UNIFR – département de mathématiques 22 Mars 2017

UNIFR – département de mathématiques 22 Mars 2017
PROBABILITÉS
Exercices semaine 5
Exercice 1 (TCL pour des temps d’arrêt).
(a) Soit (Xn)nune suite de v.a. i.i.d de moyenne 0et variance σ2. De plus soit (Nn)une
suite de variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes des (Xn)tels qu’il existe
une suite antendant vers ∞avec Nn/an
P
−→ 1.
Montrer alors que Zn=1
√anPNn
k=1 Xkconverge en loi vers une gausienne de moyenne 0
et variance σ2.
Indication: poser ˜ Zn=1
√anPan
k=1 Xk, montrer que Zn−˜
Zn
P
−−−→
n→∞ 0et utiliser le TCL
pour ˜ Zn.
(b) Supposons que (Xn)est une suite de v.a. i.i.d. positives, de moyenne µet variance σ2.
Posons Tn= sup{m≥0 : Sm≤n}. Montrer que
1
pn/µµTn−n(d)
−→ N (0, σ2).
Indication: Montrer que µTn/n P −→ 1et utiliser le point precedent pour les variables
Xi−µ.
(c) Supposons que les variables Xidu point précédent sont des variables de Bernoulli.
Montrer alors que les variables (Tn+1 −Tn)n≥0sont i.i.d., de loi à spécifier. Retrouver
le résultat précédent, plus directement.
Exercice 2 (Sondages).
Soient µune loi de probabilité sur Ret (Xn)ndes v.a. i.i.d de loi µ, définies sur un espace
de probabilité Ω. Imaginons qu’on veut déterminer la loi µà partir d’un grand nombre
d’échantillons X1, . . . , Xn. On pose:
µn(ω) = 1
n
n
X
k=1
δXk(ω),
ou δxrepresente la mesure de Dirac en x.Attention! µnest ainsi une mesure aléatoire sur
R. Le but de cet exercice est de montrer que µn
p.s.
−−→ µ.
(a) Montrer que pour tout ω∈Ω,µn(ω)est une mesure de probabilité sur R. Ecrire
µn(ω)(A)en fonction des variables Xipour A∈ B(R).
(b) Soit H⊂ Cc(R)un ensemble dense et dénombrable (on admet l’existence d’un tel
ensemble). Pour ω∈Ω, montrer que µn(ω)(d) −→ µsi et seulement si
1
n
n
X
k=1
f(Xk(ω)) →ZR f(x)dµ(x),∀f∈H.

(c) Conclure que µn
p.s.
−−→ µdans la topologie de la convergence en distribution. Plus
précisement, montrer que
Pω∈Ω : µn(ω)(d) −→ µ= 1.