CP2 -Algèbre III Université Cadi Ayyad - ENSA Marrakech Examen blanc A.U. 2020-2021/ (Durée 2H) Resp.: S. Boulite Questions de cours. Soit un espace vectoriel euclidien E. Soit a ∈ E unitaire. Soit ϕ une forme linéaire sur E telle que ϕ 6= 0. On considère l'application f : E −→ E dénie par Exercice 1. ∀x ∈ E, f (x) = x + ϕ(x)a 1. Montrer que l'application f est linéaire. 2. Montrer que f est un automorphisme orthogonal si et seulement si ∀x ∈ E, ϕ(x) = −2(a | x) Indication : étudier à quelle condition f conserve la norme associée au produit scalaire. 3. En déduire que f est une symétrie orthogonale. Soit E = Mn (R) muni du produit scalaire hA | Bi = tr(t AB). Soit P ∈ On(R) et considérons l'application suivante : Exercice 2. f : E −→ E A 7→ AP 1. Montrer que f est un endomorphisme orthogonale(isométrie). 2. Donner la matrice de f dans la base canonique de E . Exercice 3. Soit a un vecteur unitaire d'un espace vectoriel euclidien orienté E de dimension 3. On pose g : E −→ E dénie par f (x) = hx | aia + a ∧ x. 1. Vérier que g est un endomorphisme de E . 2. Montrer que g ∈ O(E). (Indiction. Ecrire la matrice de g dans une BON directe (a, u, v) ) 3. Est-ce que g ∈ SO(E) ? Exercice 4. On considère un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 muni d'une base orthonormale e = (e1 , e2 , e3 ) . On considère l'endomorphisme u de E de matrice 7 4 4 1 M = 4 1 −8 9 −4 8 −1 1. Prouver que u est un automorphisme orthogonal de E; déterminer sa nature et ses éléments caractéristiques. 2. Donner une décomposition QR de M . Bon Courage
