1STG-cours-Nombre_derive.pdf (76.2 KB)

Nombre dérivé
Table des matières
I Notion de tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Sécante à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Tangente à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.4 Comparaison entre tangente et autres droites .......................... 2
I.5 Tangente à une hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Tangente à une courbe ............................................ 4
III Nombre dérivé ................................................ 5
III.1 Coefficient directeur d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Nombres dérivées pour les fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.1 Fonction affine ............................................ 6
IV.2 Fonction carré ............................................. 6
IV.3 Pour les fonctions de référence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Signe du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.1 Conjecture avec la fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.2 Conjecture avec une fonction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Notion de tangente à une courbe
I.1 Tangente à un cercle
O
cA
Rappel : la tangente à un cercle en A est une droite passant par A et ce point A est le seul point d’intersection
entre la droite et le cercle.
Page 1/7

I.2 Sécante à une parabole
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−1
−2
−3
−4
−5
−6
12345678910−1−2−3−40
Sécante à une parabole
B
A
I.3 Tangente à une parabole
2
4
6
8
−2
−4
246−2−40
Sécante en rouge ; Tangente
en vert
B
A
I.4 Comparaison entre tangente et autres droites
Sur la figure précédente, la tangente en A à la parabole est en vert ; elle ne touche la parabole qu’en A ; elle
est plus « proche » de la parabole que les autres droites passant par A.
Page 2/7

I.5 Tangente à une hyperbole
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2−1−2−3
A
Page 3/7

II Tangente à une courbe
Définition
Soient Cla courbe représentative d’une fonction et un point A de cette courbe.
On admet l’existence d’une droite T, qui, parmi toutes les droites qui passent par A, est celle qui s’éloigne
le moins de la courbe Cau voisinage du point A.
Cette droite est appelée tangente à la courbe Cen A.
2
4
−2
−4
−6
2 4 6−2−4
Tangente à une courbe
A
Remarque : : la tangente à une courbe ne touche la courbe localement qu’en un point.
Exercices : no9, 10 et 11 page 187
Page 4/7

III Nombre dérivé
III.1 Coefficient directeur d’une droite
Rappel : Soient deux points Aet Bd’une droite sécante à l’axe des ordonnées.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m=yB−yA
xB−xA
A
B
xB−xA
yB−yA
Définition
Soit Cla courbe représentative d’une fonction f.
Soit A(a;f(a)) un point de C.
Si, en A,Cadmet une tangente, on dit que fest dérivable en a. On appelle alors nombre dérivé de fen
a, noté f′(a), le coefficient directeur de la tangente.
Exemple :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−11 2 3−1−2−3−4
A
La tangente en AàCpasse par les points de coordonnées (2 ; 4) et (3 ; 8) ; le coefficient directeur de la tangente
est donc : 8−4
3−1=4 1=4.
Le nombre dérivé de fen 2 est : f′(2) =4.
Propriété
L’équation réduite de la tangente en aest alors : y=f′(a)(x−a)+f(a).
Remarque : la tangente en aest parallèle à l’axe des abscisses équivaut à f′(a)=0.
Exemple : la parabole représentative de la fonction carré x7→ x2en 0.
Page 5/7