
CONSEQUENCE : Tout diviseur commun à et divise leur PGCD.
2) Théorème de BÉZOUT
THEOREME
DEMONSTRATION - ROC -
Dans le sens « » : Immédiat grâce à l’égalité de Bézout.
Dans le sens « » : réciproquement.
On suppose qu’il existe deux entiers et tels que .
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EXEMPLES
a) Montrer que et sont premiers entre eux pour tout .
b) Montrer que et sont premiers entre eux puis déterminer un couple tel que .
Si divise alors .
Si et sont premiers entre eux alors .
On a .
Soient et deux entiers non nuls, et .
Il existe alors un couple d’entiers relatifs tels que :
Deux entiers relatifs et sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe deux entiers relatifs et tels que :
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AUTRE EXEMPLE
Montrer que et sont premiers entre eux puis déterminer un couple tel que .
3) Corollaire de BÉZOUT
THEOREME
DEMONSTRATION
Dans le sens « » :
admet une solution .
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Dans le sens « » : réciproquement
est un multiple de .
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EXEMPLES
L’équation admet des solutions car et 2 est un multiple de 1.
L’équation n’admet pas de solution car et 2 non multiple de 3.
IV) THEOREME DE GAUSS
1) Théorème
THEOREME
DEMONSTRATION ROC
Si divise le produit , alors il existe un entier tel que .
Si et sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers et tels que :
En multipliant par , on a : or , donc :
Donc c.
L’équation admet des solutions entières si et seulement si est un multiple du .
Soient trois entiers relatifs non nuls.
Si divise le produit et si et sont premiers entre eux alors divise .
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EXEMPLE
Trouver les solutions dans de l’équation .
2) Corollaire du théorème de GAUSS
THEOREME
DEMONSTRATION ROC
Si et divise alors il existe et entiers relatifs tels que :
et donc
divise or donc d’après le théorème de GAUSS divise donc
D’où
Donc divise .
EXEMPLE : Si 5 et 12 divise , comme 5 et 12 sont premiers entre eux, divise .
3) Propriétés
Ces propriétés découlent du théorème de Bézout et de Gauss.
PROPRIETES
EXERCICES DIVERS
1) Méthode : Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences
Déterminer le reste de la division de 2456 par 5 et de 2437 par 7.
2) Méthode : Résoudre une équation avec des congruences
Déterminer les entiers x tels que
6x5 3
puis les entiers x tels que
3x5 4
3) Méthode : Démontrer que deux entiers sont premiers entre eux
Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux.
4) Méthode : Résoudre une équation du type ax + by = c
Déterminer les entiers x et y tels que
5x7y1
puis les entiers x et y tels que
5x7y12
.
Si et divisent et si et sont premiers entre eux alors divise .
Soient et deux entiers non nuls, leur et leur .
Il existe deux entiers et premiers entre eux tels que : et .
On a les relations suivantes : et .
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/
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