Mathématiques L3 MIAGE
2. Un groupe de 200 étudiants passe en début d’année un examen et les notes sont approxima-
tivement distribuées suivant une loi normale de moyenne 9 et d’écart-type 2. L’enseignant
décide de faire des séances de rattrapage pour les étudiants dont les notes sont les plus
faibles mais il ne peut encadrer que 30 étudiants. Quelle est la note limite permettant à
un étudiant de bénéficier du rattrapage ?
3. La durée de la grossesse, en jours, est modélisée par une loi normale de moyenne 270 et
de variance 100. Lors d’un procès en attribution de paternité, l’un des pères putatifs peut
prouver son absence du pays sur une période allant du 290e au 240e jour avant la naissance.
Quelle est la probabilité qu’il puisse être le père malgré cet alibi ?
Exercice 7 : Autour de la loi normale
On considère une variable aléatoire Xde loi normale N(0,1).
1. Montrer que, pour tout n∈N, on a : E[Xn+2]=(n+ 1)E[Xn](intégrer par parties).
2. Que vaut E[X2]? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de E[X4].
3. Que vaut E[X3]?
4. Soit Yla variable aléatoire définie par Y= 2X+ 1.
a. Quelle est la loi de Y?
b. Déterminer E[Y4](on pourra utiliser la formule du binôme et les moments de X
trouvés précédemment).
5. On considère maintenant que Xsuit une loi normale de moyenne 7 et d’écart-type 4.
a. Déterminer P(X≤8) et P(5 ≤X≤9).
b. Déterminer qtel que P(X > q)=0,9.
6. La taille des enfants d’un collège est distribuée selon une loi normale de moyenne µet
d’écart-type σ. On sait qu’un cinquième des élèves mesurent moins de 1m50 et que 10%
des élèves mesurent plus de 1m80. Déterminer µet σ.
Exercice 8 : Loi log-normale
Soit µet σdeux réels, avec σ > 0. On dit que Xsuit une loi log-normale, ou de Galton, de
paramètres (µ, σ2), notée X∼ LN(µ, σ2), si Y= ln Xsuit une loi normale N(µ, σ2). Cette loi
intervient lors de la multiplication d’un grand nombre de variables indépendantes et positives.
En linguistique, elle sert à modéliser le nombre de mots dans une phrase.
1. Supposons que X∼ LN(0,1). Exprimer sa fonction de répartition Fà l’aide de la fonction
de répartition Φde la loi normale centrée réduite.
2. En déduire que sa densité est la formule ci dessous, et la représenter :
f(x) = 1
x√2πe−ln2x
21{x>0}.
3. Montrer que son espérance vaut E[X] = √eet sa variance Var(X) = e(e−1).
4. Un tas de sable est composé de grains homogènes sphériques. La diamètre Xd’un grain
suit la loi LN(−0,5; 0,09), l’unité étant le millimètre. On passe le tas au crible d’un tamis
dont les trous sont circulaires, de diamètre 0,5 mm. Quelle est la proportion de grains de
sable passant à travers le tamis ?