UNIFR – département de mathématiques 22 Mars 2017

UNIFR – département de mathématiques
22 Mars 2017
PROBABILITÉS
Exercices semaine 5
Exercice 1 (TCL pour des temps d’arrêt).
(a) Soit (Xn )n une suite de v.a. i.i.d de moyenne 0 et variance σ 2 . De plus soit (Nn ) une
suite de variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes des (Xn ) tels qu’il existe
P
une suite an tendant vers ∞ avec Nn /an →
− 1.
P n
Montrer alors que Zn = √1an N
k=1 Xk converge en loi vers une gausienne de moyenne 0
2
et variance σ .
Pn
P
Indication: poser Z̃n = √1an ak=1
Xk , montrer que Zn − Z̃n −−−→ 0 et utiliser le TCL
n→∞
pour Z̃n .
(b) Supposons que (Xn ) est une suite de v.a. i.i.d. positives, de moyenne µ et variance σ 2 .
Posons Tn = sup{m ≥ 0 : Sm ≤ n}. Montrer que
(d)
1
p
µTn − n −→ N (0, σ 2 ).
n/µ
P
Indication: Montrer que µTn /n →
− 1 et utiliser le point precedent pour les variables
Xi − µ.
(c) Supposons que les variables Xi du point précédent sont des variables de Bernoulli.
Montrer alors que les variables (Tn+1 − Tn )n≥0 sont i.i.d., de loi à spécifier. Retrouver
le résultat précédent, plus directement.
Exercice 2 (Sondages).
Soient µ une loi de probabilité sur R et (Xn )n des v.a. i.i.d de loi µ, définies sur un espace
de probabilité Ω. Imaginons qu’on veut déterminer la loi µ à partir d’un grand nombre
d’échantillons X1 , . . . , Xn . On pose:
n
1X
δX (ω) ,
µn (ω) =
n k=1 k
ou δx represente la mesure de Dirac en x. Attention! µn est ainsi une mesure aléatoire sur
p.s.
R. Le but de cet exercice est de montrer que µn −−→ µ.
(a) Montrer que pour tout ω ∈ Ω, µn (ω) est une mesure de probabilité sur R. Ecrire
µn (ω)(A) en fonction des variables Xi pour A ∈ B(R).
(b) Soit H ⊂ Cc (R) un ensemble dense et dénombrable (on admet l’existence d’un tel
(d)
ensemble). Pour ω ∈ Ω, montrer que µn (ω) −→ µ si et seulement si
n
1X
f (Xk (ω)) →
n k=1
Z
f (x)dµ(x),
R
∀f ∈ H.
p.s.
(c) Conclure que µn −−→ µ dans la topologie de la convergence en distribution. Plus
précisement, montrer que
(d)
P ω ∈ Ω : µn (ω) −→ µ = 1.