théorème de Gauss

THÉORÈME DE GAUSS
Propriété : théorème de Gauss
Soit a, b et c trois nombres entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.
dém :
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. On
multiplie les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c. Or a divise acu et a divise bc
par hypothèse, donc a divise bcv ; on en déduit que a divise acu + bcv, c’est-à-dire c.
Exemple :
Soit a et b deux entiers tels que 3a = 4b. 4 divise le produit 3a, les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux donc
4 divise a.
Corollaires :
1) Si un entier n est divisible par des entiers a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur
produit ab.
2) Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b.
dém :
1) Comme n divisible par a et b, il existe deux entiers k et k’ tels que : n = ka = k’b. Cette égalité
montre que a divise k’b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que a
divise k’, donc il existe un entier q tels que k’ = qa. On en déduit : n = qab, donc n est divisible par
ab.
2) Soit p un nombre premier divisant le produit ab. Si p divise a, la conclusion est assurée. Si p ne divise
pas a, alors p et a sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d’après le théorème
de Gauss.
Exemple :
Soit n un entier. L’entier A = 5n(5n + 1) est divisible par 10, car il est divisible par 2 et par 5, avec 2 et 5
premiers entre eux.