1 Rappels de trigonométrie 2 Applications

1 Rappels de trigonom´etrie
Les int´egrales (et les calculs math´ematiques en g´en´eral) font tr`es souvent intervenir les
fonctions trigonom´etriques dont voici quelques propi´et´es:
∀a, b ∈Ron a
cos2a+sin
2a=1
cos a=cos(−a) fonction paire
sin(−a)=−sin(a) fonction impaire
cos(a+b)=cosacos b−sin asin b
sin(a+b)=sinacos b+cosasin b
cos(2a)=2cos
2a−1=1−2sin 2a
tan(2a)= 2tana
1−tan2a,
1+tan
2a=1
cos2a
Cesformulesrepr´esentent le minimum `a savoir manipuler dans tous les sens. N´eanmoins,
elles peuvent se retrouver grˆace `a l’utilisation des nombres complexes et de l’´egalit´esuiv-
ante :
eix =cosx +isinx ,
Cette formule est souvent utile pour exprimer cosn(x)ousin
n(x) comme combinaison
lin´eaire des cos(kx)etsin(kx)dontonconnaˆıt les primitives.
2 Applications
Les applications possibles de ces formules sont trop nombreuses `a expliciter. Nous don-
nerons une application utile dans de nombreux domaines : la valeur moyenne d’un signal
carr´e.
D´efinition 1 Soit f:[a, b]→Rint´egrable au sens de Riemann. On appelle valeur
moyenne de fla quantit´e:
m=1
b−ab
a
f(t)dt .
Posons
∀t∈[0; 2π],f(t)=sin
2(t).
Alors
m=1
2π2π
0
sin2(t)dt =1
2π2π
0
1−cos 2t
2dt =1 2.
Posons
∀t∈[0; 2π],f(t)=cos
2(t).
Alors
m=1
2π2π
0
cos2(t)dt =1
2π2π
0
1+cos2t
2dt =1 2.
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