Variables aléatoires Probabilités et

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 1 1
Variables
Variables
aléatoires aléatoires
Probabilités
Probabilités
et
et
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 2 2
●
Objectifs
Objectifs
■
Concepts fondamentaux du calcul des
Concepts fondamentaux du calcul des
probabilités
probabilités
■
Variables aléatoires
Variables aléatoires
■
Quelques lois élémentaires :
Quelques lois élémentaires :
✔
Loi binomiale
Loi binomiale
✔
Loi de Poisson
Loi de Poisson
✔
La Loi de Gauss-Laplace
La Loi de Gauss-Laplace
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 3 3
●
La théorie des probabilités
La théorie des probabilités
Étude des phénomènes aléatoires et des lois
Étude des phénomènes aléatoires et des lois
du hasard
du hasard
●
Épreuve :
Épreuve :
Protocole d’une expérience dont le résultat est
Protocole d’une expérience dont le résultat est
aléatoire
aléatoire
■
Reproductibilité
Reproductibilité
■
Conditions identiques pour tous
Conditions identiques pour tous
✔
Ex. : Lancer un dé et relever le chiffre sur
Ex. : Lancer un dé et relever le chiffre sur
la face supérieure
la face supérieure
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 4 4
●
Évènement élémentaire
Évènement élémentaire
Chacun des résultats possibles
Chacun des résultats possibles
■
Ex. : L’épreuve du lancer d’un dé a six
Ex. : L’épreuve du lancer d’un dé a six
évènements élémentaires :
évènements élémentaires :
{ 1 } – { 2 } – { 3 } – { 4 } – { 5 } – { 6 }
{ 1 } – { 2 } – { 3 } – { 4 } – { 5 } – { 6 }
●
Catégorie d’épreuves : Catégorie d’épreuves :
Collection de tous les résultats
Collection de tous les résultats
■
Ex. :
Ex. :   = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 5 5
●
Évènement : A, B, C, ...
Évènement : A, B, C, ...
Collection d’évènements élémentaires
Collection d’évènements élémentaires
■
Ex. : « Obtenir une face paire »
Ex. : « Obtenir une face paire »
●
⇔Évènement [A ou B] union
⇔Évènement [A ou B] union
Si A, si B, ou si les deux simultanément sont
Si A, si B, ou si les deux simultanément sont
réalisés
réalisés
●
⇔Évènement [A et B] restriction
⇔Évènement [A et B] restriction
Si A et B sont réalisés à la fois
Si A et B sont réalisés à la fois
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 6 6
●
Évènements incompatibles
Évènements incompatibles
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
même épreuve
même épreuve
●
Évènement contraire :
Évènement contraire : A A ou non A ou non A
Il est réalisé quand A ne l’est pas
Il est réalisé quand A ne l’est pas
●
Évènement impossible
Évènement impossible
Il ne peut être réalisé à la suite de l’épreuve
Il ne peut être réalisé à la suite de l’épreuve
●
Évènement certain
Évènement certain
Il se réalise à coup sûr
Il se réalise à coup sûr

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 7 7
●
Trois axiomes :
Trois axiomes :
■
1. La probabilité d’un évènement est
1. La probabilité d’un évènement est
toujours comprise entre 0 et 1
toujours comprise entre 0 et 1
■
2. Si A et B sont deux évènements
2. Si A et B sont deux évènements
incompatibles, alors la probabilité de
incompatibles, alors la probabilité de
[A ou B] est égale à la somme des
[A ou B] est égale à la somme des
probabilités de A et de B
probabilités de A et de B
■
3. La probabilité de l’évènement
3. La probabilité de l’évènement
certain vaut 1
certain vaut 1
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 8 8
●
Convention :
Convention :
La probabilité d'un évènement A est notée :
La probabilité d'un évènement A est notée :
Pr(A)
Pr(A)
●
Calculer la probabilité d'un évènement ?
Calculer la probabilité d'un évènement ?
