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Comportement asymptotique des fonctions
Table des matières
I Exemple introductif 1
II Limite infinie en un réel a1
II-1 Limites usuelles ................................................ 3
II-2 Asymptote verticale .............................................. 3
III Limite finie à l’infini 4
III-1 Limites usuelles ................................................ 5
III-2 Asymptote horizontale ............................................ 5
IV Limite infinie à l’infini 5
IV-1 Définition ................................................... 5
IV-2 Asymptote oblique .............................................. 6
V Limites et opérations algébriques 6
VI Comment lever une indétermination ? 8
VI-1 Utilisation de la forme conjuguée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI-2 Limite d’un polynôme à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI-3 Limite d’une fraction rationnelle à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI-4 Utilisation de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I Exemple introductif
Soit fla fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x)=1
x.
•Quels sont les nombres xtels que f(x)Ê10 ?
•Quels sont les nombres xtels que f(x)Ê109?
•Soit M>0. Quels sont les nombres xtels que f(x)ÊM?
On constate que f(x) peut prendre des valeurs aussi
grandes que l’on veut ; on dit que f(x) tend vers +∞, pour
xsuffisamment proche de 0. O−→
i
−→
j
Cf
M
1

II Limite infinie en un réel a
aest un nombre réel, borne d’un intervalle ouvert contenu dans l’ensemble de défintion Dfd’une fonc-
tion et fn’est pas définie en a.
Définition
f(x) tend vers +∞ lorsque xtend vers un reél asignifie que f(x) peut prendre des valeurs aussi grandes
que l’on veut, dès que xest suffisamment proche de a.
On écrit : lim
x→af(x)=+∞.
Traduction mathématique : ∀M>0, ∃α>0 / x∈]a−α;a+α[⇒f(x)ÊM
On définit de même « f(x) tend vers −∞lorsque xtend vers a»en appliquant la définition précédente à −f(x) :
f(x) tend vers −∞ si −f(x) tend vers +∞.
Écriture : on écrit : lim
x→af(x)=−∞.
Exemples :
1. f(x)=1
x2au voisinage de 0 : lim
x→0
1
x2=+∞
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4−1−2−3−4−5f
2. f(x)=1
xau voisinage de 0 : lim
x→0
x<0µ1
x¶=−∞ et lim
x→0
x>0µ1
x¶=+∞ Le graphique est l’hyperbole habituelle.
Ainsi peut-on être amené à distinguer limite à gauche et limite à droite.
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II-1 Limites usuelles
Propriété
a) Les fonctions x7→ 1
px,x7→ 1
x2,x7→ 1 x2n(n entier positif) ont pour limite +∞ en 0.
b) Les fonctions x7→ 1
x,x7→ 1 x3,x7→ 1 x2n+1(n entier positif) ont pour limite −∞ à gauche en 0 et +∞ à
droite en 0.
II-2 Asymptote verticale
Définition
Lorsque lim
x→a
x<a
f(x)= −∞ ou lim
x→a
x>a
f(x)= −∞ ou lim
x→a
x<a
f(x)= +∞ ou lim
x→a
x>a
f(x)= +∞, on dit que la droite
d’équation x=aest asymptote à la courbe Cf.
Exemple :
Soit fla fonction définie sur R\ {2} par : f(x)=1
(x−2)2.
lim
x→2f(x)=+∞ donc la droite d’équation x=2 est asymptote à la courbe Cf.
1
2
3
4
5
6
7
123456−1−2
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Remarque
Il ne suffit pas que fne soit pas définie en a!
Par exemple, la fonction fdéfnie par f(x)=x2−1
x−1n’est pas définie en 1, mais lim
x→1f(x)=2 donc il n’y
pas d’asymptote verticale en 1.
III Limite finie à l’infini
Définition
f(x) tend vers ℓlorsque xtend vers +∞ signifie que f(x) peut prendre des valeurs aussi proches de ℓ
que l’on veut, dès que xest suffisamment grand.
On écrit : lim
x→+∞ f(x)=ℓ.
Traduction mathématique : ∀α>0, ∃M>0 / x>M⇒f(x)∈]ℓ−α;ℓ+α[
On définit de même « f(x) tend vers ℓlorsque xtend vers −∞ » en appliquant la définition précédente à
−f(x).
Écriture : on écrit : lim
x→+∞ f(x)=ℓ.
Graphiquement, cela signifie que Cfest entièrement dans la bande centrée sur ℓet de largeur 2α(α>0
quelconque), pour xsuffisamment grand. (voir exemple ci-dessous)
Illustration graphique :
Soit fla fonction définie par : f(x)=3+3sin(4x)
x. On a : lim
x→+∞ f(x)=3.
2
4
6
8
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28−2O−→
i
−→
j
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III-1 Limites usuelles
Propriétés
lim
x→+∞
1
px=0 ; lim
x→+∞
1
x=0 et lim
x→+∞
1
xn=0 (nentier naturel positif).
III-2 Asymptote horizontale
Définition
Lorsque lim
x→+∞ f(x)=ℓou lim x→−∞ f(x)=ℓ, on dit que la droite d’équation y=ℓest asymptote à la courbe
Cfau voisinage de +∞ ou au voisinage de −∞.
IV Limite infinie à l’infini
IV-1 Définition
Définition
On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque f(x) tende vers +∞ si f(x) peut prendre des valeurs aussi grandes
que l’on veut pour xsuffisamment grand.
Exemple : f(x)=x2dont la courbe est la parabole (étudiée en seconde).
O−→
i
−→
j
fM
Traduction mathématique :
∀M>0, ∃A>0 / x>A⇒f(x)ÊM.
Remarque : on peut étendre facilement cette définition à une limite égale à −∞ au voisinage de +∞ ou à
une limité égale à −∞ au voisinage de −∞ ou de +∞ (en appliquant la définition précédente à −f(x) et/ou
avec −x).
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