TD 7

Mathématiques
L3 MIAGE
TD 7
Exercice 1 : La Belle de Fontenay
On suppose que la masse X d’une pomme de terre Belle de Fontenay suit une loi normale de
moyenne µ = 200 g et d’écart-type σ = 70 g. Quelle est la probabilité qu’une pomme de terre :
1.
pèse plus de 250 grammes ?
2.
pèse moins de 180 grammes ?
3.
ait une masse comprise entre 190 et 210 grammes ?
Exercice 2 : Répartition des tailles
La taille d’un homme âgé de 25 ans suit une loi normale de moyenne 175 et d’écart-type 6.
1.
Quel est le pourcentage d’hommes ayant une taille supérieure à 1m85 ?
2.
Parmi les hommes mesurant plus de 1m80, quelle proportion mesure plus de 1m92 ?
Exercice 3 : Quantile et variance
1.
Supposons que X suive une loi normale de moyenne 12 et de variance 4. Trouver la valeur
q telle que P(X > q) = 0, 1.
2.
Soit X ∼ N (5, σ 2 ). Déterminer la variance σ 2 telle que P(X > 9) = 0, 2.
Exercice 4 : Accidents
On considère que, pour un conducteur, le nombre de kilomètres avant le premier accident suit
une loi normale d’espérance 35000 km avec un écart-type de 5000 km. Pour un conducteur
choisi au hasard, déterminer la probabilité :
1.
qu’il ait eu son premier accident avant d’avoir parcouru 25000 km.
2.
qu’il ait eu son premier accident après avoir parcouru 25000 km et avant 40000 km.
3.
qu’il n’ait pas eu d’accident avant d’avoir parcouru 45000 km.
4.
Au bout de combien de kilomètres peut-on dire que 80% des conducteurs ont eu leur
premier accident ?
Exercice 5 : Choix de machine
La longueur des pièces (en mm) produites par une machine A (resp. B) suit une loi normale
N (8; 4) (resp. N (7, 5; 1)). Si vous voulez produire des pièces de longueurs 8±1 mm, quelle
machine vaut-il mieux choisir ?
Exercice 6 : Nul n’est censé ignorer la loi normale
1.
On appelle premier quartile q1 (resp. troisième quartile q3 ) d’une variable aléatoire X à
densité le réel tel que P(X ≤ q1 ) = 1/4 (respectivement P(X ≤ q3 ) = 3/4). Déterminer le
premier et le troisième quartile d’une loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 5.
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2.
Un groupe de 200 étudiants passe en début d’année un examen et les notes sont approximativement distribuées suivant une loi normale de moyenne 9 et d’écart-type 2. L’enseignant
décide de faire des séances de rattrapage pour les étudiants dont les notes sont les plus
faibles mais il ne peut encadrer que 30 étudiants. Quelle est la note limite permettant à
un étudiant de bénéficier du rattrapage ?
3.
La durée de la grossesse, en jours, est modélisée par une loi normale de moyenne 270 et
de variance 100. Lors d’un procès en attribution de paternité, l’un des pères putatifs peut
prouver son absence du pays sur une période allant du 290e au 240e jour avant la naissance.
Quelle est la probabilité qu’il puisse être le père malgré cet alibi ?
Exercice 7 : Autour de la loi normale
On considère une variable aléatoire X de loi normale N (0, 1).
1.
Montrer que, pour tout n ∈ N, on a : E[X n+2 ] = (n + 1)E[X n ] (intégrer par parties).
2.
Que vaut E[X 2 ] ? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de E[X 4 ].
3.
Que vaut E[X 3 ] ?
4.
Soit Y la variable aléatoire définie par Y = 2X + 1.
a.
b.
5.
On considère maintenant que X suit une loi normale de moyenne 7 et d’écart-type 4.
a.
b.
6.
Quelle est la loi de Y ?
Déterminer E[Y 4 ] (on pourra utiliser la formule du binôme et les moments de X
trouvés précédemment).
Déterminer P(X ≤ 8) et P(5 ≤ X ≤ 9).
Déterminer q tel que P(X > q) = 0, 9.
La taille des enfants d’un collège est distribuée selon une loi normale de moyenne µ et
d’écart-type σ. On sait qu’un cinquième des élèves mesurent moins de 1m50 et que 10%
des élèves mesurent plus de 1m80. Déterminer µ et σ.
Exercice 8 : Loi log-normale
Soit µ et σ deux réels, avec σ > 0. On dit que X suit une loi log-normale, ou de Galton, de
paramètres (µ, σ 2 ), notée X ∼ LN (µ, σ 2 ), si Y = ln X suit une loi normale N (µ, σ 2 ). Cette loi
intervient lors de la multiplication d’un grand nombre de variables indépendantes et positives.
En linguistique, elle sert à modéliser le nombre de mots dans une phrase.
1.
Supposons que X ∼ LN (0, 1). Exprimer sa fonction de répartition F à l’aide de la fonction
de répartition Φ de la loi normale centrée réduite.
2.
En déduire que sa densité est la formule ci dessous, et la représenter :
ln2 x
1
f (x) = √ e− 2 1{x>0} .
x 2π
√
3.
Montrer que son espérance vaut E[X] =
e et sa variance Var(X) = e(e − 1).
4.
Un tas de sable est composé de grains homogènes sphériques. La diamètre X d’un grain
suit la loi LN (−0, 5; 0, 09), l’unité étant le millimètre. On passe le tas au crible d’un tamis
dont les trous sont circulaires, de diamètre 0,5 mm. Quelle est la proportion de grains de
sable passant à travers le tamis ?