Deux approches :
Deux approches :
■
Classique – Mathématique
Classique – Mathématique
■
Expérimentale
Expérimentale
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 9 9
●
Approche classique
Approche classique
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six
lors d’un lancer d’un dé parfait ? »
lors d’un lancer d’un dé parfait ? »
■
Six évènements élémentaires
Six évènements élémentaires
■
Contexte
Contexte équiprobable équiprobable
■
Une seule face réalise le 6
Une seule face réalise le 6
Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7%
Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7%
Pr A= Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 10 10
●
Approche expérimentale
Approche expérimentale
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors
d’un lancer d’un dé parfait ? »
d’un lancer d’un dé parfait ? »
■
Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
Pr A =
Nombre de réalisations
Nombre d'épreuves
= fréquence A
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 11 11
●
Conditions :
Conditions :
■
L’épreuve doit être répétée un grand
L’épreuve doit être répétée un grand
nombre de fois
nombre de fois
■
Toutes les épreuves doivent être réalisées
Toutes les épreuves doivent être réalisées
sous les mêmes conditions, suivant même
sous les mêmes conditions, suivant même
protocole
protocole

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 13 13
●
Les règles d’addition :
Les règles d’addition :
Évènements incompatibles :
Évènements incompatibles :
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)
■
Ex. : Lancer d’un dé
Ex. : Lancer d’un dé
✔
A = paire
A = paire
✔
Pr(A) = 1/2
Pr(A) = 1/2
✔
B = {1}
B = {1}
✔
Pr(B) = 1/6
Pr(B) = 1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
Pr(A)
Pr(A) Pr(B)
Pr(B)
Pr(C)
Pr(C)
= 1/2 + 1/6
= 1/2 + 1/6
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 14 14
Évènements compatibles :
Évènements compatibles :
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
■
Ex. : Lancer d’un dé
Ex. : Lancer d’un dé
✔
A = paire
A = paire
✔
Pr(A) = 1/2
Pr(A) = 1/2
✔
B = { ≥ 5 }
B = { ≥ 5 }
✔
Pr(B) = 1/3
Pr(B) = 1/3
✔
[A et B] = {6}
[A et B] = {6}
✔
Pr([A et B] )= 1/6
Pr([A et B] )= 1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
= 1/2 + 1/3 - 1/6
= 1/2 + 1/3 - 1/6
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 15 15
Évènements contraires :
Évènements contraires :
Pr(
Pr(A A ) = 1 - Pr(A) ) = 1 - Pr(A)
■
Ex. : Lancer d’un dé
Ex. : Lancer d’un dé
✔
A = paire
A = paire
✔
Pr(A) = 1/2
Pr(A) = 1/2
✔
A
A = impaire = impaire
✔
Pr(
Pr(A A) = 1/2 ) = 1/2
✔
Pr(
Pr(A A) = 1 – ½ = ½ ) = 1 – ½ = ½ Pr(A)
Pr(A)
Pr  A =
==
=1−
−−
−Pr  A
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 16 16
●
Probabilités conditionnelles et évènements
Probabilités conditionnelles et évènements
indépendants
indépendants
■
Les compagnies d’assurance déterminent
Les compagnies d’assurance déterminent
leurs primes en fonction des risques
leurs primes en fonction des risques
encourus
encourus
■
Le risque d’avoir un accident de voiture
Le risque d’avoir un accident de voiture
est de deux pour mille : 2‰
est de deux pour mille : 2‰
■
Le montant des primes n’est pas le même
Le montant des primes n’est pas le même
pour tous...
pour tous... Pourquoi ?
Pourquoi ?
