1STG-cours-Nombre_derive.pdf (76.2 KB)

Nombre dérivé
Table des matières
I
II
III
IV
V
Notion de tangente à une courbe . . . . . . . . . . . .
I.1
Tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Sécante à une parabole . . . . . . . . . . . . .
I.3
Tangente à une parabole . . . . . . . . . . . . .
I.4
Comparaison entre tangente et autres droites
I.5
Tangente à une hyperbole . . . . . . . . . . . .
Tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Coefficient directeur d’une droite . . . . . . .
Nombres dérivées pour les fonctions de référence . .
IV.1 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Pour les fonctions de référence : . . . . . . . .
Signe du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Conjecture avec la fonction carré . . . . . . .
V.2
Conjecture avec une fonction quelconque . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
2
3
4
5
5
6
6
6
6
7
7
7
I Notion de tangente à une courbe
I.1 Tangente à un cercle
c
b
b
A
O
Rappel : la tangente à un cercle en A est une droite passant par A et ce point A est le seul point d’intersection
entre la droite et le cercle.
Page 1/7
I.2 Sécante à une parabole
11
10
9
8
7
6
5
b
A
4
3
2
1B
b
01
−4 −3 −2 −1
−1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
−2
−3
Sécante à une parabole
−4
−5
b
−6
I.3 Tangente à une parabole
8
6
b
A
4
2
b
−4
−2
0
−2
B
2
4
6
Sécante en rouge ; Tangente
en vert
−4
I.4 Comparaison entre tangente et autres droites
Sur la figure précédente, la tangente en A à la parabole est en vert ; elle ne touche la parabole qu’en A ; elle
est plus « proche » de la parabole que les autres droites passant par A.
Page 2/7
I.5 Tangente à une hyperbole
4
3
2
b
A
1
−3
−2
1
−1
−1
−2
−3
−4
−5
Page 3/7
2
II Tangente à une courbe
Définition
Soient C la courbe représentative d’une fonction et un point A de cette courbe.
On admet l’existence d’une droite T , qui, parmi toutes les droites qui passent par A, est celle qui s’éloigne
le moins de la courbe C au voisinage du point A.
Cette droite est appelée tangente à la courbe C en A.
4
Tangente à une courbe
2
−4
2
−2
4
6
−2
−4
b
A
−6
Remarque : : la tangente à une courbe ne touche la courbe localement qu’en un point.
Exercices : no 9, 10 et 11 page 187
Page 4/7
III Nombre dérivé
III.1 Coefficient directeur d’une droite
Rappel : Soient deux points A et B d’une droite sécante à l’axe des ordonnées.
yB − y A
Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m =
xB − x A
B
b
yB − y A
b
A
b
xB − x A
Définition
Soit C la courbe représentative d’une fonction f .
Soit A(a ; f (a)) un point de C .
Si, en A, C admet une tangente, on dit que f est dérivable en a. On appelle alors nombre dérivé de f en
a, noté f ′ (a), le coefficient directeur de la tangente.
Exemple :
9
8
b
7
6
5
4
b
A
3
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
La tangente en A à C passe par les points de coordonnées (2 ; 4) et (3 ; 8) ; le coefficient directeur de la tangente
8−4 4
est donc :
= = 4.
3−1 1
Le nombre dérivé de f en 2 est : f ′ (2) = 4 .
Propriété
L’équation réduite de la tangente en a est alors : y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
Remarque : la tangente en a est parallèle à l’axe des abscisses équivaut à f ′ (a) = 0.
Exemple : la parabole représentative de la fonction carré x 7→ x 2 en 0.
Page 5/7
Exercices no 12 à 19 page 1889
IV Nombres dérivées pour les fonctions de référence
IV.1 Fonction affine
Soit f définie par f (x) = mx + p et soit A(a ; f (a)) un point de la droite D représentative de f .
La tangente à D en a est la droite D elle-même, donc f ′ (a) = m.
IV.2 Fonction carré
Soit f la fonction définie par f (x) = x 2 et soit A(a ; f (a)).
On peut conjecturer l’expression de f ′ (a) en fonction de a à l’aide de Geogebra.
On remarque que f ′ (a) = 2a
IV.3 Pour les fonctions de référence :
Fonction f définie par : Nombre dérivé de f en a ; f ′ (a)
mx + p
f ′ (a) = m(constante)
f (x) = x 2
f ′ (a) = 2a
2
′
f (x) = ax + bx + c
f (a) = 2a + b
1
1
f (x) = , x 6= 0
f ′ (a) = − 2
x
a
f (x) = x 3
f ′ (a) = 3a 2
p
1
f (x) = x, x > 0
f ′ (a) = p
2 a
Exemples :
1. Soit f la fonction définie par f (x) = x 2 . Trouver l’équation de la tangente à C en 3 :
Pour tout a, on a : f ′ (a) = 2a donc f ′ (3) = 6 ; f (3) = 32 = 9
L’équation de la tangente en 3 est alors : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) donc y = 6(x − 3) + 9, d’où : y = 6x − 9
16
14
12
10
b
A
8
6
4
2
−5
−4
−3
−2
−1
O
−2
−4
−6
−8
−10
Page 6/7
1
2
3
4
1
. Trouver l’équation de la tangente à C en 4 :
x
1
1
1
Pour tout a, on a : f ′ (a) = − 2 donc f ′ (4) = − ; f (4) =
a
16
4
1
1
1
1
L’équation de la tangente en 4 est alors : y = f ′ (a)(x−a)+ f (a) donc y = − (x−4)+ , d’où : y = − x + .
16
4
16
2
2. Soit f la fonction définie par f (x) =
4
3
2
1
b
−9
−8
−7
−6
f
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
A
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
Exercices
no 20
à 25 page 191
V Signe du nombre dérivé
V.1 Conjecture avec la fonction carré
On constate que pour a < 0, f ′ (a) < 0, f ′ (0) = 0 et f ′ (a) > 0 pour a > 0
V.2 Conjecture avec une fonction quelconque
Exemple : si l’on reprend l’exemple vu au paragraphe II, on constate que f ′ (a) < 0 lorsque la fonction est
décroissante et f ′ (a) > 0 lorsque la fonction f est croissante.
Propriété
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I .
• Si f est strictement croissante sur I et si a ∈ I , alors f ′ (a) > 0.
• Si f est strictement décroissante sur I et si a ∈ I , alors f ′ (a) < 0.
• Si a ∈ I et si f ′ (a) = 0, alors la tangente à C f en a est parallèle à l’axe des abscisses.
Exercices : Page 195 : no 9, 14, 15, 18
Page 7/7