Récap statistiques usuelles

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Tableau des
Définitions:
N: Taille de la population
n: Taille de l'échantillon
x
i:
i-ème
observation de la varia
n
i
: Effectif associé à la i-
ème valeur de la variable
f
i:
Fréquence associée
à la i
X
i:
i-ème
observation de la varia
p
i
: probabilité de la i-
ème observation de la variable
Moyenne:
- dans l'échantillon n: x
̄ ,
- dans la population N: µ ;
Ou en proba: espérance
E(X)
Variance σ
2
et écart-type
σ
(quand la population N est
de
petite taille )
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- Pas d’Utilisation Commerciale 4.0
International
Tableau des
statistiques les plus utilisées
(MAT2080, FIN3500, etc.)
observation de la varia
ble X dans l'échantillon
ème valeur de la variable
à la i
-ème valeur de la variable f
i
= n
i
/ n ; 0 ≤ f
i
≤ 1
observation de la varia
ble X dans la population
ème observation de la variable
0 ≤ p
i
≤ 1
Série de données
[univers équipondéré]
Distribution
[univers probabiliste]
1. x
̄ = Σ x
i
/ n
2. µ = Σ X
i
/ N
La moyenne est la somme
des observations divisée par n
(N)
1.
2.
3.
E(X)
La moyenne est la somme
pondérée
σ
de
1. σ
2
= Σ (x
i -
x
̄)
2
/ N
2. σ = √ σ
2
La variance est la somme des
écarts à la moyenne au carré
divisée par N
L'écart-type est égal à la
racine carrée de la variance
(la variance est égale au carré
de l'écart-type)
1. σ
2
2.
En proba:
1.
Var(X)
2.
σ
La variance est la somme
pondérée
Creative
Commons
International
.
statistiques les plus utilisées
Distribution
[univers probabiliste]
1.
x
̄ = Σ (xi.fi)
2.
µ = Σ (Xi.fi)
E(X)
= Σ (Xi.pi)
La moyenne est la somme
pondérée
des observations
2
= Σ (xi - x
̄)2.fi
2.
σ = √ σ2
En proba:
Var(X)
= Σ (Xi - E(X))2 . pi
σ
= √ Var(X)
La variance est la somme
pondérée
des écarts à la

moyenne au carré.
Variance corrigée s
2
et
écart-type corrigé s
(quand on utilise un
échantillon pour estimer la
variance de la population)
s
2
= Σ (x
i -
x
̄ )
2
/ (n-1)
s = √ s
2
La variance corrigée est la somme des écarts à la moyenne au
carré divisée par (n-1)
L'écart-type corrigé est égal à la racine carrée de la variance
corrigée (la variance corrigée est égale au carré de l'écart-type
corrigé)
Modèle de transformation
linéaire
ou régression simple
Y = a + b.X ( ou Y = b
0
+ b
1
.X ou Y = α + β. X )
Y est la variable dépendante et X la variable indépendante
[En finance, le Médaf (ou CAPM): E(Ri) = r
f
+ β.(E(R
m
) - r
f
) est
un modèle de transformation affine]
Covariance σ
xy
(quand la population N est de
petite taille )
σ
xy
= Σ [(x
i -
x
̄). (y
i
- ӯ)] / N
ou
σ
xy
= ρ. σ
x
.σ
y
[cf. corrélation]
La covariance est la somme
des produits des écarts à la
moyenne des variables
divisée par N.
La covariance est égale au
produit de la corrélation et des
écarts-type des variables.
σ
xy
= Σ [(x
i -
x
̄). (y
i
- ӯ)]. f
i
En proba:
Cov(X,Y) = Σ [(x
i -
x
̄). (y
i - ӯ
)].
p
i
La covariance est la somme
pondérée des produits des
écarts à la moyenne des
variables.
Covariance corrigée s
xy
s
xy
= Σ [(x
i -
x
̄). (y
i
- ӯ)] / N
ou
s
xy
= r. s
x
.s
y
[cf. corrélation]
La covariance est la somme des produits des écarts à la
moyenne des variables divisée par N.
La covariance est égale au produit de la corrélation et des
écarts-type des variables.
Corrélation r ou ρ
Dans un échantillon:
r = s
xy
/ s
x
.s
y

Dans la population:
ρ = σ
xy
/ σ
x
.σ
y
La corrélation est le rapport de la covariance (corrigée) entre
les variables et du produit des écarts-type (corrigés) des
variables
Pente b ou β b = s
xy
/ s
x2
ou β = σ
xy
/ σ
x2
La pente est le rapport de la covariance (corrigée) entre les
variables et de la variance (corrigée) de la variable
indépendante (X)
[Dans le Médaf, le bêta est égal à la covariance entre le
rendement du titre et le rendement du marché, divisée par la
variance du rendement du marché]
Modèle de régression à 2
variables
Z = a.X + b.Y
Moyenne ou espérance E(Z) = a.E(X) + b.E(Y)
Variance Var(Z) = a
2
.Var(X) + b2.Var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y)
[En finance, en gestion de portefeuille, vous cherchez à
minimiser votre risque c-a-d l'écart-type de votre portefeuille.
Vous cherchez donc des titres négativement corrélés. En effet,
seule une corrélation négative permet de réduire la variance du
portefeuille (c-a-d rendre la covariance négative)]
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