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 17 17
■
Un jeune conducteur est impliqué dans dix
Un jeune conducteur est impliqué dans dix
fois plus d’accidents qu’un conducteur
fois plus d’accidents qu’un conducteur
averti
averti
■
L’âge est un facteur à risque :
L’âge est un facteur à risque :
« Le risque qu’un jeune conducteur ait un
« Le risque qu’un jeune conducteur ait un
accident est de 2% »
accident est de 2% »
■
Le risque d’accident est
Le risque d’accident est conditionné conditionné par par
l’âge
l’âge
■
Le risque
Le risque dépend dépend de l’âge du conducteur de l’âge du conducteur
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 18 18
■
Par contre, les « blondes » n’ont pas plus
Par contre, les « blondes » n’ont pas plus
d’accidents que les autres conducteurs
d’accidents que les autres conducteurs
■
« Être blonde » n’est pas un facteur de
« Être blonde » n’est pas un facteur de
risque :
risque :
« Une conductrice blonde court un risque de
« Une conductrice blonde court un risque de
2‰ d’avoir un accident de la route »
2‰ d’avoir un accident de la route »
■
Le risque est
Le risque est
indépendant de la
indépendant de la
couleur des cheveux
couleur des cheveux

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 19 19
●
Définition et notation
Définition et notation
■
Probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle
Pr(A/B) désigne la probabilité que l’évènement
Pr(A/B) désigne la probabilité que l’évènement
A se réalise sachant que l’évènement B s’est
A se réalise sachant que l’évènement B s’est
déjà produit
déjà produit
■
Indépendance
Indépendance
Deux évènements A et B sont indépendants si
Deux évènements A et B sont indépendants si
la réalisation de l'un ne modifie pas la
la réalisation de l'un ne modifie pas la
probabilité de l'autre
probabilité de l'autre
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 20 20
●
Règles de multiplication
Règles de multiplication
■
Quelle est la probabilité qu'un homme
Quelle est la probabilité qu'un homme
prenne son petit déjeuner au moins cinq fois
prenne son petit déjeuner au moins cinq fois
par semaine ?
par semaine ?
Pr(D/H) = 54/72 = 0.750 (75%)
Pr(D/H) = 54/72 = 0.750 (75%)
Petit-déjeuner
Homme (H) Femme (F) Total
Oui (D) 54 114 168
18 38 56
Total 72 152 224
Non (D)
Petit-déjeuner
Homme (H) Femme (F) Total
Oui (D) 54 114 1 68
18 38 56
Total 72 152 2 24
Non (D)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 21 21
●
Règles de multiplication
Règles de multiplication
Quelle est la probabilité qu’une personne
Quelle est la probabilité qu’une personne
prenne un petit-déjeuner au moins 5 fois par
prenne un petit-déjeuner au moins 5 fois par
semaine ?
semaine ?
Pr(D) = 168/224 = 0,750 (75%)
Pr(D) = 168/224 = 0,750 (75%)
Femme (F) Total
54 114 168
18 38 56
Total 72 152 224
Petit-déjeuner
Homme (H)
Oui (D)
Non (D)
Femme (F) Total
54 114 168
18 38 56
Total 72 152 224
Petit déjeuner
Homme (H)
Oui (D)
Non (D)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 22 22
■
Quelle est la probabilité qu’une personne
Quelle est la probabilité qu’une personne
tirée de cet échantillon soit un homme qui
tirée de cet échantillon soit un homme qui
prenne un petit-déjeuner plus de 5 fois par
prenne un petit-déjeuner plus de 5 fois par
semaine ?
semaine ?
Pr(H et D) = 54/224 = 24,1%
Pr(H et D) = 54/224 = 24,1%
= 54/72 = 54/72
×
×
72/224
72/224
= Pr(D/H) = Pr(D/H)
×
×
Pr(H)
Pr(H)
Femme (F) Total
54 114 168
18 38 56
Total 72 152 224
Petit-déjeuner
Homme (H)
Oui (D)
Non (D)
Femme (F) Total
54 114 168
18 38 56
Total 72 152 224
Petit-déjeuner
Homme (H)
Oui (D)
Non (D)
Indépendants :
Indépendants :
Pr(D/H) = Pr(D)
Pr(D/H) = Pr(D)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 23 23
■
Deux évènements A et B sont
Deux évènements A et B sont
indépendants si et seulement si
indépendants si et seulement si
Pr(A/B) = Pr(A)
Pr(A/B) = Pr(A)
et
et
Pr(B/A) = Pr(B)
Pr(B/A) = Pr(B)
■
Règle de multiplication :
Règle de multiplication :
Pr(A et B) = Pr(A)
Pr(A et B) = Pr(A) × × Pr(B) Pr(B)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 24 24
■
Quelle est la proportion de jeunes qui ont
Quelle est la proportion de jeunes qui ont
une consommation suffisante de produits
une consommation suffisante de produits
laitiers ?
laitiers ?
Pr(S/J) = 9/150 = 0,060 (6%)
Pr(S/J) = 9/150 = 0,060 (6%)
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 9 5 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 95 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)

PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 25 25
■
Quelle est la proportion de personnes qui ont
Quelle est la proportion de personnes qui ont
une consommation suffisante de produits
une consommation suffisante de produits
laitiers ?
laitiers ?
Pr(S) = 14/400 = 3,5 % (
Pr(S) = 14/400 = 3,5 % (   Pr(S/J) ) Pr(S/J) )
Dépendants Dépendants
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 9 5 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 9 5 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 26 26
■
Quelle est la probabilité qu’un sujet soit un
Quelle est la probabilité qu’un sujet soit un
jeune qui ait une consommation suffisante de
jeune qui ait une consommation suffisante de
produits laitiers ?
produits laitiers ?
Pr(J et S) = 9/400 = 2,25%
Pr(J et S) = 9/400 = 2,25%
= 9/150 = 9/150
×
×
150/400 150/400
= Pr(S/J)
= Pr(S/J)
×
×
Pr(J)
Pr(J)
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 9 5 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)
Âge
Jeunes (J) Adultes (A) Total
Oui (S) 95 14
141 245 386
Total 150 250 400
Cons. suffisante
en produits
laitiers
Non (S)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 27 27
■
Si deux évènements A et B sont
Si deux évènements A et B sont
dépendants :
dépendants :
Pr(A et B) = Pr(A/B)
Pr(A et B) = Pr(A/B)
×
×
Pr(B)
Pr(B)
Ou
Ou
Pr(A et B) = Pr(B/A)
Pr(A et B) = Pr(B/A)
×
×
Pr(A)
Pr(A)
Attention !
Attention !
Indépendance ≠ incompatibilité
Indépendance ≠ incompatibilité
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 28 28
●
Les tests de dépistage, d’aptitude
Les tests de dépistage, d’aptitude
■
« Comment juger le risque d'une maladie
« Comment juger le risque d'une maladie
génétique chez un enfant à naître suite à un
génétique chez un enfant à naître suite à un
test prénatal positif ? »
test prénatal positif ? »
■
« Quel risque encourt-on d’être porteur d’une
« Quel risque encourt-on d’être porteur d’une
maladie si le test de dépistage se révèle
maladie si le test de dépistage se révèle
positif ? »
positif ? »
On n’a pas directement accès à cette
On n’a pas directement accès à cette
information !
information !
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 29 29
●
Prévalence de la maladie :
Prévalence de la maladie : Pr(M) Pr(M)
Nombre de cas de maladie ou de malades
Nombre de cas de maladie ou de malades
dans une population déterminée
dans une population déterminée
■
Elle s'exprime en nombre de cas pour
Elle s'exprime en nombre de cas pour
100 000 habitants
100 000 habitants
●
Sensibilité d’un test :
Sensibilité d’un test : Pr(T/M) Pr(T/M)
Probabilité que le test se révèle positif chez
Probabilité que le test se révèle positif chez
un sujet atteint
un sujet atteint
●
Spécificité d’un test :
Spécificité d’un test : Pr( Pr(T T/ /M M) )
Probabilité que le test soit négatif chez un
Probabilité que le test soit négatif chez un
sujet sain
sujet sain
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 30 30
●
Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Risque d’être atteint d’une maladie si le test se
Risque d’être atteint d’une maladie si le test se
révèle positif
révèle positif
●
Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Pr M / T =
Pr M et T
Pr T =
Pr T / M × Pr M
Pr T
=
Pr T / M × Pr M
Pr T / M × Pr M Pr T / M × Pr M